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1、一個特殊圖形的應(yīng)用一線三等角模型1n 考試過程中學(xué)生若能遇到自己平時非常熟悉的題型，快速找到解決問題的突破口，就能減輕思維量，提高做題速度，緩解考試緊張情緒，取得理想的成績。因此，平時教學(xué)中模型的滲透就非常重要。n 一線三等角解題理念:有邊相等證全等;沒邊相等證相似.Page 2建立模型建立模型n 2013一調(diào)13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+2與 x軸、y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形，曲線在第一象限經(jīng)過點D.則_Page 32013一調(diào)一調(diào)22題題圖1 圖2Page 4n（2）問題探究n如圖3，ABC中，AGBC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向
2、ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3Page 5n（3）拓展延伸n 如圖4，ABC中，AGBC于點G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H.若AB=k AE，AC=k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖4Page 6模型應(yīng)用模型應(yīng)用n（2012南充）19矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點EFEC交AB于點F連接FC.n （1）求證：AEFDCE；n （2）求tanECF的值Page 7n 已知：在矩形AOBC中，OB=
3、3，OA=2分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系若點F是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數(shù)（k0）的圖象與邊交于點E（1）直接寫出線段AE、BF的長（用含k的代數(shù)式表示）；n（2）設(shè)AOE與FOB的面積分別為S1，S2，求證：S1=S2；（3）記OEF的面積為S求出S與k的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量k的取值范圍；以O(shè)F為直徑作 N，若點E恰好在 N上，請求出此時OEF的面積S（4）當(dāng)點F在BC上移動時，OEF與ECF的面積差記為S，求當(dāng)k為何值時，S有最大值，最大值是多少？n（5）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點E，使得將CEF沿EF對折后，C點恰好落在
4、OB上？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由Page 8n 3如圖，已知y1=k1x+k1（k10）與反比例函數(shù)(k20)的圖象交于點A、C，其中A點坐標(biāo)（1，1）（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時，y1y2？（3）若一次函數(shù)y1=k1x+k1與x軸交于B點，連接OA，求AOB的面積：（4）在（3）的條件下，在坐標(biāo)軸上是否存在點P，使AOP是等腰三角形？若存在，請寫出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由Page 92013一調(diào)一調(diào)23題題n(11分)如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標(biāo)為（0，8），點C的坐標(biāo)為（6，0）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)
5、過A、C兩點，與AB邊交于點D（）求拋物線的解析式；n（）動點P從C出發(fā)，沿線段CB向終點B運(yùn)動，同時動點Q從A出發(fā)，沿線段AC向終點C運(yùn)動，速度均為每秒1個單位長度，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，CPQ的面積為Sn（1）求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時，S取得最大值；n（2）當(dāng)S最大時，從以下、中任選一題作答，若兩題都做只以第題計分n 在拋物線y=x2+bx+c的對稱軸l上，是否存在點F，使FDQ為直角三角形，n 若存在,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標(biāo)；否則請說明理由Page 10Page 11n（2011河南）23.（11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點，
6、點A在x軸上，點B的橫坐標(biāo)為8.n（1）求該拋物線的解析式；n（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PEAB于點E.n 設(shè)PDE的周長為l，點P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；n 連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點P的運(yùn)動，正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應(yīng)的點P的坐標(biāo).Page 12Page 13模型拓展模型拓展 一線三銳角一線三銳角Page 14模型應(yīng)用模型應(yīng)用n.如圖，已知RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，點D在BC上運(yùn)動（
7、不能到達(dá)B，C），過D作BAC=45，DE交AC于E.n(1）求證：ABDDCE；n(2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x得函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x得取值范圍；n(3）當(dāng)ADE是等腰三角形時，求AE的長?D?E?C?B?APage 15模型應(yīng)用模型應(yīng)用n （2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田10分）ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作MDN=Bn（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與ADE相似的三角形n（2）如圖（2），將MDN繞點D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點（點E與點A不重合），不添加輔助線，
8、寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論n（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)DEF的面積等于ABC的面積的 時，求線段EF的長41Page 16n 已知如圖，在梯形已知如圖，在梯形ABCD中，中，ADBC，AD=2，BC=4，點，點M是是AD的中點，的中點，MBC是等邊三角形是等邊三角形n（1）求證：梯形）求證：梯形ABCD是等腰梯是等腰梯形；形；n（2）動點）動點P、Q分別在線段分別在線段BC和和MC上運(yùn)動，且上運(yùn)動，且MPQ=60保持保持不變設(shè)不變設(shè)PC=x，MQ=y求求y與與x的的函數(shù)關(guān)系式函數(shù)關(guān)系式.n（3）在（）在（2）中，當(dāng)取最小值時）中，當(dāng)取最小值時，判斷，判
9、斷PQC的形狀，并說明理的形狀，并說明理由由ADCBPMQ60Page 17 n（2012成都）(本小題滿分10分)n 如圖，ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的頂點E與ABC的斜邊BC的中點重合將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Qn（1）如圖，當(dāng)點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：BPE CQE；n（2）如圖，當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，求證：BPECEQ；并求當(dāng)BP=a，CQ=時，P、Q兩點間的距離(用含a的代數(shù)式表示)92aPage 18一線三鈍角一線三鈍角Page 19模型應(yīng)用模型應(yīng)用n 如圖，在梯形ABCD中，ADBC.AB=DC=AD=6,ABC=70 0 ,點E,F分別在線段AD,DC上，且 BEF=1100,若AE=3,求DF的長。F E D C B APage 20歸納總結(jié)歸納總結(jié)n 一線三等角模型：n 三個相等的角，頂點在同一直線上時，左右兩個三角形相似，若共線三頂點中間一頂點是中點時，圖中三個角所在的相關(guān)三角形兩兩相似。Page 21n 從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，對解決問題有化繁為簡的效果。三等角模型在解題中，可以幫助我們快速找到解決問題的突破口。希望這個模型能起到拋磚引玉的作用，讓我們平時多總結(jié)多歸納，出現(xiàn)更多的好方法。！Page 22
一線三等角模型【竹菊書苑】
