2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元檢測(cè)八 立體幾何與空間向量(提升卷)單元檢測(cè) 理(含解析) 新人教A版

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1、單元檢測(cè)八立體幾何與空間向量(提升卷)考生注意:1本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共4頁(yè)2答卷前,考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫在相應(yīng)位置上3本次考試時(shí)間100分鐘,滿分130分4請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答,保持試卷清潔完整第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2018廣東省廣州市培正中學(xué)模擬)下列命題中,錯(cuò)誤的是( )A平行于同一平面的兩個(gè)平面平行B平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交,那么這條直線必和另一個(gè)平面相交D一條直線與兩個(gè)平行平

2、面所成的角相等答案B解析選項(xiàng)A正確,是面面平行的傳遞性選項(xiàng)B錯(cuò)誤,比如正方體的兩相鄰側(cè)面與一側(cè)棱都平行,但兩側(cè)面所在平面相交選項(xiàng)C正確,由反證法,若直線與另一平面不相交,則直線在平面內(nèi)或直線與平面平行,與直線與第一個(gè)平面相交矛盾選項(xiàng)D正確,由線面角定義可知正確2長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是3,4,5,且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則這個(gè)球的表面積是()A25B50C125D都不對(duì)答案B解析長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則這個(gè)球是長(zhǎng)方體的外接球,所以球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng),即R,所以球的表面積為4R24250,故選B.3.如圖,在多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正

3、方形,EFAB,EF,且EF與平面ABCD的距離為2,則該多面體的體積為()A.B5C6D.答案D解析分別取AB,CD的中點(diǎn)G,H,連接EG,GH,EH,把該多面體分割成一個(gè)四棱錐與一個(gè)三棱柱,可求得四棱錐的體積為3,三棱柱的體積為,進(jìn)而整個(gè)多面體的體積為.4如圖,一個(gè)空間幾何體的正視圖,側(cè)視圖,俯視圖為全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為1,那么這個(gè)幾何體的體積為( )A.B.C.D1答案A解析由三視圖還原可知原圖形是底面是直角邊為1的等腰直角三角形,兩側(cè)面也是直角邊為1的等腰直角三角形,另一側(cè)面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的三棱錐所以體積為V1,選A.5(2018西安模擬)若平面與的

4、法向量分別是a(2,4,3),b(1,2,2),則平面與的位置關(guān)系是()A平行B垂直C相交但不垂直D無(wú)法確定答案B解析因?yàn)閍b(2,4,3)(1,2,2)0,所以ab,所以兩平面垂直6.如圖,長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,DAD145,CDC130,那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是( )A.B.C.D.答案C解析由長(zhǎng)方體DAD145,CDC130,設(shè)ADDD11,CD.連接BC1,BD.由AD1BC1,所以異面直線AD1與DC1所成角,即BC1D.在BDC1中,BC1,BD2,C1D2,由余弦定理可得cosBC1D,所以異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是,選C.7ABC所在的

5、平面為,直線lAB,lAC,直線mBC,mAC,則直線l,m的位置關(guān)系是()A相交B平行C異面D不確定答案B解析lAB,lAC,ABACA,AB,AC平面ABC,l平面ABC.mBC,mAC,BCACC,BC,AC平面ABC,m平面ABC,lm,故選B.8已知向量a(2,4,5),b(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1l2,則()Ax6,y15Bx3,yCx3,y15Dx6,y答案D解析l1l2,存在實(shí)數(shù)k使得bka,即(3,x,y)k(2,4,5),解得x6,y,故選D.9(2018湖南省長(zhǎng)沙市周南中學(xué)模擬)如圖,在所有棱長(zhǎng)均為a的直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分別為B

6、B1,A1C1的中點(diǎn),則異面直線AD,CE所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析設(shè)AC的中點(diǎn)為O,以,為x,y,z軸建立坐標(biāo)系(圖略),則A,D,C,E(0,0,a),則,設(shè)AD與CE所成的角為,則cos,故選C.10已知,是兩個(gè)平面,直線l,l,若以l;l;中兩個(gè)為條件,另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題,則其中正確的命題有()A;B;C;D;答案A解析因?yàn)椋栽趦?nèi)找到一條直線m,使m,又因?yàn)閘,所以lm.又因?yàn)閘,所以l,即;因?yàn)閘,所以過l可作一平面n,所以ln,又因?yàn)閘,所以n,又因?yàn)閚,所以,即.故選A.11.如圖,空間四邊形OABC中,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G在線段MN上

7、,且MG2GN,若xyz,則() Ax,y,zBx,y,zCx,y,zDx,y,z答案D解析由向量的運(yùn)算法則有,又,2,得3,據(jù)此可知x,y,z.12.點(diǎn)P在正方體側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且保持APBD1,則點(diǎn)P的軌跡為()A線段B1CBBB1的中點(diǎn)與CC1的中點(diǎn)連成的線段C線段BC1DBC的中點(diǎn)與B1C1的中點(diǎn)連成的線段答案A解析APBD1恒成立,要保證AP所在的平面始終垂直于BD1.ACBD1,AB1BD1,ACAB1A,AB1,AC平面AB1C,BD1平面AB1C,P點(diǎn)在線段B1C上運(yùn)動(dòng)故選A.第卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分把答案填在題中

8、橫線上)13正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,半徑為的球O過點(diǎn)D, MN為球O的一條直徑,則的最小值是_答案44解析很明顯當(dāng)O,D,M,N四點(diǎn)共面時(shí)數(shù)量積能取得最值,由題意可知ODOMON,則MDN是以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的直角三角形,且()()2()420,當(dāng)向量,反向時(shí),取得最小值42244.14.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn),若B1MN是直角,則C1MN_.答案90解析因?yàn)镃1B1平面ABB1A1,MN平面ABB1A1,所以C1B1MN.又因?yàn)镸NMB1,MB1,C1B1平面C1MB1,MB1C1B1B1,所以MN平面C1MB1,所以MNC1M,所以C1

9、MN90.15.如圖,BAC90,PC平面ABC,則在ABC和PAC的邊所在的直線中,與PC垂直的直線有_;與AP垂直的直線有_答案AB,BC,ACAB解析PC平面ABC,PC垂直于直線AB,BC,AC;ABAC,ABPC,ACPCC,AB平面PAC,與AP垂直的直線是AB.16.如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB1,AD2,AA13,BAD90,BAA1DAA160,則AC1_.答案解析BAA1DAA160,A1在平面ABCD上的射影必落在直線AC上,平面ACC1A1平面ABCD,AB1,AD2,AA13,|2()2|2|2|2222149021322323,|,AC1.三、

10、解答題(本題共4小題,共50分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟)17(12分)如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面)ABCA1B1C1中,AC9,BC12,AB15,AA112,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)(1)求證:ACB1C;(2)求證:AC1平面CDB1.證明(1)三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱,CC1平面ABC,又AC平面ABC,CC1AC.又AC9,BC12,AB15,AC2BC2AB2,ACBC.CC1,BC平面BB1C1C,CC1BCC,AC平面BB1C1C,又B1C平面BB1C1C,ACB1C.(2)取A1B1的中點(diǎn)D1,連接C1D1,D1D和AD1.ADD1B1,且ADD1B1,四

11、邊形ADB1D1為平行四邊形,AD1DB1,又AD1平面CDB1,DB1平面CDB1,AD1平面CDB1.CC1DD1,且CC1DD1,四邊形CC1D1D為平行四邊形,C1D1CD,又CD平面CDB1,C1D1平面CDB1,C1D1平面CDB1.AD1C1D1D1,AD1,C1D1平面AC1D1,平面AC1D1平面CDB1,又AC1平面AC1D1,AC1平面CDB1.18(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD1,BC3,CD4,PD2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值(1)解

12、由已知ADBC,得DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角因?yàn)锳D平面PDC,所以ADPD.在RtPDA中,由已知,得AP,故cosDAP.所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為.(2)證明因?yàn)锳D平面PDC,直線PD平面PDC,所以ADPD.又因?yàn)锽CAD,所以PDBC,又PDPB,BC,PB平面PBC,BCPBB,所以PD平面PBC.(3)解過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因?yàn)镻D平面PBC,故PF為DF在平面PBC上的射影,所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角由于ADBC,DFAB,故BFAD1,由已知,得CFBC

13、BF2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,可得DF2,在RtDPF中,可得sinDFP.所以,直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.19(13分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形,ABC60,PA平面ABCD,PA4,F(xiàn)是棱PA上一點(diǎn),且AF1,E為PD的一個(gè)靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)(1)求證:CE平面BDF;(2)求平面BDF與平面PAD所成的銳二面角的余弦值(1)證明以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AD,AP所在的直線分別為y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖則A(0,0,0),D(0,4,0),P(0,0,4),F(xiàn)(0,0,1),B(2,2,0),C(2,2,0),設(shè)平面BDF

14、的法向量為n(x,y,z),又(2,6,0),(0,4,1),所以取y1,得n(,1,4),所以n60,即n.又CE平面BDF,所以CE平面BDF.(2)解由(1)知平面BDF的一個(gè)法向量為n(,1,4),又平面PAD的一個(gè)法向量可取n1(1,0,0),所以平面BDF與平面PAD所成銳二面角的余弦值為|cosn,n1|.20(13分)(2018北京市城六區(qū)模擬)如圖1,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,P為CD中點(diǎn),分別將PAD, PBC沿PA,PB所在直線折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合于點(diǎn)O,如圖2,在三棱錐POAB中,E為PB中點(diǎn)(1)求證:POAB;(2)求直線BP與平面POA所成角的正弦值;(3)

15、求二面角PAOE的大小(1)證明在正方形ABCD中,P為CD中點(diǎn),PDAD,PCBC,所以在三棱錐POAB中,POOA,POOB.因?yàn)镺AOBO,OA,OB平面OAB,所以PO平面OAB.因?yàn)锳B平面OAB,所以POAB.(2)解取AB中點(diǎn)F,連接OF,取AO中點(diǎn)M,連接BM.過點(diǎn)O作AB的平行線OG.因?yàn)镻O平面OAB,所以POOF,POOG.因?yàn)镺AOB,F(xiàn)為AB的中點(diǎn),所以O(shè)FAB.所以O(shè)FOG.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.A(1,0),B(1,0),P(0,0,1),M.因?yàn)锽OBA,M為OA的中點(diǎn),所以BMOA.因?yàn)镻O平面OAB,PO平面POA,所以平面POA平面OAB.因?yàn)槠矫鍼OA平面OABOA,BM平面OAB,所以BM平面POA.因?yàn)?所以平面POA的一個(gè)法向量m(,1,0).(1,1)設(shè)直線BP與平面POA所成角為,則sin|cosm,|.所以直線BP與平面POA所成角的正弦值為.(3)由(2)知E,(1,0)設(shè)平面OAE的法向量為n(x,y,z),則有即令y1,則x,z2,即n(,1,2)由(2)知平面OAP的一個(gè)法向量為m(,1,0),所以cosm,n.由題意知二面角PAOE為銳角,所以它的大小為.12

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