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1、第六章 第41煉 指對(duì)數(shù)比較大小 不等式
第41煉 指對(duì)數(shù)比較大小
在填空選擇題中我們會(huì)遇到一類比較大小的問(wèn)題,通常是三個(gè)指數(shù)和對(duì)數(shù)混在一起,進(jìn)行排序。這類問(wèn)題如果兩兩進(jìn)行比較,則花費(fèi)的時(shí)間較多,所以本講介紹處理此類問(wèn)題的方法與技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)?八字真言“同區(qū)間正,異區(qū)間負(fù)”,容我慢慢道來(lái):
判斷對(duì)數(shù)的符號(hào),關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù),區(qū)間分為和
(1)如果底數(shù)和真數(shù)均在中,或者均在中,那么對(duì)數(shù)的值為正數(shù)
(2)如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在中
2、,一個(gè)在中,那么對(duì)數(shù)的值為負(fù)數(shù)
例如:等
2、要善于利用指對(duì)數(shù)圖像觀察指對(duì)數(shù)與特殊常數(shù)(如0,1)的大小關(guān)系,一作圖,自明了
3、比較大小的兩個(gè)理念:
(1)求同存異:如果兩個(gè)指數(shù)(或?qū)?shù))的底數(shù)相同,則可通過(guò)真數(shù)的大小與指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷出指數(shù)(或?qū)?shù))的關(guān)系,所以要熟練運(yùn)用公式,盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況
例如:,比較時(shí)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化,盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底,但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤?
,從而只需比較底數(shù)的大小即可
(2)利用特殊值作“中間量”:在指對(duì)數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“0,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分,然后再進(jìn)行比較,有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟(在兵法上可稱為“分割包圍,各
3、個(gè)擊破”,也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì),例如,可知,進(jìn)而可估計(jì)是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù),從而便于比較
4、常用的指對(duì)數(shù)變換公式:
(1)
(2)
(3)
(4)換底公式:
進(jìn)而有兩個(gè)推論: (令)
二、典型例題:
例1:設(shè),則的大小關(guān)系是______________
思路:可先進(jìn)行分堆,可判斷出,從而肯定最大,只需比較即可,觀察到有相同的結(jié)構(gòu):真數(shù)均帶有根號(hào),抓住這個(gè)特點(diǎn),利用對(duì)數(shù)公式進(jìn)行變換:,從而可比較出,所以
答案:
例2:設(shè),則的大小關(guān)系是___________
思路:觀察發(fā)現(xiàn)均在內(nèi),的真數(shù)相同,進(jìn)而可通過(guò)比較底數(shù)得到大小關(guān)系
4、:,在比較和的大小,由于是指數(shù),很難直接與對(duì)數(shù)找到聯(lián)系,考慮估計(jì)值得大?。?,可考慮以為中間量,則,進(jìn)而,所以大小順序?yàn)?
答案:
例3:設(shè) 則的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
思路:觀察到都是以為底的對(duì)數(shù),所以將其系數(shù)“放”進(jìn)對(duì)數(shù)之中,再進(jìn)行真數(shù)的比較。發(fā)現(xiàn)真數(shù)的底與指數(shù)也不相同,所以依然考慮“求同存異”,讓三個(gè)真數(shù)的指數(shù)一致: ,通過(guò)比較底數(shù)的大小可得:
答案:C
小煉有話說(shuō):(1)本題的核心處理方式就是“求同存異”,將三個(gè)數(shù)變形為具備某相同的部分,從而轉(zhuǎn)換比較的對(duì)象,將“無(wú)法比較”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢员?/p>
5、較”
(2)本題在比較指數(shù)冪時(shí),底數(shù)的次數(shù)較高,計(jì)算起來(lái)比較麻煩。所以也可以考慮將這三個(gè)數(shù)兩兩進(jìn)行比較,從而減少底數(shù)的指數(shù)便于計(jì)算。例如可以先比較,從而,同理再比較或即可
例4:設(shè),,,則( )
A. B. C. D.
思路:觀察可發(fā)現(xiàn):
,所以可得:
答案:D
例5:設(shè) 則的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
思路:觀察可發(fā)現(xiàn)的底數(shù)相同,的指數(shù)相同,進(jìn)而考慮先進(jìn)行這兩輪的比較。對(duì)于,兩者底數(shù)在,則指數(shù)越大,指數(shù)冪越小,所以可得,再比較,兩者指
6、數(shù)相同,所以底數(shù)越大,則指數(shù)冪越大,所以,綜上:
答案:B
例6:已知三個(gè)數(shù),則它們之間的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
思路:可先進(jìn)行分組,,,所以只需比較大小,兩者都介于之間且一個(gè)是對(duì)數(shù),一個(gè)是三角函數(shù),無(wú)法找到之間的聯(lián)系。所以考慮尋找中間值作為橋梁。以作為入手點(diǎn)。利用特殊角的余弦值估計(jì)其大小。,而,從而,大小順序?yàn)?
答案:A
小煉有話說(shuō):在尋找中間量時(shí)可以以其中一個(gè)為入手點(diǎn),由于非特殊角的三角函數(shù)值可用特殊角三角函數(shù)值估計(jì)值的大小,所以本題優(yōu)先選擇作為研究對(duì)象。
例7:(2015甘肅河西三校第一
7、次聯(lián)考)設(shè),則( )
A. B. C. D.
思路:首先進(jìn)行分組,可得,下面比較的大小,可以考慮以作為中間量,,所以,從而
答案:D
例8:設(shè)且,則的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
思路:由可得:,先用將分堆,,,則為最大,只需要比較即可,由于的底數(shù)與真數(shù)不同,考慮進(jìn)行適當(dāng)變形并尋找中間量。,而,因?yàn)?,所以,所以順序?yàn)?
答案:C
例9:下列四個(gè)數(shù):的大小順序?yàn)開(kāi)_______
思路:觀察發(fā)現(xiàn),其余均為正。所以只需比較,考慮
8、,所以,而,所以下一步比較:,所以,綜上所述,大小順序?yàn)?
答案:
例10:已知均為正數(shù),且,則( )
A. B. C. D.
思路:本題要通過(guò)左右相等的條件,以某一側(cè)的值作為突破口,去推斷的范圍。首先觀察等式左側(cè),左側(cè)的數(shù)值均大于0,所以可得:均大于0,由對(duì)數(shù)的符號(hào)特點(diǎn)可得:,只需比較大小即可。觀察到,從而,所以順序?yàn)?
答案:A
小煉有話說(shuō):本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小,觀察發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)等式右側(cè)為的形式,而第三個(gè)等式也可變形為,從而可以考慮視分別為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)。先作出圖像,再在這個(gè)坐標(biāo)系中作出,比較交點(diǎn)的位置即可。