（通用版）2020版高考數(shù)學大二輪復習 專題突破練16 熱點小專題二 球與多面體的內切、外接 理

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1、專題突破練16熱點小專題二球與多面體的內切、外接一、選擇題1.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12B.323C.8D.42.(2019江西九江一模,文9)九章算術卷第五商功中,有“賈令芻童,上廣一尺,袤二尺,下廣三尺,袤四尺,高一尺.”,意思是:“假設一個芻童,上底面寬1尺,長2尺;下底面寬3尺,長4尺,高1尺(如圖).”(注:芻童為上下底面為相互平行的不相似長方形,兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體),若該幾何體所有頂點在一球的表面上,則該球體的表面積為()A.46平方尺B.41平方尺C.40平方尺D.36平方尺3.(2019山東濟寧一模,理9)九章算術中,將底

2、面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,則該“塹堵”的外接球的體積為()A.823B.6C.6D.84.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,則球O的直徑為()A.13B.410C.210D.2175.(2019山東濰坊二模,理8)一個各面均為直角三角形的四面體有三條棱長為2,則該四面體外接球的表面積為()A.6B.12C.32D.486.(2019北京朝陽一模,理7改編)某三棱錐的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1),則該三棱錐的外接球的體積為()A.4B.23C.63D.437.已知

3、A,B是球O的球面上兩點,AOB=90,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.2568.如圖,需在正方體的盒子內鑲嵌一個小球,使得鑲嵌后三視圖均為圖所示,且面A1C1B截得小球的截面面積為23,則該小球的體積為()A.6B.43C.323D.8239.已知A,B,C,D是同一球面上的四個點,其中ABC是正三角形,AD平面ABC,AD=2AB=6,則該球的體積為()A.323B.48C.24D.1610.(2019四川第二次診斷,理10)已知一個幾何體的正視圖,側視圖和俯視圖均是直徑為10的圓(如圖),這個幾何體內接一個圓錐,

4、圓錐的體積為27,則該圓錐的側面積為()A.910B.1211C.1017D.403311.(2019山西呂梁一模,文12)四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,AD=4,AB=2,且SA+SD=8,當該四棱錐的體積最大時,其外接球的表面積為()A.20B.25C.803D.76312.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為()A.26B.36C.23D.22二、填空題13.(2019四川成都二模,理14)已知三棱錐A-BCD的四個頂點都在球O的表面上,若AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=2,則球O的

5、表面積為.14.(2019河北唐山一模,理15)在四面體ABCD中,AB=BC=1,AC=2,且ADCD,該四面體外接球的表面積為.15.(2019湖南六校聯(lián)考,理15)在九章算術中,將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖,若四棱錐P-ABCD為陽馬,側棱PA底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,設該陽馬的外接球半徑為R,內切球半徑為r,則Rr=.16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑,若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為.參考答案專題突破練16熱點小專題二球與多面體的內切、外接1.

6、A解析設正方體的棱長為a,由a3=8,得a=2.由題意可知,正方體的體對角線為球的直徑,故2r=3a2,則r=3.所以該球的表面積為4(3)2=12,故選A.2.B解析由已知得球心在幾何體的外部,設球心到幾何體下底面的距離為x,則R2=x2+522=(x+1)2+522,解得x=2,R2=414,該球的表面積S=41.故選B.3.A解析根據(jù)幾何體的三視圖可知幾何體為底面為腰長為2的直角等腰三角形,高為2的直三棱柱.設外接球的半徑為R,則(2R)2=(2)2+(2)2+22,解得R=2,所以V=43(2)3=823.故選A.4.A解析由題意可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O的半徑R=3

7、2+42+1222=132,故球O的直徑為13.故選A.5.B解析如圖,在四面體ABCD中,ABD=ABC=BCD=ACD=90,AB=BC=CD=2,可得BD=22,AD=23,設AD的中點為O,連接OB,OC,則OB=OC=OA=OD,所以AD的中點O即為外接球的球心,故球O半徑為3,其表面積為12,故選B.6.D解析由三視圖得該幾何體的直觀圖如圖所示.將該三棱錐補形為正方體,如圖所示.所以該三棱錐的外接球的體積等于補形后正方體外接球的體積,所以球的直徑等于正方體的體對角線長,即2R=22+22+22=23,所以球的體積為V=43(3)3=43.7.C解析由AOB的面積確定可知,若三棱錐O

8、-ABC的底面OAB上的高最大,則其體積最大.因為高最大為半徑R,所以VO-ABC=1312R2R=36,解得R=6,故S球=4R2=144.8.B解析設正方體盒子的棱長為2a,則內切球的半徑為a,平面A1BC1是邊長為22a的正三角形,且球與以點B1為公共點的三個面的切點恰為A1BC1三邊的中點,所求截面的面積是該正三角形的內切圓的面積,則由圖得,A1BC1內切圓的半徑是2atan30=63a,則所求的截面圓的面積是63a2=23a2=23,故a=1,該小球的體積為V球=4313=43.9.A解析由題意畫出幾何體的直觀圖如圖,把A,B,C,D擴展為三棱柱,上下底面中心的中點與A的距離為球的半

9、徑,AD=2AB=6,OE=3,ABC是正三角形,AE=23323=3,AO=32+(3)2=23.故所求球的體積為43(23)3=323.10.A解析幾何體的軸截面如圖所示,設圓錐的底面半徑為r,由題意可得13r2(25-r2+5)=27,解得r=3,所以該圓錐的側面積為12632+92=910.故選A.11.D解析當點S到底面ABCD的距離最大時,四棱錐的體積最大,這時SAD為等邊三角形,S到底面ABCD的距離為23且平面SAD平面ABCD.設球心O到平面ABCD的距離OE=x,則由OD=OS,得x2+5=(23-x)2+1,所以x=23,所以四棱錐外接球的半徑R=x2+5=193,所以四

10、棱錐外接球的表面積為S=4R2=763.故選D.12.A解析SC是球O的直徑,CAS=CBS=90.BA=BC=AC=1,SC=2,AS=BS=3.取AB的中點D,顯然ABCD,ABSD,AB平面SCD.在CDS中,CD=32,DS=112,SC=2,利用余弦定理可得cosCDS=CD2+SD2-SC22CDSD=-133,sinCDS=4233,SCDS=12321124233=22,故V=VB-CDS+VA-CDS=13SCDSBD+13SCDSAD=13SCDSBA=13221=26.13.3解析(法一)如圖,取CD的中點E,連接BE,可得BE=322=62,設等邊三角形BCD的中心為G

11、,則BG=2362=63,AG=12-(63)2=33.設三棱錐A-BCD的外接球的半徑為R,則R2=BG2+OG2,即R2=632+33-R2,解得R=32.球O的表面積為4R2=3.(法二)AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=2,由勾股定理的逆定理得三棱錐的三個側面都是全等的直角三角形,將三棱錐補形為正方體,則其外接球的直徑為正方體的體對角線,2R=12+12+12=3,故球O的表面積為4R2=3.14.2解析如圖所示,由AB=BC=1,AC=2,得ABBC,所以ABC和DAC都是直角三角形.ABC外接圓的圓心是AC的中點,DAC外接圓的圓心也是AC的中點,且兩個三角形的外接圓都是球的

12、大圓,所以球半徑R=12AC=22,所以S球=4R2=2.15.412解析易知該陽馬補形所得到的長方體的體對角線為外接球的直徑,所以(2R)2=AB2+AD2+AP2=42+42+32=41,R=412.因為側棱PA底面ABCD,且底面為正方形,所以內切球O1在側面PAD內的正視圖是PAD的內切圓,則內切球半徑為1,故Rr=412.16.36解析取SC的中點O,連接OA,OB.因為SA=AC,SB=BC,所以OASC,OBSC.因為平面SAC平面SBC,且OA平面SAC,所以OA平面SBC.設OA=r,則VA-SBC=13SSBCOA=13122rrr=13r3,所以13r3=9,解得r=3.所以球O的表面積為4r2=36.10