（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題05 統(tǒng)計(jì)初步（含解析）

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1、專題05統(tǒng)計(jì)初步 【母題來(lái)源一】【2019年高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是______________． 【答案】 【解析】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 所以該組數(shù)據(jù)的方差是． 【母題來(lái)源二】【2018年高考江蘇卷】已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為_(kāi)_____________． 【答案】90 【解析】由莖葉圖可知，5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別為， 故平均數(shù)為． 【母題來(lái)源三】【2017年高考江蘇卷】某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件．

2、為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取______________件． 【答案】18 【解析】應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件，故答案為18． 【命題意圖】 能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 【命題規(guī)律】 高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點(diǎn)考查抽樣方法和總體估計(jì)，特別是系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的應(yīng)用，結(jié)合莖葉圖、頻率分布直方圖計(jì)算(求頻率、頻數(shù)等)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等)，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性. 【方法總結(jié)】 （一）數(shù)字

3、特征： （1）眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù). （2）中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)). （3）平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù). （4）極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差． （5）方差：. （6）標(biāo)準(zhǔn)差：. （7）常用性質(zhì)： ①若的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為. ②數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變． ③若的方差為s2，那么的方差為. （二）系統(tǒng)抽樣的操作步驟： 第一步編號(hào)：先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)； 第二步分段：確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段，當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k=； 第三步確定首個(gè)個(gè)體：在第1段用簡(jiǎn)單

4、隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)； 第四步獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本． （三）與分層抽樣有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略： （1）求某一層的樣本數(shù)或總體個(gè)數(shù)．可依據(jù)題意求出抽樣比，再由某層總體個(gè)數(shù)(或樣本數(shù))確定該層的樣本(或總體)數(shù)． （2）求各層的樣本數(shù)．可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù)． （3）進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ①分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊． ②為了保證每個(gè)個(gè)

5、體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同． （四）莖葉圖的表示方法： （1）對(duì)于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的一組數(shù)據(jù)：若數(shù)據(jù)是兩位整數(shù)，則將十位數(shù)字作莖，個(gè)位數(shù)字作葉；若數(shù)據(jù)是三位整數(shù)，則將百位、十位數(shù)字作莖，個(gè)位數(shù)字作葉．樣本數(shù)據(jù)為小數(shù)時(shí)做類似處理． （2）對(duì)于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的兩組數(shù)據(jù)，關(guān)鍵是找到兩組數(shù)據(jù)共有的莖． （五）頻率分布直方圖是用樣本估計(jì)總體的一種重要方法，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度： （1）已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和

6、等于1就可求出其他數(shù)據(jù)． （2）已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解． （3）與概率有關(guān)的綜合問(wèn)題，可先求出頻率，再利用古典概型等知識(shí)求解. 1．【江蘇省徐州市2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】一組數(shù)據(jù)175，177，174，175，174的方差為_(kāi)________． 【答案】 【解析】， 所以 ，故填. 【名師點(diǎn)睛】先求出它們的平均數(shù)，再利用公式求方差.樣本數(shù)據(jù)的方差計(jì)算有兩種方法： （1）；（2）. 2．【江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港））2019屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知一組樣本數(shù)據(jù)5，4，，3，6的

7、平均數(shù)為5，則該組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)________． 【答案】2 【解析】平均數(shù)為：，解得：， 方差. 故答案為2. 【名師點(diǎn)睛】本題考查幾個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，利用平均數(shù)得到x值，進(jìn)而計(jì)算得到該組數(shù)據(jù)的方差. 3．【江蘇省南通市2019屆高三模擬練習(xí)卷（四模）數(shù)學(xué)試題】從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則身高在[120，130)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)________． 【答案】 【解析】由圖知，（0.035++0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得＝0.03， ∴身高在[1

8、20，130)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為100×0.03×10＝30． 故答案為30． 【名師點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，解題的關(guān)鍵是理解直方圖中各個(gè)小矩形的面積的意義及各個(gè)小矩形的面積和為1，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由題意，可由直方圖中各個(gè)小矩形的面積和為1求出的值，再求出此小矩形的面積即此組人數(shù)在樣本中的頻率，再乘以樣本容量即可得到此組的人數(shù)． 4．【江蘇省蘇州市2019屆高三高考模擬最后一卷數(shù)學(xué)試題】為了解某團(tuán)戰(zhàn)士的體重情況，采用隨機(jī)抽樣的方法．將樣本體重?cái)?shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右前三個(gè)小組頻率之比為1：2：3，第二小組頻數(shù)為12，則全團(tuán)共抽取人數(shù)為_(kāi)_____

9、___． 【答案】48 【解析】由題得頻率分布直方圖左邊三組的頻率和為， 所以全團(tuán)抽取的人數(shù)為：＝48. 故答案為：48. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖頻率和頻數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力. 5．【江蘇省南京金陵中學(xué)、海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題】對(duì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量（單位：克）進(jìn)行抽樣檢測(cè)，樣本容量為800，檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品質(zhì)量在區(qū)間[25，30)內(nèi)為一等品，在區(qū)間[20，25)和[30，35)內(nèi)為二等品，其余為次品．則樣本中次品件數(shù)為_(kāi)________． 【答

10、案】200 【解析】根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中次品的頻率為：1－（0.05＋0.0625＋0.0375）×5＝0.25， 所以，樣本中次品的件數(shù)為：0.25×800＝200. 故答案為：200. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的讀圖能力，注意縱坐標(biāo)的意義．屬于簡(jiǎn)單題型.由頻率分布直方圖可知，算出次品所占的比例乘以樣本容量即可得出結(jié)果． 6．【江蘇省七市(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】已知一組數(shù)據(jù)6，6，9，，的平均數(shù)是，且，則該組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)________． 【答案】 【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)6，6，9，，的平均數(shù)是，

11、 所以，整理得：， 又，解得：或， 此時(shí)都等于， 所以該組數(shù)據(jù)的方差為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)的計(jì)算公式及方差計(jì)算公式，還考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.由這組數(shù)據(jù)6，6，9，，的平均數(shù)是可求得，結(jié)合可求得，再利用方差公式計(jì)算即可得解. 7．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查（二）數(shù)學(xué)試題】某校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為4：4：3，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級(jí)的學(xué)生數(shù)為15，則抽取的樣本容量為_(kāi)________． 【答案】55 【解析】設(shè)高一、高二分別抽取，人， 由題可得：，解得：，， 所以抽取的樣本容量為（人）. 【名

12、師點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣方法中的比例關(guān)系，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，設(shè)高一、高二分別抽取，人，按分層抽樣方法列出比例關(guān)系，解方程即可求得，，問(wèn)題得解. 8．【江蘇省2019屆高三第二學(xué)期聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】為了解某高中學(xué)生的身高情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，其中高一年級(jí)抽取24人，高二年級(jí)抽取26人．若高三年級(jí)共有學(xué)生600人，則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為_(kāi)________． 【答案】1200 【解析】由題意知高三年級(jí)抽取了人， 所以該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為人， 故答案為：1200. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.先求出高三年級(jí)抽取的

13、人數(shù)和所占比例，再用高三年級(jí)學(xué)生數(shù)除以其所占比例即為總?cè)藬?shù). 9．【江蘇省七市2019屆(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】某單位普通職工和行政人員共280人．為了解他們?cè)凇皩W(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP平臺(tái)上的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職員中抽取容量為56的樣本．已知從普通職工中抽取的人數(shù)為49，則該單位行政人員的人數(shù)為_(kāi)________． 【答案】35 【解析】由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為56﹣49＝7， 抽樣的比列為，故該學(xué)校的行政人員人數(shù)是735， 故答案為 35． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用數(shù)據(jù)計(jì)算抽樣比例是關(guān)鍵，

14、屬于基礎(chǔ)題．求解時(shí)，由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為7，再求得抽樣的比列，再用7除以此比例，即得該學(xué)校的行政人員人數(shù)． 10．【江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】某藥廠選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，……，第五組，如圖是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，則第三組中的人數(shù)為 _________． 【答案】 【解析】由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人，分

15、布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別為0.24，0.16，設(shè)總的人數(shù)為n，則 所以第3小組的人數(shù)為人. 故答案為：18. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖中頻數(shù)、頻率等的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力及掌握水平.由頻率以及直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人的頻率，即可求出總的人數(shù)，從而求出第三組的人數(shù). 11．【江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】對(duì)某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，抽取容量為1000的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)此圖可知這批樣本中壽命不低于300 h的電子元件的個(gè)數(shù)為_(kāi)________． 【答案】800 【解析】使用壽命

16、在的頻率為：， 使用壽命在的頻率為：， 使用壽命在的頻率， 使用壽命不低于300 h的頻率， ∴使用壽命不低于300 h的電子元件個(gè)數(shù)為：（個(gè)）. 本題正確結(jié)果：. 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)頻率分布直方圖求出的頻率，利用得到不低于的頻率，利用得到結(jié)果. 12．【江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州、蘇北四市七市2019屆高三第一次（2月）模擬數(shù)學(xué)試題】某中學(xué)組織學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，高二（1）班50名學(xué)生參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下： 次數(shù) 2 3 4 5 人數(shù) 20 15 10 5 則平均每人參加活動(dòng)的次數(shù)為_(kāi)________．

17、 【答案】3 【解析】根據(jù)題意，計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為： ＝＝3， 故答案為：3. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)的定義與計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題． 13．【江蘇省揚(yáng)州市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)試題高三數(shù)學(xué)】某學(xué)校選修網(wǎng)球課程的學(xué)生中，高一、高二、高三年級(jí)分別有50名、40名、40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這130名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高二年級(jí)學(xué)生中抽取了8名，則在高一年級(jí)學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為_(kāi)________． 【答案】10 【解析】設(shè)在高一年級(jí)學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為n， ∵高一、高二、高三年級(jí)分別有50名、40名、40名，在高二年級(jí)學(xué)生中抽取了8名， ∴，即n＝

18、10， 故答案為：10． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論． 14．【江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)2019屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷】某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學(xué)生高考前的心理狀況，將學(xué)生按1至48的學(xué)號(hào)用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進(jìn)行調(diào)查，若抽到的最大學(xué)號(hào)為48，則抽到的最小學(xué)號(hào)為_(kāi)________． 【答案】6 【解析】由系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號(hào)為1到48的48名學(xué)生中抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，把48人分成8組，每組6人， 若抽到的最大學(xué)號(hào)為48，它是第8組的最后一名，則抽到的最小學(xué)號(hào)為第一組

19、的最后一名6號(hào). 故答案為：6． 【名師點(diǎn)睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．求解時(shí)，抽到的最大學(xué)號(hào)為48，由系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識(shí)即可得最小學(xué)號(hào). 15．【安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)2019屆高三全國(guó)高考猜題預(yù)測(cè)卷一數(shù)學(xué)試題】某高校組織學(xué)生辯論賽，六位評(píng)委為選手打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，若去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為_(kāi)________． 【答案】 【解析】剩下的四個(gè)數(shù)為83，85，87，95，且這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).求解時(shí)，先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù)，然后可得結(jié)果. 10