2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破5 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問題 理

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2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破5 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問題 理_第1頁
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1、必考問題5函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問題(2012山東)已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù),e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與x軸平行(1)求k的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè)g(x)xf(x),其中f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:對任意x0,g(x)1e2.解(1)由f(x),得f(x),x(0,),由于曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與x軸平行所以f(1)0,因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x),x(0,),令h(x)1xxln x,x(0,),當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)0;當(dāng)x(1,)時(shí),h(x)0.又ex0,所以x

2、(0,1)時(shí),f(x)0;x(1,)時(shí),f(x)0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,)(3)因?yàn)間(x)xf(x),所以g(x)(1xxln x),x(0,),由(2)得,h(x)1xxln x,求導(dǎo)得h(x)ln x2(ln xln e2)所以當(dāng)x(0,e2)時(shí),h(x)0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(e2,)時(shí),h(x)0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減所以當(dāng)x(0,)時(shí),h(x)h(e2)1e2.又當(dāng)x(0,)時(shí),01,所以當(dāng)x(0,)時(shí),h(x)1e2,即g(x)1e2.綜上所述結(jié)論成立導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式的交匯綜合,以及利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際中的優(yōu)化問題,是命題的熱點(diǎn)

3、,而且不斷豐富創(chuàng)新題型以解答題的形式為主,綜合考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力應(yīng)通過一些典型例題的分析提高分析問題和解決問題的能力解題時(shí)要善于把復(fù)雜的、生疏的、非規(guī)范化的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的、規(guī)范化的問題來解決.??疾椋捍_定零點(diǎn),圖象交點(diǎn)及方程解的個(gè)數(shù)問題;應(yīng)用零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況,求參數(shù)的值或范圍該類試題一般以含參數(shù)的高次式、分式、指數(shù)式或?qū)?shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)、方程呈現(xiàn)主要考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想,以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力【例1】 已知x3是函數(shù)f(x)aln(1x)x210x的一個(gè)極值點(diǎn)(1)求a;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若直線yb與函數(shù)yf(x)的

4、圖象有3個(gè)交點(diǎn),求b的取值范圍審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)由f(3)0求a;(2)由f(x)0或f(x)0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)求f(x)的極值,結(jié)合圖象可確定b的取值范圍解f(x)的定義域:(1,)(1)f(x)2x10,又f(3)6100,a16.經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)x3為f(x)極值點(diǎn),故a16.(2)f(x)2x10.當(dāng)1x3時(shí),f(x)0;當(dāng)1x3時(shí),f(x)162101616ln 29f(1),f(e21)321121f(3),所以在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(1,1),(1,3),(3,)直線yb與yf(x)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)f(3)bln 21時(shí),g(x)取最小值

5、為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR,都有g(shù)(x)0.所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln 21時(shí),對任意x(0,),都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0,從而對任意x(0,),都有g(shù)(x)0.即exx22ax10,故exx22ax1.分析法在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用近年來,高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大部分是以壓軸題的形式考查的,試題難度較大,命題角度新穎,需要考生把生疏的問題通過分析轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,考查考生分析、解決問題的能力下面以2012年新課標(biāo)全國卷為例對分析法在導(dǎo)數(shù)中的具體應(yīng)用作一介紹【示例】 (2012新課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a1,

6、k為整數(shù),且當(dāng)x0時(shí),(xk)f(x)x10,求k的最大值滿分解答(1)f(x)的定義域?yàn)?,),f(x)exa.若a0,則f(x)0,所以f(x)在(,)上單調(diào)遞增;若a0,則當(dāng)x(,ln a)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(ln a,)時(shí),f(x)0,所以,f(x)在(,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,)上單調(diào)遞增(5分)(2)由于a1,所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故當(dāng)x0時(shí),(xk)f(x)x10等價(jià)于kx(x0)(8分)令g(x)x,則g(x)1.由(1)知,函數(shù)h(x)exx2在(0,)上單調(diào)遞增而h(1)0,h(2)0,所以h(x)在(0,)上存在唯一的零點(diǎn)故g(x)

7、在(0,)上存在唯一的零點(diǎn)設(shè)此零點(diǎn)為,則(1,2)當(dāng)x(0,)時(shí),g(x)0;當(dāng)x(,)時(shí),g(x)0.所以g(x)在(0,)上的最小值為g()又由g()0,可得e2,所以g()1(2,3)由于式等價(jià)于kg(),故整數(shù)k的最大值為2.(12分)老師叮嚀:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式問題等方面的應(yīng)用.其中,第(1)問求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對字母a進(jìn)行討論,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.第(2)問將原不等式轉(zhuǎn)化為kg(x)的形式,利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)g(x)的值域,進(jìn)而得到整數(shù)k的最大值.【試一試】 設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(1)若a,求f(x)的單調(diào)區(qū)

8、間;(2)若當(dāng)x0時(shí)f(x)0,求a的取值范圍解(1)a時(shí),f(x)x(ex1)x2,f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當(dāng)x(,1)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(1,0)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(0,)時(shí), f(x)0.故f(x)在(,1,0,)上單調(diào)遞增,在1,0上單調(diào)遞減(2)f(x)x(ex1ax),令g(x)ex1ax,則g(x)exa.若a1,則當(dāng)x(0,)時(shí),g(x)0,g(x)為增函數(shù),而g(0)0,從而當(dāng)x0時(shí)g(x)0,即f(x)0;若a1,則當(dāng)x(0,ln a)時(shí),g(x)0,g(x)為減函數(shù),而g(0)0,從而當(dāng)x(0,ln a)時(shí)g(x)0,即f(x)0.綜上得a的取值范圍為(,19

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