（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第67講 雙曲線練習 理（含解析）新人教A版

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1、第67講雙曲線夯實基礎【p152】【學習目標】1理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程以及它的簡單幾何性質2理解數(shù)形結合的思想3了解雙曲線的實際背景及其簡單應用【基礎檢測】1設P是雙曲線1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|3，則|PF2|()A1或5B6C7D9【解析】由雙曲線的方程，漸近線的方程可得：，解得a2.由雙曲線的定義可得：|PF2|3|2a4，解得|PF2|7.【答案】C2雙曲線E：1(a0，b0)的漸近線方程為yx，則E的離心率為()A2B.C2D2【解析】由題意，雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為yx，即，所以雙曲線的離

2、心率為e2.【答案】C3已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率e2，且它的一個頂點到較近焦點的距離為1，則雙曲線C的方程為()Ax21B.y21C.y21Dx21【解析】設雙曲線的焦距為2c，由雙曲線的一個頂點與較近焦點的距離為1，ca1，又e2，由以上兩式可得a1，c2，b2c2a2413，雙曲線的方程為x21.【答案】A4已知雙曲線1(a0，b0)的兩個頂點分別為A，B，點P為雙曲線上除A，B外任意一點，且點P與點A，B連線的斜率分別為k1，k2，若k1k23，則雙曲線的漸進線方程為()AyxByxCyxDy2x【解析】根據(jù)題意可設A(a，0)，B(a，0)，設P點為(x，y)，根據(jù)題意得

3、到3，1，從而漸近線方程為0，化簡為：yx.【答案】C5已知雙曲線C：1的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，過焦點且與漸近線平行的直線與雙曲線相交于點M，則MF1F2的面積為_【解析】雙曲線的焦點為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，漸近線方程為yx，過F2與一條漸近線平行的直線方程為y(x5)，由得即M，SF1MF210.【答案】【知識要點】1雙曲線的定義平面內到兩個定點F1，F(xiàn)2(|F1F2|2c0)的距離的差的絕對值為常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做_雙曲線_這兩個定點叫做雙曲線的_焦點_，兩焦點間的距離叫做雙曲線的_焦距_2雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程1(a0，b0)1(a0，

4、b0)圖形性質范圍x_a_或x_a_yRxR，ya或ya頂點A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點離心率e，e_(1，)_，其中c實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫半實軸，b叫半虛軸.典例剖析【p153】考點1雙曲線的定義及應用(1)已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_【解析】如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|AC

5、1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因為|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點M到兩定點C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點M的軌跡方程為x21(x1)【答案】x21(x1)(2)點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21的左、右焦點，點P在雙曲線上，則PF1F2的內切圓半徑r的取值范圍是()A(0，)B(0，2)C(0，)D(0，1)【解析】如圖所示，設PF1F2的內切圓圓心為I，內切圓與三邊分別相切于點A，B

6、，C，根據(jù)圓的切線可知：|PB|PC|，|F1A|F1C|，|F2A|F2B|，又根據(jù)雙曲線定義|PF1|PF2|2a，即(|PC|F1C|)(|PB|F2B|)2a，所以|F1C|F2B|2a，即|F1A|F2A|2a，又因為|F1A|F2A|2c，所以|F1A|ac，|F2A|ca，所以A點為右頂點，即圓心I(a，r)，考慮P點在無窮遠時，直線PF1的斜率趨近于，此時PF1方程為y(xc)，此時圓心到直線的距離為r，解得rb，因此PF1F2內切圓半徑r(0，b)，所以選擇A.【答案】A考點2求雙曲線的標準方程根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)焦距為26，

7、且經(jīng)過點M(0，12)；(3)經(jīng)過兩點P(3，2)和Q(6，7)；(4)過點(4，)，且漸近線方程為yx.【解析】(1)設雙曲線的標準方程為1或1(a0，b0)由題意知，2b12，e.b6，c10，a8.雙曲線的標準方程為1或1.(2)雙曲線經(jīng)過點M(0，12)，M(0，12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標準方程為1.(3)設雙曲線方程為mx2ny21(mn0)解得雙曲線的標準方程為1.(4)由雙曲線漸近線方程為yx，可設該雙曲線的標準方程為y2(0)，已知該雙曲線過點(4，)，所以()2，即1，故所求雙曲線的標準方程為y21.【

8、點評】求雙曲線標準方程的一般方法：(1)待定系數(shù)法：設出雙曲線方程的標準形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a、b、c的方程并求出a、b、c的值與雙曲線1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為(0)(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關系式，求出a的值，由定點位置確定c的值考點3雙曲線的幾何性質及應用(1)若雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則C的離心率為()A2B.C.D.【解析】依題意，雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為bxay0.因為直線bxay0被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，所以，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e2，選擇

9、A.【答案】A(2)過點A(0，1)作直線，與雙曲線x21有且只有一個公共點，則符合條件的直線的條數(shù)為()A0B2C4D無數(shù)【解析】與雙曲線相切時有兩條，與漸近線平行時有兩條，共4條，選C.【答案】C(3)設雙曲線1(a0，b0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()ABC1D【解析】如圖，雙曲線1的右焦點F(c，0)，左、右頂點分別為A1(a，0)，A2(a，0)，易求B，C，則kA2C，kA1B，又A1B與A2C垂直，則有kA1BkA2C1，即1，1，a2b2，即ab，漸近線的斜率k1.【答案】C

10、(4)將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(ab)同時增加m(m0)個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則()A對任意的a，b，e1b時，e1e2；當ae2C對任意的a，b，e1e2D當ab時，e1e2；當ab時，e1e2【解析】e1，e2.不妨令e1e2，化簡得0)，得bmam，得ba時，有，即e1e2；當ba時，有，即e10，b0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k滿足關系式e21k2.(2)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e轉化為關于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值

11、范圍考點4直線與雙曲線的位置關系已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，A，B為雙曲線C的左、右頂點，P為雙曲線C在第一象限上的任意一點，O為坐標原點，若直線PA，PB，PO的斜率分別為k1，k2，k3，記mk1k2k3，則m的取值范圍是_【解析】離心率e，c23a2，即b22a2，雙曲線的方程為1.令P(x0，y0)(x00，y00)，則k1，k2，k3.于是k1k2k32.又雙曲線C的漸近線為yx，點P(x0，y0)在第一象限，0，即0，020)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6，點C是雙曲線上一點，且m()，求k，m的值【解

12、析】(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直線與雙曲線右支交于A，B兩點，故即所以1k.故k的取值范圍是k|1k(2)由(*)得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k0，則焦點在x軸上；若求得0時，焦點在x軸上；當k0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()AyxByxCyxDyx【解析】e，e21312，因為漸近線方程為yx，所以漸近線方程為yx.【答案】A2(2018全國卷)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，O是坐標原點過F2作C的一條漸近線的垂線，垂

13、足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A.B2C.D.【解析】法一：|PF2|b，|OF2|c，|PO|a，在RtPOF2中，cosPF2O，在RtPF1F2中，cosPF2O，b24c26a24b24c26a23c23a2c23a2e.法二：如圖，不妨設a1，則漸近線方程l：ybx，作PF2l，直線PF2的方程為：y(xc)，由得點P.故|PF1|，即1，c.故e.【點評】運用直線PF2的方程與漸近線方程，求出交點P的坐標，由兩點間的距離公式表示出，再結合條件，建立方程，可求出e.坐標搭臺，方程高歌法三：如圖，過F2作PF2l，延長F2P，作F1QPF2相交于點Q，易知|F1Q|2|

14、OP|2a，|QP|F2P|b，則|F1P|a，在F1PQ中有6a24a2b2，得2a2b2，可得：e.【點評】由條件PF2l，構造直角F1QF2，運用勾股定理建立方程，找到2a2b2，從而求出e.巧妙構圖，多思少算法四：如圖，過F2作PF2l，易知|PF2|b，|OP|a，作PF1MF2，由|F1P|MF2|a，在F2PM中有6a24a2b2，得2a2b2，可得：e.【點評】巧妙構圖，多思少算【答案】C3(2018全國卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A.B3C2D4【解析】因為雙曲線y2

15、1的漸近方程為yx，所以MON60.不妨設過點F的直線與直線yx交于點M，由OMN為直角三角形，不妨設OMN90，則MFO60，又直線MN過點F(2，0)，所以直線MN的方程為y(x2)由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3.【答案】B考點集訓【p264】A組題1已知雙曲線1(m0)的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的標準方程為()A.1B.1Cx21D.1【解析】由題意可得：a2m，b2m6，則實軸長為：2，虛軸長為2，由題意有：222，解得：m2，代入1可得雙曲線方程為1.【答案】D2已知雙曲線y21(a0)兩焦點之間的距離為4，則雙曲線的漸近線方程是()AyxByxCyxDyx【解

16、析】由雙曲線y21(a0)的兩焦點之間的距離為4，即2c4，所以c2，又由c2a2b2，即a2122，解得a，所以雙曲線的漸近線方程為yxx.【答案】A3過雙曲線1(a0，b0)的右焦點F作一條直線，當直線斜率為1時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，) B(1，)C(，) D(，)【解析】過右焦點F的直線與漸近線yx平行時，與左支無交點，與右支有一個交點結合圖象可知：13.則19，又e，故e0，b0)的左、右焦點，A為左頂點，點P為雙曲線C右支上一點，|F1F2|10，PF2F1F2，|PF2|，O為

17、坐標原點，則()AB.C15D15【解析】由題得a3，b4.所以雙曲線的方程為1，所以點P的坐標為或，所以(3，0)15.【答案】D5直線l：y2(x)過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點F且與雙曲線C只有一個公共點，則C的離心率為_【解析】雙曲線C：1(a0，b0)的漸近線方程為yx，因為過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點F的直線l：y2(x)與C只有一個公共點，所以2，02(c)，又因為a2b2c2，解得c，a1，所以e.【答案】6設F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積為_【解析】雙曲線x21的兩個焦點F1(5，0)，F(xiàn)2

18、(5，0)，|F1F2|10，由3|PF1|4|PF2|，設|PF2|x，則|PF1|x，由雙曲線的性質知xx2，解得x6.|PF1|8，|PF2|6，|F1F2|10，F(xiàn)1PF290，PF1F2的面積為8624.【答案】247已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，且雙曲線C的實軸長為6，離心率為.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設點P是雙曲線C上任意一點，且|PF1|10，求|PF2|.【解析】(1)由題易知，2a6，解得a3，c5.故b2c2a216，所以雙曲線C的標準方程為1.(2)因為ac8，|PF1|108，所以點P可能在雙曲線的左支上也可能在雙曲線的右支上若

19、點P在雙曲線的左支上，則|PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；若點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a6，|PF2|PF1|64.綜上，|PF2|16或4.8已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，且，(1)求雙曲線C的方程；(2)已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2y25上，求m的值【解析】(1)由題意得解得b2c2a22，所以雙曲線C的方程為x21.(2)設A，B兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點M(x0，y0)，由得x22mxm220(判別式0)，x0m，y0x0m2m，點M(x0，y0)在圓x2y2

20、5上，m2(2m)25，故m1.B組題1設e1，e2分別為具有公共焦點F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足0，則的值為()A.B1C2D不確定【解析】由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2m，由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a.又0，可得F1PF290，故|PF1|2|PF2|24c2，平方平方，得|PF1|2|PF2|22a22m2，將代入，化簡得a2m22c2，即2，可得2，因此，2.【答案】C2已知點A，B是雙曲線1右支上兩個不同的動點，O為坐標原點，則的最小值為_【解析】法一：

21、當kAB存在時，設lAB：ykxb，聯(lián)立消去y得x22kbxb220，x1x2，x1x2，由A，B均在雙曲線右支上知x1x20，所以k210，x1x2y1y2x1x2x1x2kbb2b222，當kAB不存在時，則x1x2y1y2m22m22，綜上，2，即的最小值為2.法二：由于A，B兩點運動，故采取“一定一動”的原則，不妨先在B點確定的情況下，讓A點運動到最小值，然后再讓B點運動，即取最小值的最小值如圖，不妨設直線OB：ykx，由可得x，y，故，顯然點A運動到在點A處的雙曲線的切線(即AC)與OB垂直時，此時在上的投影達到最小值，此時切線AC的方程為xky0，故在上的投影等于點O到直線AC的距

22、離為，故2.法三：設A，B，x1x2y1y2x1x2x1x2x1x2x1x2，又因為x1，x2，所以x1x22，所以x1x22.法四：設A，B，xy2，xy2，兩式相乘得4，即xxyy4xyyx，等式兩邊同時加上2x1x2y1y2，得44，故x1x2y1y22.【答案】23已知P(x0，y0)(x0a)是雙曲線E：1(a0，b0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值【解析】(1)由點P(x0，y0)(x0a)在雙曲線1上，有1.由題

23、意有，即x5ya2，可得a25b2，c2a2b26b2，e.(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則設(x3，y3)，即又C為雙曲線上一點，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化為240，解得0或4.4如圖，曲線L由曲線C1：1(ab0，y0)和曲線C2：1(y0)組成，其中F1，F(xiàn)2為曲線C1所在

24、圓錐曲線的焦點，F(xiàn)3，F(xiàn)4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(1)若F2(2，0)，F(xiàn)3(6，0)，求曲線L的方程；(2)如圖，作直線l平行于曲線C2的漸近線，交曲線C1于點A、B，求證：弦AB的中點M必在曲線C2的另一條漸近線上；(3)對于(1)中的曲線L，若直線l1過點F4交曲線C1于點C、D，求CDF1的面積的最大值【解析】(1)由F2(2，0)、F3(6，0)，得解之得曲線L的方程為(2)直線l平行于曲線C2的漸近線，kl，令l的方程為y(xm)，則由得2x22mx(m2a2)0.由得am0)則由得(4t25)y248ty640.由(48t)2464(4t25)0，得t21.令C(x3，y3)，D(x4，y4)，則于是|y3y4|16，于是SCDF1|F1F4|y3y4|81664.令p，則SCDF16464.p0，SCDF164.當且僅當4p，即p，即t時，(SCDF1)max.備課札記22