2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)10 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) 文

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1、專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(十)圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)專(zhuān)題通關(guān)練(建議用時(shí):30分鐘)1(2019合肥模擬)設(shè)雙曲線C:1(a0,b0)的虛軸長(zhǎng)為4,一條漸近線的方程為yx,則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1 Dx21A由題意知,雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4,得2b4,即b2,又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則其一條漸近線的方程為yxx,可得a4,所以雙曲線C的方程為1,故選A.2(2019全國(guó)卷)雙曲線C:1(a0,b0)的一條漸近線的傾斜角為130,則C的離心率為()A2sin 40 B2cos 40C. D.D由題意可得tan 130,所以e.故選D.3一題多解(2019長(zhǎng)沙模擬)已知拋物線C:y28x的焦點(diǎn)

2、為F,點(diǎn)A(1,a)(a0)在C上,|AF|3.若直線AF與C交于另一點(diǎn)B,則|AB|的值是()A12 B10C9 D4.5C法一:因?yàn)锳(1,a)(a0)在拋物線C上,所以a28,解得a2或a2(舍去),故直線AF的方程為y2(x2),與拋物線的方程聯(lián)立,消去y,可得x25x40,解得x11,x24,由拋物線的定義,得|BF|426,所以|AB|AF|BF|9,故選C.法二:因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)F,所以xAxBp24,又xA1,所以xB4,所以|AB|AF|BF|xAxB49,故選C.4(2019青島模擬)已知拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)F是橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn),且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓

3、相交于A,B兩點(diǎn),若FAB是正三角形,則橢圓的離心率為()A. B.C. D.C如圖,由|AB|,F(xiàn)AB是正三角形,得2c,化簡(jiǎn)可得(2a23b2)(2a2b2)0,所以2a23b20,所以,所以橢圓的離心率e,故選C.5(2019全國(guó)卷)已知F是雙曲線C:1的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|OP|OF|,則OPF的面積為()A. B.C. D.B由F是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn),知|OF|3,所以|OP|OF|3.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,P(x0,y0),x00,y00,則解得所以P,所以SOPF|OF|y03.故選B.6(2019延安一模)已知拋物線C:y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作直線

4、l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),若|AF|,|BF|2,則p_.1如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|,|BF|2,根據(jù)拋物線的定義可得x1,x22,92,p1.7(2019長(zhǎng)春模擬)如圖所示,A,B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),C是AB的中點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),OC的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)M,且|OF|,若MFOA,則橢圓的方程為_(kāi)1F為橢圓的右焦點(diǎn),|OF|,c.設(shè)橢圓方程為1(b0),A,B為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),C是AB的中點(diǎn),OC交橢圓于點(diǎn)M,MFOA,A是長(zhǎng)軸右端點(diǎn),1,yM,M.A(,0),B(0,b),C.kOMkOC,b.所求橢圓方程是1.8(2019全國(guó)卷)設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓C:1的兩個(gè)

5、焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為_(kāi)(3,)設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn),分析可知M在以F1為圓心、焦距為半徑長(zhǎng)的圓上,即在圓(x4)2y264上因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓1上,所以聯(lián)立方程可得解得又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,)能力提升練(建議用時(shí):15分鐘)9已知拋物線C:y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C上存在一點(diǎn)E(2,t)到焦點(diǎn)F的距離等于3.(1)求拋物線C的方程;(2)已知點(diǎn)P在拋物線C上且異于原點(diǎn),點(diǎn)Q為直線x1上的點(diǎn),且FPFQ,求直線PQ與拋物線C的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由解(1)拋物線C的準(zhǔn)線方程為x,所以點(diǎn)E(2,t)到焦點(diǎn)F的距離為23,解

6、得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)直線PQ與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)理由如下:設(shè)點(diǎn)P,點(diǎn)Q(1,m)由(1)得焦點(diǎn)F(1,0),則,(2,m),由題意可得0,故2my00,從而m.故直線PQ的斜率kPQ.故直線PQ的方程為yy0,得x.又拋物線C的方程為y24x,所以由得(yy0)20,故yy0,x.故直線PQ與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)10(2019永州三模)已知橢圓E:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,橢圓過(guò)點(diǎn)(0,2),點(diǎn)Q為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于左、右頂點(diǎn)),且QF1F2的周長(zhǎng)為44.(1)求橢圓E的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別作斜率為k1,k2的直線l1,l2,分別交橢圓E于A

7、,B和C,D四點(diǎn),且|AB|CD|6,求k1k2的值解(1)由題意可知,解之得a2,b2,所以橢圓E的方程為1.(2)由題意可知,F(xiàn)1(2,0),F(xiàn)2(2,0),設(shè)直線AB的方程為yk1(x2),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得(12k)x28kx8k80,(8k)24(12k)(8k8)32(k1)0,則x1x2,x1x2,|AB|x1x2|4,同理聯(lián)立方程,由弦長(zhǎng)公式可知,|CD|4,|AB|CD|6,446,化簡(jiǎn)得kk,則k1k2.題號(hào)內(nèi)容押題依據(jù)1雙曲線的漸近線、離心率、直線與拋物線的位置關(guān)系雙曲線的離心率問(wèn)題,歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)本題以求雙曲線的離心率為背景,綜合考查雙曲線的基

8、本性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)2橢圓、圓與橢圓(拋物線)、圓有關(guān)的圓錐曲線問(wèn)題在近幾年高考中都有涉及,是高考的熱點(diǎn)題型,多作為壓軸題出現(xiàn),本題將橢圓(拋物線)與圓相結(jié)合,考查三角形面積最值的求解,綜合考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),符合高考的命題規(guī)律【押題1】一題多解雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A.B5C.D.D由于雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線yx與拋物線yx21相切法一:由得ax2bxa0,則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,即

9、b24a20,解得4,所以離心率e.故選D.法二:設(shè)切點(diǎn)為(x0,x1),對(duì)yx21求導(dǎo),得y2x,則x1x0,2x0,所以2,所以離心率e.故選D.【押題2】已知橢圓C:1(ab0)的頂點(diǎn)到直線l:yx的距離分別為,.(1)求橢圓C的離心率;(2)過(guò)圓O:x2y24上任意一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線PM和PN分別與圓O交于點(diǎn)M,N,求PMN面積的最大值解(1)由直線l的方程知,直線l與兩坐標(biāo)軸的夾角均為45,則可得長(zhǎng)軸端點(diǎn)到直線l的距離為a,短軸端點(diǎn)到直線l的距離為b,所以解得所以c.于是橢圓C的離心率e.(2)設(shè)P(xP,yP),則xy4.若兩條切線中有一條切線的斜率不存在,則xP,yP1,另一條切線的斜率為0,從而PMPN.此時(shí)SPMN|PM|PN|222.若兩條切線的斜率均存在,則xP,由(1)知,橢圓方程為y21,設(shè)過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線方程為yyPk(xxP),代入橢圓方程,消去y并整理,得(3k21)x26k(yPkxP)x3(yPkxP)230.依題意有0,即(3x)k22xPyPk1y0.設(shè)切線PM,PN的斜率分別為k1,k2,則k1k21,即PMPN.所以線段MN為圓O的直徑,所以|MN|4.所以SPMN|PM|PN|(|PM|2|PN|2)|MN|24,當(dāng)且僅當(dāng)|PM|PN|2時(shí),SPMN取得最大值,最大值為4.綜合可得,PMN面積的最大值為4.- 7 -

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