2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)10 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) 文

專題限時(shí)集訓(xùn)(十)圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)專題通關(guān)練(建議用時(shí)：30分鐘)1(2019·合肥模擬)設(shè)雙曲線C：1(a0，b0)的虛軸長(zhǎng)為4，一條漸近線的方程為yx，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1 Dx21A由題意知，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，得2b4，即b2，又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則其一條漸近線的方程為yxx，可得a4，所以雙曲線C的方程為1，故選A.2(2019·全國(guó)卷)雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A2sin 40° B2cos 40°C. D.D由題意可得tan 130°，所以e.故選D.3一題多解(2019·長(zhǎng)沙模擬)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(1，a)(a0)在C上，|AF|3.若直線AF與C交于另一點(diǎn)B，則|AB|的值是()A12 B10C9 D4.5C法一：因?yàn)锳(1，a)(a0)在拋物線C上，所以a28，解得a2或a2(舍去)，故直線AF的方程為y2(x2)，與拋物線的方程聯(lián)立，消去y，可得x25x40，解得x11，x24，由拋物線的定義，得|BF|426，所以|AB|AF|BF|9，故選C.法二：因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)F，所以xAxBp24，又xA1，所以xB4，所以|AB|AF|BF|xAxB49，故選C.4(2019·青島模擬)已知拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)F是橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若FAB是正三角形，則橢圓的離心率為()A. B.C. D.C如圖，由|AB|，F(xiàn)AB是正三角形，得×2c，化簡(jiǎn)可得(2a23b2)(2a2b2)0，所以2a23b20，所以，所以橢圓的離心率e，故選C.5(2019·全國(guó)卷)已知F是雙曲線C：1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|OP|OF|，則OPF的面積為()A. B.C. D.B由F是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，則解得所以P，所以SOPF|OF|·y0×3×.故選B.6(2019·延安一模)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若|AF|，|BF|2，則p_.1如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|，|BF|2，根據(jù)拋物線的定義可得x1，x22，92，p1.7(2019·長(zhǎng)春模擬)如圖所示，A，B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，OC的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)M，且|OF|，若MFOA，則橢圓的方程為_(kāi)1F為橢圓的右焦點(diǎn)，|OF|，c.設(shè)橢圓方程為1(b0)，A，B為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，OC交橢圓于點(diǎn)M，MFOA，A是長(zhǎng)軸右端點(diǎn)，1，yM，M.A(，0)，B(0，b)，C.kOMkOC，b.所求橢圓方程是1.8(2019·全國(guó)卷)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)(3，)設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知M在以F1為圓心、焦距為半徑長(zhǎng)的圓上，即在圓(x4)2y264上因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓1上，所以聯(lián)立方程可得解得又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，)能力提升練(建議用時(shí)：15分鐘)9已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C上存在一點(diǎn)E(2，t)到焦點(diǎn)F的距離等于3.(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)P在拋物線C上且異于原點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線x1上的點(diǎn)，且FPFQ，求直線PQ與拋物線C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由解(1)拋物線C的準(zhǔn)線方程為x，所以點(diǎn)E(2，t)到焦點(diǎn)F的距離為23，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)直線PQ與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)理由如下：設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)Q(1，m)由(1)得焦點(diǎn)F(1,0)，則，(2，m)，由題意可得·0，故2my00，從而m.故直線PQ的斜率kPQ.故直線PQ的方程為yy0，得x.又拋物線C的方程為y24x，所以由得(yy0)20，故yy0，x.故直線PQ與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)10(2019·永州三模)已知橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，點(diǎn)Q為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于左、右頂點(diǎn))，且QF1F2的周長(zhǎng)為44.(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作斜率為k1，k2的直線l1，l2，分別交橢圓E于A，B和C，D四點(diǎn)，且|AB|CD|6，求k1k2的值解(1)由題意可知，解之得a2，b2，所以橢圓E的方程為1.(2)由題意可知，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)直線AB的方程為yk1(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(12k)x28kx8k80，(8k)24(12k)(8k8)32(k1)0，則x1x2，x1x2，|AB|x1x2|4，同理聯(lián)立方程，由弦長(zhǎng)公式可知，|CD|4，|AB|CD|6，446，化簡(jiǎn)得kk，則k1k2±.題號(hào)內(nèi)容押題依據(jù)1雙曲線的漸近線、離心率、直線與拋物線的位置關(guān)系雙曲線的離心率問(wèn)題，歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)本題以求雙曲線的離心率為背景，綜合考查雙曲線的基本性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)2橢圓、圓與橢圓(拋物線)、圓有關(guān)的圓錐曲線問(wèn)題在近幾年高考中都有涉及，是高考的熱點(diǎn)題型，多作為壓軸題出現(xiàn)，本題將橢圓(拋物線)與圓相結(jié)合，考查三角形面積最值的求解，綜合考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，符合高考的命題規(guī)律【押題1】一題多解雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A.B5C.D.D由于雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線yx與拋物線yx21相切法一：由得ax2bxa0，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，即b24a20，解得4，所以離心率e.故選D.法二：設(shè)切點(diǎn)為(x0，x1)，對(duì)yx21求導(dǎo)，得y2x，則x1x0,2x0，所以2，所以離心率e.故選D.【押題2】已知橢圓C：1(ab0)的頂點(diǎn)到直線l：yx的距離分別為，.(1)求橢圓C的離心率；(2)過(guò)圓O：x2y24上任意一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線PM和PN分別與圓O交于點(diǎn)M，N，求PMN面積的最大值解(1)由直線l的方程知，直線l與兩坐標(biāo)軸的夾角均為45°，則可得長(zhǎng)軸端點(diǎn)到直線l的距離為a，短軸端點(diǎn)到直線l的距離為b，所以解得所以c.于是橢圓C的離心率e.(2)設(shè)P(xP，yP)，則xy4.若兩條切線中有一條切線的斜率不存在，則xP±，yP±1，另一條切線的斜率為0，從而PMPN.此時(shí)SPMN|PM|·|PN|×2×22.若兩條切線的斜率均存在，則xP±，由(1)知，橢圓方程為y21，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線方程為yyPk(xxP)，代入橢圓方程，消去y并整理，得(3k21)x26k(yPkxP)x3(yPkxP)230.依題意有0，即(3x)k22xPyPk1y0.設(shè)切線PM，PN的斜率分別為k1，k2，則k1k21，即PMPN.所以線段MN為圓O的直徑，所以|MN|4.所以SPMN|PM|·|PN|(|PM|2|PN|2)|MN|24，當(dāng)且僅當(dāng)|PM|PN|2時(shí)，SPMN取得最大值，最大值為4.綜合可得，PMN面積的最大值為4.- 7 -