一線三等角模型【竹菊書苑】

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1、一個(gè)特殊圖形的應(yīng)用一線三等角模型1n 考試過程中學(xué)生若能遇到自己平時(shí)非常熟悉的題型，快速找到解決問題的突破口，就能減輕思維量，提高做題速度，緩解考試緊張情緒，取得理想的成績(jī)。因此，平時(shí)教學(xué)中模型的滲透就非常重要。n 一線三等角解題理念:有邊相等證全等;沒邊相等證相似.Page 2建立模型建立模型n 2013一調(diào)13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+2與 x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，四邊形ABCD是正方形，曲線在第一象限經(jīng)過點(diǎn)D.則_Page 32013一調(diào)一調(diào)22題題圖1 圖2Page 4n（2）問題探究n如圖3，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向

2、ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3Page 5n（3）拓展延伸n 如圖4，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=k AE，AC=k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖4Page 6模型應(yīng)用模型應(yīng)用n（2012南充）19矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點(diǎn)EFEC交AB于點(diǎn)F連接FC.n （1）求證：AEFDCE；n （2）求tanECF的值Page 7n 已知：在矩形AOBC中，OB=

3、3，OA=2分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系若點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)（k0）的圖象與邊交于點(diǎn)E（1）直接寫出線段AE、BF的長(zhǎng)（用含k的代數(shù)式表示）；n（2）設(shè)AOE與FOB的面積分別為S1，S2，求證：S1=S2；（3）記OEF的面積為S求出S與k的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量k的取值范圍；以O(shè)F為直徑作 N，若點(diǎn)E恰好在 N上，請(qǐng)求出此時(shí)OEF的面積S（4）當(dāng)點(diǎn)F在BC上移動(dòng)時(shí)，OEF與ECF的面積差記為S，求當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？n（5）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)E，使得將CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在

4、OB上？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由Page 8n 3如圖，已知y1=k1x+k1（k10）與反比例函數(shù)(k20)的圖象交于點(diǎn)A、C，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，y1y2？（3）若一次函數(shù)y1=k1x+k1與x軸交于B點(diǎn)，連接OA，求AOB的面積：（4）在（3）的條件下，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由Page 92013一調(diào)一調(diào)23題題n(11分)如圖，矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)

5、過A、C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)D（）求拋物線的解析式；n（）動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿線段AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，CPQ的面積為Sn（1）求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S取得最大值；n（2）當(dāng)S最大時(shí)，從以下、中任選一題作答，若兩題都做只以第題計(jì)分n 在拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸l上，是否存在點(diǎn)F，使FDQ為直角三角形，n 若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；否則請(qǐng)說明理由Page 10Page 11n（2011河南）23.（11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，

6、點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為8.n（1）求該拋物線的解析式；n（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PEAB于點(diǎn)E.n 設(shè)PDE的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；n 連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).Page 12Page 13模型拓展模型拓展 一線三銳角一線三銳角Page 14模型應(yīng)用模型應(yīng)用n.如圖，已知RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（

7、不能到達(dá)B，C），過D作BAC=45，DE交AC于E.n(1）求證：ABDDCE；n(2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x得函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x得取值范圍；n(3）當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)?D?E?C?B?APage 15模型應(yīng)用模型應(yīng)用n （2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田10分）ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作MDN=Bn（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與ADE相似的三角形n（2）如圖（2），將MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，

8、寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論n（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)DEF的面積等于ABC的面積的 時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)41Page 16n 已知如圖，在梯形已知如圖，在梯形ABCD中，中，ADBC，AD=2，BC=4，點(diǎn)，點(diǎn)M是是AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，MBC是等邊三角形是等邊三角形n（1）求證：梯形）求證：梯形ABCD是等腰梯是等腰梯形；形；n（2）動(dòng)點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段分別在線段BC和和MC上運(yùn)動(dòng)，且上運(yùn)動(dòng)，且MPQ=60保持保持不變?cè)O(shè)不變?cè)O(shè)PC=x，MQ=y求求y與與x的的函數(shù)關(guān)系式函數(shù)關(guān)系式.n（3）在（）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷，判

9、斷PQC的形狀，并說明理的形狀，并說明理由由ADCBPMQ60Page 17 n（2012成都）(本小題滿分10分)n 如圖，ABC和DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的頂點(diǎn)E與ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Qn（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：BPE CQE；n（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：BPECEQ；并求當(dāng)BP=a，CQ=時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離(用含a的代數(shù)式表示)92aPage 18一線三鈍角一線三鈍角Page 19模型應(yīng)用模型應(yīng)用n 如圖，在梯形ABCD中，ADBC.AB=DC=AD=6,ABC=70 0 ,點(diǎn)E,F分別在線段AD,DC上，且 BEF=1100,若AE=3,求DF的長(zhǎng)。F E D C B APage 20歸納總結(jié)歸納總結(jié)n 一線三等角模型：n 三個(gè)相等的角，頂點(diǎn)在同一直線上時(shí)，左右兩個(gè)三角形相似，若共線三頂點(diǎn)中間一頂點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，圖中三個(gè)角所在的相關(guān)三角形兩兩相似。Page 21n 從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，對(duì)解決問題有化繁為簡(jiǎn)的效果。三等角模型在解題中，可以幫助我們快速找到解決問題的突破口。希望這個(gè)模型能起到拋磚引玉的作用，讓我們平時(shí)多總結(jié)多歸納，出現(xiàn)更多的好方法。！Page 22