（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第67講 雙曲線練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第67講雙曲線夯實(shí)基礎(chǔ)【p152】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程以及它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2理解數(shù)形結(jié)合的思想3了解雙曲線的實(shí)際背景及其簡(jiǎn)單應(yīng)用【基礎(chǔ)檢測(cè)】1設(shè)P是雙曲線1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|3，則|PF2|()A1或5B6C7D9【解析】由雙曲線的方程，漸近線的方程可得：，解得a2.由雙曲線的定義可得：|PF2|3|2a4，解得|PF2|7.【答案】C2雙曲線E：1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，則E的離心率為()A2B.C2D2【解析】由題意，雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即，所以雙曲線的離心率為e2.【答案】C3已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率e2，且它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1，則雙曲線C的方程為()Ax21B.y21C.y21Dx21【解析】設(shè)雙曲線的焦距為2c，由雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)與較近焦點(diǎn)的距離為1，ca1，又e2，由以上兩式可得a1，c2，b2c2a2413，雙曲線的方程為x21.【答案】A4已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為雙曲線上除A，B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A，B連線的斜率分別為k1，k2，若k1k23，則雙曲線的漸進(jìn)線方程為()Ay±xBy±xCy±xDy±2x【解析】根據(jù)題意可設(shè)A(a，0)，B(a，0)，設(shè)P點(diǎn)為(x，y)，根據(jù)題意得到3，1，從而漸近線方程為0，化簡(jiǎn)為：y±x.【答案】C5已知雙曲線C：1的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)焦點(diǎn)且與漸近線平行的直線與雙曲線相交于點(diǎn)M，則MF1F2的面積為_【解析】雙曲線的焦點(diǎn)為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，漸近線方程為y±x，過(guò)F2與一條漸近線平行的直線方程為y(x5)，由得即M，SF1MF2×10×.【答案】【知識(shí)要點(diǎn)】1雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2(|F1F2|2c>0)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點(diǎn)的軌跡叫做_雙曲線_這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的_焦點(diǎn)_，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的_焦距_2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x_a_或x_a_yRxR，ya或ya頂點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e，e_(1，)_，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫半實(shí)軸，b叫半虛軸.典例剖析【p153】考點(diǎn)1雙曲線的定義及應(yīng)用(1)已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_【解析】如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因?yàn)閨MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點(diǎn)M的軌跡方程為x21(x1)【答案】x21(x1)(2)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，則PF1F2的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍是()A(0，)B(0，2)C(0，)D(0，1)【解析】如圖所示，設(shè)PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I，內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)A，B，C，根據(jù)圓的切線可知：|PB|PC|，|F1A|F1C|，|F2A|F2B|，又根據(jù)雙曲線定義|PF1|PF2|2a，即(|PC|F1C|)(|PB|F2B|)2a，所以|F1C|F2B|2a，即|F1A|F2A|2a，又因?yàn)閨F1A|F2A|2c，所以|F1A|ac，|F2A|ca，所以A點(diǎn)為右頂點(diǎn)，即圓心I(a，r)，考慮P點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，直線PF1的斜率趨近于，此時(shí)PF1方程為y(xc)，此時(shí)圓心到直線的距離為r，解得rb，因此PF1F2內(nèi)切圓半徑r(0，b)，所以選擇A.【答案】A考點(diǎn)2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；(2)焦距為26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0，12)；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(3，2)和Q(6，7)；(4)過(guò)點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y±x.【解析】(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a>0，b>0)由題意知，2b12，e.b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0，12)，M(0，12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn>0)解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(4)由雙曲線漸近線方程為y±x，可設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2(0)，已知該雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，所以()2，即1，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.【點(diǎn)評(píng)】求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法：(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a、b、c的方程并求出a、b、c的值與雙曲線1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為(0)(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用(1)若雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()A2B.C.D.【解析】依題意，雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為bxay0.因?yàn)橹本€bxay0被圓(x2)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，所以，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e2，選擇A.【答案】A(2)過(guò)點(diǎn)A(0，1)作直線，與雙曲線x21有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合條件的直線的條數(shù)為()A0B2C4D無(wú)數(shù)【解析】與雙曲線相切時(shí)有兩條，與漸近線平行時(shí)有兩條，共4條，選C.【答案】C(3)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()A±B±C±1D±【解析】如圖，雙曲線1的右焦點(diǎn)F(c，0)，左、右頂點(diǎn)分別為A1(a，0)，A2(a，0)，易求B，C，則kA2C，kA1B，又A1B與A2C垂直，則有kA1B·kA2C1，即·1，1，a2b2，即ab，漸近線的斜率k±±1.【答案】C(4)將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b(ab)同時(shí)增加m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則()A對(duì)任意的a，b，e1<e2B當(dāng)a>b時(shí)，e1<e2；當(dāng)a<b時(shí)，e1>e2C對(duì)任意的a，b，e1>e2D當(dāng)a>b時(shí)，e1>e2；當(dāng)a<b時(shí)，e1<e2【解析】e1，e2.不妨令e1<e2，化簡(jiǎn)得<(m>0)，得bm<am，得b<a.所以當(dāng)b>a時(shí)，有>，即e1>e2；當(dāng)b<a時(shí)，有<，即e1<e2.故選B.【答案】B【點(diǎn)評(píng)】(1)雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k±滿足關(guān)系式e21k2.(2)求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍考點(diǎn)4直線與雙曲線的位置關(guān)系已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，A，B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線C在第一象限上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB，PO的斜率分別為k1，k2，k3，記mk1k2k3，則m的取值范圍是_【解析】離心率e，c23a2，即b22a2，雙曲線的方程為1.令P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，則k1，k2，k3.于是k1k2k3··2.又雙曲線C的漸近線為y±x，點(diǎn)P(x0，y0)在第一象限，0<<，即0<<，0<2<2.即m(0，2)【答案】(0，2)若雙曲線E：y21(a>0)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6，點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，且m()，求k，m的值【解析】(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，故即所以1<k<.故k的取值范圍是k|1<k<(2)由(*)得x1x2，x1x2，|AB|·26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1<k<，k，所以x1x24，y1y2k(x1x2)28.設(shè)C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m，8m)點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)80m264m21，得m±.故k，m±.【點(diǎn)評(píng)】(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式來(lái)判定(2)用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦斜率的關(guān)系問(wèn)題，但需要檢驗(yàn)方法總結(jié)【p154】1由給定條件求雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法，首先是根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出方程的形式(含有參數(shù))，再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)特別注意：(1)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏；(2)已知漸近線方程bx±ay0，求雙曲線方程，可設(shè)雙曲線方程為b2x2a2y2(0)根據(jù)其他條件確定的值；若求得>0，則焦點(diǎn)在x軸上；若求得<0，則焦點(diǎn)在y軸上2由已知雙曲線方程求基本量，注意首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再計(jì)算，并要特別注意焦點(diǎn)位置3具有相同漸近線的雙曲線的方程為k(k0)，當(dāng)k>0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)k<0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上4若雙曲線的漸近線方程為y±kx，那么可設(shè)雙曲線方程為k2x2y2或y2k2x2.走進(jìn)高考【p154】1(2018·全國(guó)卷)雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±xBy±xCy±xDy±x【解析】e，e21312，因?yàn)闈u近線方程為y±x，所以漸近線方程為y±x.【答案】A2(2018·全國(guó)卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A.B2C.D.【解析】法一：|PF2|b，|OF2|c，|PO|a，在RtPOF2中，cosPF2O，在RtPF1F2中，cosPF2O，b24c26a24b24c26a23c23a2c23a2e.法二：如圖，不妨設(shè)a1，則漸近線方程l：ybx，作PF2l，直線PF2的方程為：y(xc)，由得點(diǎn)P.故|PF1|，即×1，c.故e.【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用直線PF2的方程與漸近線方程，求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式表示出，再結(jié)合條件，建立方程，可求出e.坐標(biāo)搭臺(tái)，方程高歌法三：如圖，過(guò)F2作PF2l，延長(zhǎng)F2P，作F1QPF2相交于點(diǎn)Q，易知|F1Q|2|OP|2a，|QP|F2P|b，則|F1P|a，在F1PQ中有6a24a2b2，得2a2b2，可得：e.【點(diǎn)評(píng)】由條件PF2l，構(gòu)造直角F1QF2，運(yùn)用勾股定理建立方程，找到2a2b2，從而求出e.巧妙構(gòu)圖，多思少算法四：如圖，過(guò)F2作PF2l，易知|PF2|b，|OP|a，作PF1MF2，由|F1P|MF2|a，在F2PM中有6a24a2b2，得2a2b2，可得：e.【點(diǎn)評(píng)】巧妙構(gòu)圖，多思少算【答案】C3(2018·全國(guó)卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A.B3C2D4【解析】因?yàn)殡p曲線y21的漸近方程為y±x，所以MON60°.不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線yx交于點(diǎn)M，由OMN為直角三角形，不妨設(shè)OMN90°，則MFO60°，又直線MN過(guò)點(diǎn)F(2，0)，所以直線MN的方程為y(x2)由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3.【答案】B考點(diǎn)集訓(xùn)【p264】A組題1已知雙曲線1(m>0)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1Cx21D.1【解析】由題意可得：a2m，b2m6，則實(shí)軸長(zhǎng)為：2，虛軸長(zhǎng)為2，由題意有：2×22，解得：m2，代入1可得雙曲線方程為1.【答案】D2已知雙曲線y21(a>0)兩焦點(diǎn)之間的距離為4，則雙曲線的漸近線方程是()Ay±xBy±xCy±xDy±x【解析】由雙曲線y21(a>0)的兩焦點(diǎn)之間的距離為4，即2c4，所以c2，又由c2a2b2，即a2122，解得a，所以雙曲線的漸近線方程為y±x±x.【答案】A3過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線斜率為1時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，) B(1，)C(，) D(，)【解析】過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與漸近線yx平行時(shí)，與左支無(wú)交點(diǎn)，與右支有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖象可知：1<<3.則1<<9，又e，故<e<.【答案】C4設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，|F1F2|10，PF2F1F2，|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·()AB.C15D15【解析】由題得a3，b4.所以雙曲線的方程為1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，所以·(3，0)·15.【答案】D5直線l：y2(x)過(guò)雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則C的離心率為_【解析】雙曲線C：1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，因?yàn)檫^(guò)雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F的直線l：y2(x)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以2，02(c)，又因?yàn)閍2b2c2，解得c，a1，所以e.【答案】6設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積為_【解析】雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，|F1F2|10，由3|PF1|4|PF2|，設(shè)|PF2|x，則|PF1|x，由雙曲線的性質(zhì)知xx2，解得x6.|PF1|8，|PF2|6，|F1F2|10，F(xiàn)1PF290°，PF1F2的面積為×8×624.【答案】247已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，且雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6，離心率為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線C上任意一點(diǎn)，且|PF1|10，求|PF2|.【解析】(1)由題易知，2a6，解得a3，c5.故b2c2a216，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)閍c8，|PF1|10>8，所以點(diǎn)P可能在雙曲線的左支上也可能在雙曲線的右支上若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則|PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a6，|PF2|PF1|64.綜上，|PF2|16或4.8已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，且，(1)求雙曲線C的方程；(2)已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2y25上，求m的值【解析】(1)由題意得解得b2c2a22，所以雙曲線C的方程為x21.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，由得x22mxm220(判別式0)，x0m，y0x0m2m，點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y25上，m2(2m)25，故m±1.B組題1設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足·0，則的值為()A.B1C2D不確定【解析】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2m，由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a.又·0，可得F1PF290°，故|PF1|2|PF2|24c2，平方平方，得|PF1|2|PF2|22a22m2，將代入，化簡(jiǎn)得a2m22c2，即2，可得2，因此，2.【答案】C2已知點(diǎn)A，B是雙曲線1右支上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·的最小值為_【解析】法一：當(dāng)kAB存在時(shí)，設(shè)lAB：ykxb，聯(lián)立消去y得x22kbxb220，x1x2，x1x2，由A，B均在雙曲線右支上知x1x2>0，所以k21>0，·x1x2y1y2x1x2x1x2kbb2b22>2，當(dāng)kAB不存在時(shí)，則·x1x2y1y2m22m22，綜上，·2，即·的最小值為2.法二：由于A，B兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，故采取“一定一動(dòng)”的原則，不妨先在B點(diǎn)確定的情況下，讓A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最小值，然后再讓B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，即取最小值的最小值如圖，不妨設(shè)直線OB：ykx，由可得x，y，故，顯然點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到在點(diǎn)A處的雙曲線的切線(即AC)與OB垂直時(shí)，此時(shí)在上的投影達(dá)到最小值，此時(shí)切線AC的方程為xky0，故在上的投影等于點(diǎn)O到直線AC的距離為，故···2.法三：設(shè)A，B，·x1x2y1y2x1x2·x1x2x1x2x1x2，又因?yàn)閤1，x2，所以x1x22，所以·x1x22.法四：設(shè)A，B，xy2，xy2，兩式相乘得4，即xxyy4xyyx，等式兩邊同時(shí)加上2x1x2y1y2，得44，故·x1x2y1y22.【答案】23已知P(x0，y0)(x0±a)是雙曲線E：1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的值【解析】(1)由點(diǎn)P(x0，y0)(x0±a)在雙曲線1上，有1.由題意有·，即x5ya2，可得a25b2，c2a2b26b2，e.(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則設(shè)(x3，y3)，即又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡(jiǎn)得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化為240，解得0或4.4如圖，曲線L由曲線C1：1(a>b>0，y0)和曲線C2：1(y>0)組成，其中F1，F(xiàn)2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，F(xiàn)3，F(xiàn)4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)(1)若F2(2，0)，F(xiàn)3(6，0)，求曲線L的方程；(2)如圖，作直線l平行于曲線C2的漸近線，交曲線C1于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線C2的另一條漸近線上；(3)對(duì)于(1)中的曲線L，若直線l1過(guò)點(diǎn)F4交曲線C1于點(diǎn)C、D，求CDF1的面積的最大值【解析】(1)由F2(2，0)、F3(6，0)，得解之得曲線L的方程為(2)直線l平行于曲線C2的漸近線，kl，令l的方程為y(xm)，則由得2x22mx(m2a2)0.由得am<a.令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，則令M(x0，y0)，則x0，y0(x0m).將點(diǎn)M代入另一條漸近線yx中，顯然成立，點(diǎn)M在另一條漸近線yx上(3)由(1)知C1：1(y0)，F(xiàn)4(6，0)令l1的方程為xty6(t>0)則由得(4t25)y248ty640.由(48t)24·64·(4t25)>0，得t2>1.令C(x3，y3)，D(x4，y4)，則于是|y3y4|16·，于是SCDF1·|F1F4|·|y3y4|·8·16·64·.令p，則SCDF164·64·.p>0，SCDF164·.當(dāng)且僅當(dāng)4p，即p，即t時(shí)，(SCDF1)max.備課札記22