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1、第六章 第41煉 指對數(shù)比較大小 不等式
第41煉 指對數(shù)比較大小
在填空選擇題中我們會遇到一類比較大小的問題,通常是三個指數(shù)和對數(shù)混在一起,進(jìn)行排序。這類問題如果兩兩進(jìn)行比較,則花費(fèi)的時間較多,所以本講介紹處理此類問題的方法與技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判斷對數(shù)的符號?八字真言“同區(qū)間正,異區(qū)間負(fù)”,容我慢慢道來:
判斷對數(shù)的符號,關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù),區(qū)間分為和
(1)如果底數(shù)和真數(shù)均在中,或者均在中,那么對數(shù)的值為正數(shù)
(2)如果底數(shù)和真數(shù)一個在中
2、,一個在中,那么對數(shù)的值為負(fù)數(shù)
例如:等
2、要善于利用指對數(shù)圖像觀察指對數(shù)與特殊常數(shù)(如0,1)的大小關(guān)系,一作圖,自明了
3、比較大小的兩個理念:
(1)求同存異:如果兩個指數(shù)(或?qū)?shù))的底數(shù)相同,則可通過真數(shù)的大小與指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷出指數(shù)(或?qū)?shù))的關(guān)系,所以要熟練運(yùn)用公式,盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況
例如:,比較時可進(jìn)行轉(zhuǎn)化,盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底,但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤?
,從而只需比較底數(shù)的大小即可
(2)利用特殊值作“中間量”:在指對數(shù)中通??蓛?yōu)先選擇“0,1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分,然后再進(jìn)行比較,有時可以簡化比較的步驟(在兵法上可稱為“分割包圍,各
3、個擊破”,也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計,例如,可知,進(jìn)而可估計是一個1點(diǎn)幾的數(shù),從而便于比較
4、常用的指對數(shù)變換公式:
(1)
(2)
(3)
(4)換底公式:
進(jìn)而有兩個推論: (令)
二、典型例題:
例1:設(shè),則的大小關(guān)系是______________
思路:可先進(jìn)行分堆,可判斷出,從而肯定最大,只需比較即可,觀察到有相同的結(jié)構(gòu):真數(shù)均帶有根號,抓住這個特點(diǎn),利用對數(shù)公式進(jìn)行變換:,從而可比較出,所以
答案:
例2:設(shè),則的大小關(guān)系是___________
思路:觀察發(fā)現(xiàn)均在內(nèi),的真數(shù)相同,進(jìn)而可通過比較底數(shù)得到大小關(guān)系
4、:,在比較和的大小,由于是指數(shù),很難直接與對數(shù)找到聯(lián)系,考慮估計值得大?。海煽紤]以為中間量,則,進(jìn)而,所以大小順序?yàn)?
答案:
例3:設(shè) 則的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
思路:觀察到都是以為底的對數(shù),所以將其系數(shù)“放”進(jìn)對數(shù)之中,再進(jìn)行真數(shù)的比較。發(fā)現(xiàn)真數(shù)的底與指數(shù)也不相同,所以依然考慮“求同存異”,讓三個真數(shù)的指數(shù)一致: ,通過比較底數(shù)的大小可得:
答案:C
小煉有話說:(1)本題的核心處理方式就是“求同存異”,將三個數(shù)變形為具備某相同的部分,從而轉(zhuǎn)換比較的對象,將“無法比較”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢员?/p>
5、較”
(2)本題在比較指數(shù)冪時,底數(shù)的次數(shù)較高,計算起來比較麻煩。所以也可以考慮將這三個數(shù)兩兩進(jìn)行比較,從而減少底數(shù)的指數(shù)便于計算。例如可以先比較,從而,同理再比較或即可
例4:設(shè),,,則( )
A. B. C. D.
思路:觀察可發(fā)現(xiàn):
,所以可得:
答案:D
例5:設(shè) 則的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
思路:觀察可發(fā)現(xiàn)的底數(shù)相同,的指數(shù)相同,進(jìn)而考慮先進(jìn)行這兩輪的比較。對于,兩者底數(shù)在,則指數(shù)越大,指數(shù)冪越小,所以可得,再比較,兩者指
6、數(shù)相同,所以底數(shù)越大,則指數(shù)冪越大,所以,綜上:
答案:B
例6:已知三個數(shù),則它們之間的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
思路:可先進(jìn)行分組,,,所以只需比較大小,兩者都介于之間且一個是對數(shù),一個是三角函數(shù),無法找到之間的聯(lián)系。所以考慮尋找中間值作為橋梁。以作為入手點(diǎn)。利用特殊角的余弦值估計其大小。,而,從而,大小順序?yàn)?
答案:A
小煉有話說:在尋找中間量時可以以其中一個為入手點(diǎn),由于非特殊角的三角函數(shù)值可用特殊角三角函數(shù)值估計值的大小,所以本題優(yōu)先選擇作為研究對象。
例7:(2015甘肅河西三校第一
7、次聯(lián)考)設(shè),則( )
A. B. C. D.
思路:首先進(jìn)行分組,可得,下面比較的大小,可以考慮以作為中間量,,所以,從而
答案:D
例8:設(shè)且,則的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
思路:由可得:,先用將分堆,,,則為最大,只需要比較即可,由于的底數(shù)與真數(shù)不同,考慮進(jìn)行適當(dāng)變形并尋找中間量。,而,因?yàn)椋?,所以順序?yàn)?
答案:C
例9:下列四個數(shù):的大小順序?yàn)開_______
思路:觀察發(fā)現(xiàn),其余均為正。所以只需比較,考慮
8、,所以,而,所以下一步比較:,所以,綜上所述,大小順序?yàn)?
答案:
例10:已知均為正數(shù),且,則( )
A. B. C. D.
思路:本題要通過左右相等的條件,以某一側(cè)的值作為突破口,去推斷的范圍。首先觀察等式左側(cè),左側(cè)的數(shù)值均大于0,所以可得:均大于0,由對數(shù)的符號特點(diǎn)可得:,只需比較大小即可。觀察到,從而,所以順序?yàn)?
答案:A
小煉有話說:本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小,觀察發(fā)現(xiàn)前兩個等式右側(cè)為的形式,而第三個等式也可變形為,從而可以考慮視分別為兩個函數(shù)的交點(diǎn)。先作出圖像,再在這個坐標(biāo)系中作出,比較交點(diǎn)的位置即可。