《(通用版)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范解答集訓(xùn)4 立體幾何 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(通用版)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范解答集訓(xùn)4 立體幾何 理(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、規(guī)范解答集訓(xùn)(四)立體幾何(建議用時:40分鐘)1.(2019煙臺三模)如圖,直角三角形ABD所在的平面與半圓弧所在平面相交于BD,ABBD2,E,F(xiàn)分別為AD,BD的中點,C是上異于B,D的點,EC.(1)證明:平面CEF平面BCD;(2)若點C為半圓弧上的一個三等分點(靠近點D)求二面角ACEB的余弦值解(1)證明:因為C半圓弧上的一點,所以BCCD.在ABD中,E,F(xiàn)分別為AD,BD的中點,所以EFAB1,且EFAB.于是在EFC中,EF2FC2112EC2,所以EFC為直角三角形,且EFFC. 因為ABBD,EFAB,所以EFBD. 因為EFFC,EFBD,BDFCF, 所以EF平面B
2、CD.又EF平面CEF,所以平面CEF平面BCD. (2)由已知BFC120,以F為坐標(biāo)原點,分別以垂直于BD、向量,所在方向作為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Fxyz,則C,E(0,0,1),B(0,1,0),A(0,1,2),(0,1,1),(0,1,1)設(shè)平面ACE的一個法向量為m(x1,y1,z1),則即取z11,得m.設(shè)平面BCE的法向量n(x2,y2,z2),則即取z21,得n(,1,1). 所以cosm,n,又二面角ACEB為銳角,所以二面角ACB的余弦值為. 2.(2019沈陽三模)如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面PAB底面
3、ABCD,E為PC上的點,且BE平面APC.(1)求證:平面PAD平面PBC;(2)當(dāng)三棱錐PABC體積最大時,求二面角BACP的余弦值解(1)證明:側(cè)面PAB底面ABCD,側(cè)面PAB底面ABCDAB,四邊形ABCD為正方形,BCAB,BC平面PAB,又AP平面PAB,APBC,BE平面APC,AP平面PAC,APBE,BCBEB,AP平面PBC,又AP平面PAD,平面PAD平面PBC.(2)VPABCVCAPBPAPBBCPAPB,求三棱錐PABC體積的最大值,只需求PAPB的最大值令PAx,PBy,由(1)知,PAPB,x2y24,而VPABCxy,當(dāng)且僅當(dāng)xy,即PAPB時,VPABC的
4、最大值為.如圖所示,分別取線段AB,CD中點O,F(xiàn),連接OP,OF,以點O為坐標(biāo)原點,以O(shè)P,OB和OF分別作為x軸,y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知A(0,1,0),C(0,1,2),P(1,0,0),所以(1,1,0),(0,2,2)令n(x,y,z)為平面PAC的一個法向量,則設(shè)x1,則y1,z1,n(1,1,1)易知m(1,0,0)為面ABC的一個法向量,二面角BACP的平面角為,為銳角,則cos .3如圖,ABC是以C為直角的等腰直角三角形,直角邊長為8,AEEC53,DEBC,沿DE將三角形ADE折起,使得點A在平面BCED上的射影是點C,點M在AC上且MCAC.(1
5、)在BD上確定點N的位置,使得MN平面ADE;(2)在(1)的條件下,求CN與平面ABD所成角的正弦值解(1)由點A在平面BCED上的射影是點C,可知AC平面BCED,又BCCE,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,C(0,0,0),A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0)由MCAC,可知點M的坐標(biāo)為,設(shè)點N的坐標(biāo)為(x,y,0),則由點N在BD上可得y8x,即點N的坐標(biāo)為(x,8x,0),則.設(shè)平面ADE的法向量為n1(x,y,z),則而(0,5,0),(3,0,4),所以取x4,則z3,可得n1(4,0,3),MN平面ADE等價于n10,即4x0(8x)30.解得
6、x2,即點N的坐標(biāo)為(2,6,0),所以點N為BD的靠近D點的三等分點(2)由(1)可知(2,6,0),設(shè)平面ABD的法向量為n2(p,q,r),由題意可知而(3,3,0),(0,8,4),可得取p1,則q1,r2.所以n2(1,1,2)設(shè)CN與平面ABD所成的角為,則sin .即CN與平面ABD所成角的正弦值為.4.如圖,平面ABCD平面ABE,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE1,F(xiàn)為為CE上的點,且BF平面ACE.(1)求證:AE平面BCE;(2)線段AD上是否存在一點M,使平面ABE與平面MCE所成二面角的余弦值為?若存在,試確定點M的位置;若不存在,請說明理由解(1)證明:BF平
7、面ACE,AE平面ACE,BFAE,四邊形ABCD是正方形,BCAB,又平面ABCD平面ABE,平面ABCD平面ABEAB,CB平面ABE,AE平面ABE,CBAE.BFBCB,AE平面BCE.(2)存在,當(dāng)AM時,平面ABE與平面MCE所成二面角的余弦值為.AE平面BCE,BE平面BCE.AEBE,在RtAEB中,AB2,AE1,ABE30,BAE60,以A為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)AMh,則0h2,AE1,BAE60,M(0,0,h),E,B(0,2,0),C(0,2,2),.設(shè)平面MCE的法向量為n(x,y,z)則即令z2,得n.易知平面ABE的一個法向量為m(0,0,1),由題意可知cosm,n,解得h或h(舍)故當(dāng)AM時,平面ABE與平面MCE所成二面角的余弦值為.- 5 -