2021版高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第7講 雙曲線練習 理 北師大版

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1、第7講 雙曲線 基礎(chǔ)題組練1“k9”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A.因為方程1表示雙曲線，所以(25k)(k9)0，所以k25，所以“k0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx解析：選A.法一：由題意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx，故選A.法二：由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx，故選A.3(2020廣東揭陽一模)過雙曲線1(a0，b0)的兩焦點且與x軸垂直的直線與雙曲線的四個交點組成一個正方形，則該雙曲線的離心率為()A.1 BC. D2解析：選B

2、.將xc代入雙曲線的方程得y2y，則2c，即有acb2c2a2，由e，可得e2e10，解得e(舍負)故選B.4設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx解析：選C.如圖，不妨令B在x軸上方，因為BC過右焦點F(c，0)，且垂直于x軸，所以可求得B，C兩點的坐標分別為，.又A1，A2的坐標分別為(a，0)，(a，0)所以，.因為A1BA2C，所以0，即(ca)(ca)0，即c2a20，所以b20，故1，即1.又雙曲線的漸近線的斜率為，故該雙曲線的漸近線的方程為

3、yx.5(2020河北衡水三模)過雙曲線1(a0，b0)的右焦點F(，0)作斜率為k(k1)的直線與雙曲線過第一象限的漸近線垂直，且垂足為A，交另一條漸近線于點B，若SBOF(O為坐標原點)，則k的值為()A B2C D解析：選B.由題意得雙曲線過第一象限的漸近線方程為yx，過第二象限的漸近線的方程為yx，直線FB的方程為yk(x)，聯(lián)立方程得x，所以y，所以SBOF|OF|yB|.令，得k2或k(舍)故選B.6(2020黃山模擬)過雙曲線E：1(a0，b0)的左焦點(，0)，作圓(x)2y24的切線，切點在雙曲線E上，則E的離心率等于()A2 BC. D解析：選B.設(shè)圓的圓心為G，雙曲線的左

4、焦點為F.由圓的方程(x)2y24，知圓心坐標為G(，0)，半徑R2，則FG2.設(shè)切點為P，則GPFP，PG2，PF22a，由|PF|2|PG|2|FG|2，即(22a)2420，即(22a)216，得22a4，a1，又c，所以雙曲線的離心率e，故選B.7設(shè)F為雙曲線1(a0，b0)的右焦點，若線段OF的垂直平分線與雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)的交點到另一條漸近線的距離為|OF|，則雙曲線的離心率為()A2 BC2 D3解析：選B.雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為yx，線段OF的垂直平分線為直線x，將x代入yx，則y，則交點坐標為，點到直線yx，即bxay0的距離d|OF|，得c2b2，即4

5、a23c2，所以雙曲線的離心率e，故選B.8已知雙曲線C：y21，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4解析：選B.因為雙曲線y21的漸近線方程為yx，所以MON60.不妨設(shè)過點F的直線與直線yx交于點M，由OMN為直角三角形，不妨設(shè)OMN90，則MFO60，又直線MN過點F(2，0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故選B.9(2020湛江模擬)設(shè)F為雙曲線E：1(a，b0)的右焦點，過E的右頂點作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點，O為坐標原點，

6、四邊形OAFB為菱形，圓x2y2c2(c2a2b2)與E在第一象限的交點是P，且|PF|1，則雙曲線E的方程是()A.1 B1C.y21 Dx21解析：選D.雙曲線E：1的漸近線方程為yx，因為四邊形OAFB為菱形，所以對角線互相垂直平分，所以c2a，AOF60，所以.則有解得P.因為|PF|1，所以(1)2，解得a1，則b，故雙曲線E的方程為x21.故選D.10已知雙曲線1(b0)的左頂點為A，虛軸長為8，右焦點為F，且F與雙曲線的漸近線相切，若過點A作F的兩條切線，切點分別為M，N，則|MN|()A8 B4C2 D4解析：選D.因為雙曲線1(b0)的虛軸長為8，所以2b8，解得b4，因為a

7、3，所以雙曲線的漸近線方程為yx，c2a2b225，A(3，0)，所以c5，所以F(5，0)，因為F與雙曲線的漸近線相切，所以F的半徑為4，所以|MF|4，因為|AF|ac358，所以|AM|4，因為S四邊形AMFN2|AM|MF|AF|MN|，所以2448|MN|，解得|MN|4，故選D.11(2020開封模擬)過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點F作圓x2y2a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P，若2，則雙曲線的離心率為()A. BC. D2解析：選B.設(shè)P(0，3m)，由2，可得點M的坐標為，因為OMPF，所以1，所以m2c2，所以M，由|OM|2|MF|2|OF|2，|OM|a，|

8、OF|c得，a2c2，a2c2，所以e，故選B.12過雙曲線1(a0，b0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸上的一個端點，且ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，)B(，)C(，2)D(1，)(，)解析：選D.設(shè)雙曲線：1(a0，b0)的左焦點為F1(c，0)，令xc，可得y，可設(shè)A，B.又設(shè)D(0，b)，可得，.由ABD為鈍角三角形，可得DAB為鈍角或ADB為鈍角當DAB為鈍角時，可得0，即為0b，即有a2b2c2a2.可得c22a2，即e1，可得1e；當ADB為鈍角時，可得0，即為c20，由e，可得e44e220.又e1，可得e.綜上可得，e

9、的范圍為(1，)(，)故選D.13焦點在x軸上，焦距為10，且與雙曲線x21有相同漸近線的雙曲線的標準方程是_解析：設(shè)所求雙曲線的標準方程為x2(0)，即1，則有425，解得5，所以所求雙曲線的標準方程為1.答案：114過雙曲線1(a0，b0)的左焦點F1作圓x2y2a2的切線交雙曲線的右支于點P，且切點為T，已知O為坐標原點，M為線段PF1的中點(點M在切點T的右側(cè))，若OTM的周長為4a，則雙曲線的漸近線方程為_解析：連接OT，則OTF1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|b.設(shè)雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，所以O(shè)MPF2，所以|MO|MT|PF2

10、|(|PF2|PF1|)b(2a)bba.又|MO|MT|TO|4a，即|MO|MT|3a，故|MO|，|MT|，由勾股定理可得a2，即，所以漸近線方程為yx.答案：yx15已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點若0，則y0的取值范圍是_解析：由題意知a，b1，c，設(shè)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，則(x0，y0)，(x0，y0)因為0，所以(x0)(x0)y0，即x3y0.因為點M(x0，y0)在雙曲線C上，所以y1，即x22y，所以22y3y0，所以y00，b0)的左、右兩個焦點，若直線yx與雙曲線C交于P，Q兩點，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的

11、離心率為_解析：由題意可得，矩形的對角線長相等，將直線yx代入雙曲線C方程，可得x，所以c，所以2a2b2c2(b2a2)，即2(e21)e42e2，所以e44e220.因為e1，所以e22，所以e.答案：綜合題組練1過雙曲線1(a0，b0)的左焦點F(c，0)作圓O：x2y2a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為()A. BC.1 D解析：選A.法一：如圖所示，不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，連接OE，PF，因為PF是圓O的切線，所以O(shè)EPE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F的中點，所以|OE|PF|，又|OE|a，所以|PF|2a，根據(jù)雙曲線

12、的性質(zhì)，|PF|PF|2a，所以|PF|4a，所以|EF|2a，在RtOEF中，|OE|2|EF|2|OF|2，即a24a2c2，所以e，故選A.法二：連接OE，因為|OF|c，|OE|a，OEEF，所以|EF|b，設(shè)F為雙曲線的右焦點，連接PF，因為O，E分別為線段FF，F(xiàn)P的中點，所以|PF|2b，|PF|2a，所以|PF|PF|2a，所以b2a，所以e.2(2020漢中模擬)設(shè)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)是雙曲線C：1(a0，b0)的左，右焦點，點P是C右支上異于頂點的任意一點，PQ是F1PF2的平分線，過點F1作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標原點，則|OQ|()A為定值aB為定值bC

13、為定值cD不確定，隨P點位置變化而變化解析：選A.延長F1Q，PF2交于點M，則三角形PF1M為等腰三角形，可得Q為F1M的中點，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|F2M|2a，由三角形中位線定理可得|OQ|F2M|a，故選A.3以橢圓1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.已知點M的坐標為(2，1)，雙曲線C上的點P(x0，y0)(x00，y00)滿足，則SPMF1SPMF2()A2 B4C1 D1解析：選A.由題意，知雙曲線方程為1，|PF1|PF2|4，由，可得，即F1M平分PF1F2.又結(jié)合平面幾何知識可得，F(xiàn)1PF2的內(nèi)心在直線x2上，所以點M(2，1)

14、就是F1PF2的內(nèi)心故SPMF1SPMF2(|PF1|PF2|)1412.4(2019高考全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點若，0，則C的離心率為_解析：通解：因為0，所以F1BF2B，如圖所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因為，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以O(shè)ABF2，所以F1BOA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan BF1O，tan BOF2.因為tan BOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，

15、所以雙曲線的離心率e2.優(yōu)解：因為0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以O(shè)BF2OF2B，又，所以A為F1B的中點，所以O(shè)AF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以O(shè)BF2為等邊三角形由F2(c，0)可得B，因為點B在直線yx上，所以c，所以，所以e2.答案：25已知雙曲線C：y21，直線l：ykxm與雙曲線C相交于A，B兩點(A，B均異于左、右頂點)，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，則直線l所過定點為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(14k2)x28kmx4(m21)0，所以64m2k216(14k2)(m21)0，x1

16、x20，x1x20，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因為以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D(2，0)，所以kADkBD1，即1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，即40，所以3m216mk20k20，解得m2k或m.當m2k時，l的方程為yk(x2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；當m時，l的方程為yk，直線過定點，經(jīng)檢驗符合已知條件故直線l過定點.答案：6已知P為雙曲線C：1(a0，b0)右支上的任意一點，經(jīng)過點P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點若點A，B分別位于第一、四象限，O為坐標原點，當時，AOB的面積為2b，則雙曲線C的實軸長為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由，得(xx1，yy1)(x2x，y2y)，則xx1x2，yy1y2，所以1.由題意知A在直線yx上，B在yx上，則y1x1，y2x2.所以1，即b2(x1x2)2a2(x1x2)2a2b2，化簡得：a2x1x2，由漸近線的對稱性可得sinAOBsin 2AOx.所以AOB的面積為|OA|OB|sinAOBsinAOBx1x2a21()2ab2b，解得a.所以雙曲線C的實軸長為.答案：13