2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第九單元 解析幾何 第65講 拋物線練習 理（含解析）新人教A版

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1、第65講拋物線1過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1x26，則|PQ|的值為(B)A10 B8C5 D6 因為p2，又|PF|x1，|QF|x2，所以|PQ|PF|QF|x1x2p628.2(2018武漢二月調(diào)研)已知不過原點O的直線交拋物線y22px于A，B兩點，若OA，AB的斜率分別為kOA2，kAB6，則OB的斜率為(D)A3 B2 C2 D3 設(shè)A(，y1)，B(，y2)，則kOA，kOB，kAB，由，即，所以kOB3.3(2016四川卷)設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y22px(p0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2

2、|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(C)A. B.C. D1 設(shè)出點的坐標，利用設(shè)而不求、整體代換法求解如圖所示，設(shè)P(x0，y0)(y00)，則y2px0，即x0.設(shè)M(x，y)，由2，得化簡可得所以直線OM的斜率為k(當且僅當y0p時取等號)4(經(jīng)典真題)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是(A)A. B.C. D. 由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1,0)，作準線l，則l的方程為x1.因為點

3、A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，所以.5(2016浙江卷)若拋物線y24x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是9. 設(shè)點M的橫坐標為x，則點M到準線x1的距離為x1，由拋物線的定義知x110，所以x9，所以點M到y(tǒng)軸的距離為9.6(2017河南新鄉(xiāng)二模)已知點A(1，y1)，B(9，y2)是拋物線y22px(p0)上的兩點，y2y10，點F是拋物線的焦點，若|BF|5|AF|，則yy2的值為10. 由拋物線的定義可知，95(1)，解得p2.所以

4、拋物線方程為y24x，又因為A，B兩點在拋物線上，所以y12，y26，所以yy222610.7已知斜率為1的直線l過拋物線y22px(p0)的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點(1)求直線l的方程(用p表示)；(2)若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：|AB|x1x2p；(3)若|AB|4，求拋物線方程 (1)因為拋物線的焦點F的坐標為(，0)，又因為直線l的斜率為1，所以直線l的方程為：yx.(2)證明：過點A，B分別作準線的垂線AA，BB，交準線于A，B，則由拋物線的定義得：|AB|AF|BF|AA|BB|x1x2x1x2p.(3)由|AB|4，得x1x2p4.直線yx與拋物線方程

5、聯(lián)立，x23px0，由韋達定理，得x1x23p，代入x1x2p4，解得p1，故拋物線方程為y22x.8(2016全國卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準線的距離為(B)A2 B4C6 D8 設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.因為|AB|4，|DE|2，拋物線的準線方程為x，所以不妨設(shè)A(，2)，D(，)因為點A(，2)，D(，)在圓x2y2r2上，所以所以85，所以p4(負值舍去)所以C的焦點到準線的距離為4.9(2018全國卷)已知點M(1，1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直

6、線與C交于A，B兩點若AMB90，則k_2_. (方法1)由題意知，拋物線的焦點坐標為F(1，0)，設(shè)直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2.由M(1，1)，得(1x1，1y1)，(1x2，1y2)由AMB90，得0，所以(x11)(x21)(y11)(y21)0，所以x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，所以11k2(11)k(2)10，整理得10，解得k2.(方法2)設(shè)點A(x1，y1

7、)，B(x2，y2)，則所以yy4(x1x2)，所以k.設(shè)AB中點M(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B作準線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)因為M(x0，y0)為AB的中點，所以M為AB的中點，所以MM平行于x軸，所以y1y22，所以k2.(方法3)由條件M在以AB為直徑的圓上，因為以AB為直徑的圓與準線相切，且M在準線上，所以M為切點，所以x1為圓M的切線方程由此得圓心M的縱坐標為1.由得ky24y4k0，所以1，所以k2.10(2018全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程 (1)由題意得F(1，0)，l的方程為yk(x1)(k0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.6