(通用版)2020高考數(shù)學二輪復習 規(guī)范解答集訓6 函數(shù)、導數(shù)和不等式 理

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1、規(guī)范解答集訓(六)函數(shù)、導數(shù)和不等式(建議用時:40分鐘)1已知函數(shù)f(x)ax1xln x的圖象在點(1,f(1) )處的切線與直線xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)若對于x1,x2(0,),m(x1x2),求實數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)ax1xln x的導數(shù)為f(x)a1ln x,可得yf(x)的圖象在點(1,f(1) )處的切線斜率為a1,由切線與直線xy0平行,可得a11,即a2,f(x)2x1xln x,f(x)1ln x,當0x0,當xe時,f(x)0,所以f(x)在(0,e)上遞增,在(e,)上遞減,可得f(x)在xe處取得極大值為f(e)e1,無極小值(2)設(shè)x1

2、x20,若m(x1x2),可得f(x1)f(x2)mxmx,即f(x1)mxf(x2)mx,設(shè)g(x)f(x)mx2在(0,)上為增函數(shù),即g(x)1ln x2mx0在(0,)上恒成立,可得2m在(0,)上恒成立,設(shè)h(x),所以h(x),h(x)在(0,e2)上遞減,在(e2,)上遞增,h(x)在xe2處取得極小值為h(e2),所以m.2(2019石家莊一模)已知函數(shù)f(x)aexsin x,其中aR,e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當a1時,證明:對x0,),f(x)1;(2)若函數(shù)f(x)在上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a1時,f(x)exsin x,于是,f(x)excos x.又因

3、為當x(0,)時,ex1且cos x1.故當x(0,)時,excos x0,即f(x)0. 所以,函數(shù)f(x)exsin x為(0,)上的增函數(shù),于是,f(x)f(0)1.因此,對x0,),f(x)1.(2)法一:由題意f(x)在上存在極值,則f(x)aexcos x在上存在零點,當a(0,1)時,f(x)aexcos x為上的增函數(shù),注意到f(0)a10,所以,存在唯一實數(shù)x0,使得f(x0)0成立. 于是,當x(0,x0)時,f(x)0,f(x)為上的增函數(shù);所以x0為函數(shù)f(x)的極小值點; 當a1時,f(x)aexcos xexcos x0在x上成立,所以f(x)在上單調(diào)遞增,所以f(

4、x)在上沒有極值;當a0時,f(x)aexcos x0在x上成立,所以f(x)在上單調(diào)遞減,所以f(x)在上沒有極值, 綜上所述,使f(x)在上存在極值的a的取值范圍是(0,1)法二:由題意,函數(shù)f(x)在上存在極值,則f(x)aexcos x在上存在零點即a在上存在零點. 設(shè)g(x) ,x,則由單調(diào)性的性質(zhì)可得g(x)為上的減函數(shù)即g(x)的值域為(0,1),所以,當實數(shù)a(0,1)時,f(x)aexcos x在上存在零點下面證明,當a(0,1)時,函數(shù)f(x)在上存在極值事實上,當a(0,1)時,f(x)aexcos x為上的增函數(shù),注意到f(0)a10,所以,存在唯一實數(shù)x0,使得f(x

5、0)0成立于是,當x(0,x0)時,f(x)0,f(x)為上的增函數(shù);即x0為函數(shù)f(x)的極小值點綜上所述,當a(0,1)時,函數(shù)f(x)在上存在極值3(2019日照二模)已知函數(shù)f(x)kex(x1)x2,kR.(1)當k1時,求f(x)的最大值;(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點,求k的取值范圍解(1)當k1時,f(x)ex(x1)x2,f(x)exxxx(ex1),當x0時,f(x)0,當x0時,f(x)0,所以f(x)在(,0)上單調(diào)遞增,在(0,)上單調(diào)遞減,所以f(x)在x0時取到最大值,最大值為f(0)1.(2)f(x)kexxxx(kex1),當k0時,f(x)在(,0)上單調(diào)遞

6、增,在(0,)上單調(diào)遞減,又因為f(0)k0,f(1)0,f(2k1)ke2k1(2k2)(2k1)2k(2k2)(2k1)20,所以f(x)有兩個零點;當k0時,f(x)x2,所以此時f(x)只有一個零點;當k1時,f(x)exxxx(ex1)0,f(x)在(,)上單調(diào)遞增,f(x)不存在兩個零點;當0k1時,ln ln k0,f(x)在(,0)上單調(diào)遞增,在(0,ln k)上單調(diào)遞減,在(ln k,)上單調(diào)遞增,且f(0)k0,f(x)不存在兩個零點;當k1時,ln ln k0,f(x)在(,ln k)上單調(diào)遞增,在(ln k,0)上單調(diào)遞減,在(0,)上單調(diào)遞增,且f(ln k)0,f(

7、x)不存在兩個零點綜上,當f(x)有兩個零點時,k的取值范圍是(,0)4已知函數(shù)f(x)xln(ax1)(a0)(1)若f(x)0,求a的值;(2)已知某班共有n人,記這n人生日至少有兩人相同的概率為P(n),n365,將一年看作365天求P(n)的表達式;估計P(60)的近似值(精確到0.01)參考數(shù)值:e0.007 83,e0.034 87,e0.118 01.解(1)由題得,當a0時,f(x)的定義域為.當a0時,f(x)的定義域為,又f(0)0,且f(x)0,所以x0是f(x)的極小值點,故f(0)0.而f(x)1,于是1a0,解得a1.下面證明當a1時,f(x)0.當a1時,f(x)xln(x1),f(x)1,x1,所以當x0時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增;當1x0時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)f(0)0,即a1符合題意綜上,a1.(2)由于n人生日都不相同的概率為,故n人生日至少有兩人相同的概率為P(n)1.由(1)可得當 x1時,xln(x1)0,即ln(1x)x,當且僅當x0時取等號,由得P(60)11.記t,則ln tlnlnln,即te.由參考數(shù)值得te0.007 9,于是P(60)1t10.007 90.992 1,故P(60)0.99.- 5 -

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