2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 7 第6講 雙曲線練習(xí) 理（含解析）

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1、第6講 雙曲線 基礎(chǔ)題組練1“k9”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A.因?yàn)榉匠?表示雙曲線，所以(25k)(k9)0，所以k25，所以“k0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx解析：選A.法一：由題意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx，故選A.法二：由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx，故選A.3(一題多解)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1，3) B(1，)C(0，3) D(0，)解析：選A.法一：由題意可知：

2、c2(m2n)(3m2n)4m2，其中c為半焦距，所以2c2|2m|4，所以|m|1，因?yàn)榉匠?表示雙曲線，所以(m2n)(3m2n)0，所以m2n3m2，所以1n0，b0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4，則b()A2 B4C6 D8解析：選B.由題意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故選B.5(一題多解)(2019開封模擬)過雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)F(c，0)作圓O：x2y2a2的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A. B.C.1 D.解析：選A.法一：如圖所示，不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接OE，PF，因?yàn)?/p>

3、PF是圓O的切線，所以O(shè)EPE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F的中點(diǎn)，所以|OE|PF|，又|OE|a，所以|PF|2a，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，|PF|PF|2a，所以|PF|4a，所以|EF|2a，在RtOEF中，|OE|2|EF|2|OF|2，即a24a2c2，所以e，故選A.法二：連接OE，因?yàn)閨OF|c，|OE|a，OEEF，所以|EF|b，設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF，因?yàn)镺，E分別為線段FF，F(xiàn)P的中點(diǎn)，所以|PF|2b，|PF|2a，所以|PF|PF|2a，所以b2a，所以e.6(2018高考全國(guó)卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別

4、為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4解析：選B.因?yàn)殡p曲線y21的漸近線方程為yx，所以MON60.不妨設(shè)過點(diǎn)F的直線與直線yx交于點(diǎn)M，由OMN為直角三角形，不妨設(shè)OMN90，則MFO60，又直線MN過點(diǎn)F(2，0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故選B.7(2019遼寧五校協(xié)作體聯(lián)合模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為A，若AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為()A.1 B.y21C.1 Dx21解析：選D.因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到

5、漸近線的距離|FA|b，|OA|a，所以ab2，又雙曲線C的離心率為，所以 ，即b24a2，解得a21，b24，所以雙曲線C的方程為x21，故選D.8(2019河北邯鄲聯(lián)考)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若直線yx與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為()A2 B.C2 D.解析：選D.由題意可得，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，將直線yx代入雙曲線C方程，可得x，所以c，所以2a2b2c2(b2a2)，即2(e21)e42e2，所以e44e220.因?yàn)閑1，所以e22，所以e，故選D.9(2019貴陽模擬)過雙曲線C：1(a0，b0)的右

6、焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P，若2，則雙曲線的離心率為()A. B.C. D2解析：選B.設(shè)P(0，3m)，由2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)镺MPF，所以1，所以m2c2，所以M，由|OM|2|MF|2|OF|2，|OM|a，|OF|c得，a2c2，a2c2，所以e，故選B.10(2019石家莊模擬)雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30的直線，與y軸和雙曲線的右支分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A平分線段F1B，則該雙曲線的離心率是()A. B.C2 D.解析：選A.由題意可知F1(c，0)，設(shè)A(0，y0)，因?yàn)锳是F1B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B

7、的橫坐標(biāo)為c，又點(diǎn)B在雙曲線的右支上，所以B，因?yàn)橹本€F1B的傾斜角為30，所以，化簡(jiǎn)整理得，又b2c2a2，所以3c23a22ac0，兩邊同時(shí)除以a2得3e22e30，解得e或e(舍去)，故選A.11已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)若0，則y0的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A.由題意知a，b1，c，設(shè)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，則(x0，y0)，(x0，y0)因?yàn)?，所以(x0)(x0)y0，即x3y0.因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線C上，所以y1，即x22y，所以22y3y0，所以y00，b0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交

8、于A，B兩點(diǎn)，D為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，)B(，)C(，2)D(1，)(，)解析：選D.設(shè)雙曲線：1(a0，b0)的左焦點(diǎn)為F1(c，0)，令xc，可得y，可設(shè)A，B.又設(shè)D(0，b)，可得.，.由ABD為鈍角三角形，可得DAB為鈍角或ADB為鈍角當(dāng)DAB為鈍角時(shí)，可得0，即為0b，即有a2b2c2a2.可得c22a2，即e1，可得1e；當(dāng)ADB為鈍角時(shí)，可得0，即為c20，由e，可得e44e220.又e1，可得e.綜上可得，e的范圍為(1，)(，)故選D.13若雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為_

9、解析：由雙曲線的漸近線過點(diǎn)(3，4)知，所以.又b2c2a2，所以，即e21，所以e2，所以e.答案：14雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a_.解析：雙曲線1的漸近線方程為yx，由已知可得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對(duì)稱性可得1.又正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：215(2019武漢調(diào)研)已知點(diǎn)P在雙曲線1(a0，b0)上，PFx軸(其中F為雙曲線的右焦點(diǎn))，點(diǎn)P到該雙曲線的兩條漸近線的距離之比為，則該雙曲線的離心率為_解析：由題意知F(c，0)，由PF

10、x軸，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則P，雙曲線漸近線的方程為bxay0，由題意，得，解得c2b，又c2a2b2，所以ab，所以雙曲線的離心率e.答案：16(2019長(zhǎng)春監(jiān)測(cè))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上任一點(diǎn)，過點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|_解析：如圖所示，延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)Q，由PH為F1PF2的平分線及PHF1Q，可知|PF1|PQ|，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|PF1|2，從而|QF2|2，在F1QF2中，易知OH為中位線，故|OH|1.答案：1綜合題組練1(一題多解)已知雙曲線C：1 (a0，b0)的一條漸

11、近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選B.法一：由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為k(k0)，即1，因?yàn)殡p曲線與橢圓1有公共焦點(diǎn)，所以4k5k123，解得k1，故雙曲線C的方程為1.故選B.法二：因?yàn)闄E圓1的焦點(diǎn)為(3，0)，雙曲線與橢圓1有公共焦點(diǎn)，所以a2b2(3)29，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為yx，所以，聯(lián)立可解得a24，b25.所以雙曲線C的方程為1.2(2019鄭州模擬)已知雙曲線C：1(ab0)的兩條漸近線與圓O：x2y25交于M，N，P，Q四點(diǎn)，若四邊形MNPQ的面積為8，則雙曲線C的漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dy

12、x解析：選B.以原點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)為的圓的方程為x2y25，雙曲線的兩條漸近線方程為yx，不妨設(shè)M，因?yàn)樗倪呅蜯NPQ的面積為8，所以4xx8，所以x22，將M代入x2y25，可得x2x25，所以5，ab0，解得，故選B.3(2019石家莊模擬)以橢圓1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線C，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)(x00，y00)滿足，則SPMF1SPMF2()A2 B4C1 D1解析：選A.由題意，知雙曲線方程為1，|PF1|PF2|4，由，可得，即F1M平分PF1F2.又結(jié)合平面幾何知識(shí)可得，F(xiàn)1PF2的內(nèi)心在直線x2上，所以

13、點(diǎn)M(2，1)就是F1PF2的內(nèi)心故SPMF1SPMF2(|PF1|PF2|)1412.4(2019高考全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若，0，則C的離心率為_解析：通解：因?yàn)?，所以F1BF2B，如圖所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因?yàn)椋渣c(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)ABF2，所以F1BOA，因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan BF1O，tan BOF2.因?yàn)閠an BOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23

14、a2，即2ac，所以雙曲線的離心率e2.優(yōu)解：因?yàn)?，所以F1BF2B，在RtF1BF2 中，|OB|OF2|，所以O(shè)BF2OF2B，又，所以A為F1B的中點(diǎn)，所以O(shè)AF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以O(shè)BF2為等邊三角形由F2(c，0)可得B，因?yàn)辄c(diǎn)B在直線yx上，所以c，所以，所以e2.答案：25設(shè)雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2.(1)若A，B分別為此雙曲線的漸近線l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|5|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；(2)過點(diǎn)N(1，0)能否作出直線l，使l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，且0，若存在，求出直線l的方

15、程；若不存在，說明理由解：(1)因?yàn)閑2，所以c24a2，因?yàn)閏2a23，所以a1，c2，所以雙曲線方程為y21，漸近線方程為yx；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)?|AB|5|F1F2|，所以|AB|F1F2|10，所以10，因?yàn)閥1x1，y2x2，2xx1x2，2yy1y2，所以y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)，所以10，所以3(2y)2(2x)2100，即1，則M的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為的橢圓(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l.設(shè)l：yk(x1)，l與雙曲線交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因?yàn)?，所以x1x2y1y20，所以x1x2k2(x11)(x21)0，所以x1x2k2x1x2(x1x2)10，因?yàn)?，可?3k21)x26k2x3k230，所以x1x2，x1x2，將代入得k230，所以k不存在，所以假設(shè)不成立，即不存在滿足條件的直線l.- 11 -