2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第65講 拋物線練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第65講拋物線1過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1x26，則|PQ|的值為(B)A10 B8C5 D6 因?yàn)閜2，又|PF|x1，|QF|x2，所以|PQ|PF|QF|x1x2p628.2(2018·武漢二月調(diào)研)已知不過原點(diǎn)O的直線交拋物線y22px于A，B兩點(diǎn)，若OA，AB的斜率分別為kOA2，kAB6，則OB的斜率為(D)A3 B2 C2 D3 設(shè)A(，y1)，B(，y2)，則kOA，kOB，kAB，由，即，所以kOB3.3(2016·四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(C)A. B.C. D1 設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用設(shè)而不求、整體代換法求解如圖所示，設(shè)P(x0，y0)(y0>0)，則y2px0，即x0.設(shè)M(x，y)，由2，得化簡(jiǎn)可得所以直線OM的斜率為k(當(dāng)且僅當(dāng)y0p時(shí)取等號(hào))4(經(jīng)典真題)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是(A)A. B.C. D. 由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1,0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，所以.5(2016·浙江卷)若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是9. 設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x1的距離為x1，由拋物線的定義知x110，所以x9，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.6(2017·河南新鄉(xiāng)二模)已知點(diǎn)A(1，y1)，B(9，y2)是拋物線y22px(p>0)上的兩點(diǎn)，y2>y1>0，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，若|BF|5|AF|，則yy2的值為10. 由拋物線的定義可知，95(1)，解得p2.所以拋物線方程為y24x，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在拋物線上，所以y12，y26，所以yy222610.7已知斜率為1的直線l過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)(1)求直線l的方程(用p表示)；(2)若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：|AB|x1x2p；(3)若|AB|4，求拋物線方程 (1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)，又因?yàn)橹本€l的斜率為1，所以直線l的方程為：yx.(2)證明：過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AA，BB，交準(zhǔn)線于A，B，則由拋物線的定義得：|AB|AF|BF|AA|BB|x1x2x1x2p.(3)由|AB|4，得x1x2p4.直線yx與拋物線方程聯(lián)立，x23px0，由韋達(dá)定理，得x1x23p，代入x1x2p4，解得p1，故拋物線方程為y22x.8(2016·全國(guó)卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(B)A2 B4C6 D8 設(shè)拋物線的方程為y22px(p>0)，圓的方程為x2y2r2.因?yàn)閨AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，所以不妨設(shè)A(，2)，D(，)因?yàn)辄c(diǎn)A(，2)，D(，)在圓x2y2r2上，所以所以85，所以p4(負(fù)值舍去)所以C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.9(2018·全國(guó)卷)已知點(diǎn)M(1，1)和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90°，則k_2_. (方法1)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0)，設(shè)直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2.由M(1，1)，得(1x1，1y1)，(1x2，1y2)由AMB90°，得·0，所以(x11)(x21)(y11)(y21)0，所以x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，所以11k2(11)k(2)10，整理得10，解得k2.(方法2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以yy4(x1x2)，所以k.設(shè)AB中點(diǎn)M(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)因?yàn)镸(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，所以M為AB的中點(diǎn)，所以MM平行于x軸，所以y1y22，所以k2.(方法3)由條件M在以AB為直徑的圓上，因?yàn)橐訟B為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，且M在準(zhǔn)線上，所以M為切點(diǎn)，所以x1為圓M的切線方程由此得圓心M的縱坐標(biāo)為1.由得ky24y4k0，所以1，所以k2.10(2018·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程 (1)由題意得F(1，0)，l的方程為yk(x1)(k>0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.6