機械制圖10【高教課堂】

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1、第第 2 2 章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影2.1 點的投影點的投影2.2 直直 線線 的的 投投 影影 2.3 平平 面面 的的 投投 影影 2.4 直線與平面及兩平面之間的相對位置直線與平面及兩平面之間的相對位置 2.5 換面法換面法1詳細課資2.1 2.1 點點 的的 投投 影影2.1.1 點在兩投影面體系中的投影點在兩投影面體系中的投影 2.1.2 點在點在三面投影體系中的投影三面投影體系中的投影 2.1.3 特殊位置點的投影特殊位置點的投影 2.1.4 兩點的相對位置和重影點兩點的相對位置和重影點 2詳細課資2.1.1 2.1.1 點在兩投影面體系中的投影點在兩投影面

2、體系中的投影1 1、兩投影面體系的組成、兩投影面體系的組成H HV V(1)兩個互相垂直的兩個互相垂直的投影面投影面正正立立投影面（簡稱正投影面（簡稱正投影投影面面 或或V V面）面）水平投影面（簡稱水平面或水平投影面（簡稱水平面或H H面）面）(2)投影軸投影軸O OX XOXOX軸軸:V:V面與面與H H面的交線面的交線兩兩個投影面?zhèn)€投影面互相直互相直 V面和面和H面把空間分成四個部分，依次用面把空間分成四個部分，依次用I、II、III、IV表示表示,，分別稱它們?yōu)榈谝?、二、三、四分角。，分別稱它們?yōu)榈谝?、二、三、四分角?3)分角分角3詳細課資2.1.1 2.1.1 點在兩投影面體系中的

3、投影點在兩投影面體系中的投影2 2、點的兩面投影圖、點的兩面投影圖 H HV VO OX Xa 點點A A的正面投影的正面投影a 點點A A的水平投影的水平投影注意：注意：空間點用大寫字母空間點用大寫字母表示，點的投影用表示，點的投影用小寫字母表示。小寫字母表示。aa A A立體圖立體圖ax4詳細課資投影面展開投影面展開X XO OV VH HA Aaa xa向下翻向下翻不動不動H HaV Va xaX XO O2 2、點的兩面投影圖、點的兩面投影圖 3 3、點的兩面投影特性、點的兩面投影特性 （1 1）點的投影連線垂直于投影軸。）點的投影連線垂直于投影軸。即即a a aOX.aOX.（2 2

4、）點的投影與投影軸的距離）點的投影與投影軸的距離,等等 于該點與相鄰投影面的距離。于該點與相鄰投影面的距離。即即a ax xa=aA aa=aA ax xa=aAa=aAaX XO Oa 2.1.1 2.1.1 點在兩投影面體系中的投影點在兩投影面體系中的投影5詳細課資2.1.2 2.1.2 點在三面投影體系中的投影點在三面投影體系中的投影1、三投影面體系的組成、三投影面體系的組成W W投影面投影面正立投影面（簡稱正投影面或正立投影面（簡稱正投影面或V V面）面）水平投影面（簡稱水平面或水平投影面（簡稱水平面或HH面）面）側立投影面（簡稱側面或側立投影面（簡稱側面或WW面）面）投影軸投影軸H

5、HV VO OX XZ ZOXOX軸軸 V V面與面與H H面的交線面的交線OZOZ軸軸 V V面與面與WW面的交線面的交線OYOY軸軸 HH面與面與WW面的交線面的交線三個投影面三個投影面互相垂直互相垂直Y Y分角分角HH、V V、WW把空間分為把空間分為8 8個區(qū)域，分別稱為個區(qū)域，分別稱為8 8個分角。個分角。6詳細課資2 2、點的三面投影圖、點的三面投影圖W WH HV VO OX XZ ZY Ya 點點A A的正面投影的正面投影a 點點A A的水平投影的水平投影a 點點A A的側面投影的側面投影注意：注意：空間點用大寫字母空間點用大寫字母表示，點的投影用表示，點的投影用小寫字母表示。

6、小寫字母表示。a aa A A立體圖立體圖axazaY7詳細課資2 2、點的三面投影圖、點的三面投影圖X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不動不動投影面展開投影面展開V VW WH H aYHaxazZ Zaa a YWaX XY YH H Y YW WO O 8詳細課資2 2、點的三面投影、點的三面投影X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayW WV VH HaaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH Y YW WO O aZ Zaa X XY YH H Y YW WO O 投影面展開投影面展開投

7、影圖投影圖9詳細課資2 2、點的三面投影圖、點的三面投影圖X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZaaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH H Y YW WO O (xA,yA,zA)xAyAzAyA3 3、點的投影規(guī)律、點的投影規(guī)律 a aOXOX軸軸yA(oayH=oayw)=aax=z A(oaz)=a ax=xA(oa x)=aayH=a a OZOZ軸軸=A Aa（A A到到V V面的距離）面的距離）a az=A Aa（A A到到W W面的距離面的距離）a ayw=A Aa（A A到到H H面的距離面的距離）a azz10詳細課資3、點的

8、投影規(guī)律、點的投影規(guī)律X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZaaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH H Y YW WO O (xA,yA,zA)xAyAzAyA（1）點的投影連線垂直于投影軸。）點的投影連線垂直于投影軸。(注意注意aa“)（2）點的投影到投影軸的距離，等于點的坐標，）點的投影到投影軸的距離，等于點的坐標，也就是該點與對應的相鄰投影面的距離。也就是該點與對應的相鄰投影面的距離。11詳細課資【例例2.1】已知點的正面投影和水平投影已知點的正面投影和水平投影,試求其側面投影試求其側面投影【例例2.2】已知點已知點A A（1010、8

9、8、1212），求點），求點A A的三面投影。的三面投影。12詳細課資Z ZX XO Oaaaaa aY YHHY YWW練習練習1 已知點已知點A的正面與側面投影，求點的正面與側面投影，求點A的水平投影的水平投影13詳細課資 2.1.3 2.1.3 特殊位置點的投影特殊位置點的投影 1.1.投影面上的點的投影投影面上的點的投影 2.2.投影軸上的點的投影投影軸上的點的投影 14詳細課資練習2：已知點的坐標求三面投影15詳細課資練習2：題解c16詳細課資 2.1.4 2.1.4 兩點的相對位置和重影點兩點的相對位置和重影點 1.1.兩點的相對位置兩點的相對位置（1）絕對座標法）絕對座標法：空間

10、點對原點的坐標?？臻g點對原點的坐標。（2）相對座標法：）相對座標法：兩點的相對坐標，即兩點坐標差。兩點的相對坐標，即兩點坐標差。XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zBXZYWYHOaa axAyAzA17詳細課資 2.1.3 2.1.3 特殊位置點的投影特殊位置點的投影（1）絕對座標法）絕對座標法：空間點對原點的坐標?？臻g點對原點的坐標。（2）相對座標法：）相對座標法：兩點的相對坐標，即兩點坐標差。兩點的相對坐標，即兩點坐標差。XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB兩點中兩點中X 值大值大的點的點 在左在左兩點中兩點中Y 值大值大的點

11、的點 在前在前 兩點中兩點中Z 值大值大的點的點 在上在上XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB18詳細課資 2.1.3 2.1.3 特殊位置點的投影特殊位置點的投影XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB需要注意的是：需要注意的是：XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB1 1）對水平投影而言，由）對水平投影而言，由oxox軸向下就代表向前；對側面軸向下就代表向前；對側面投影而言，由投影而言，由ozoz軸向右也代表向前。軸向右也代表向前。2 2）已知兩點的相對位置，只要知道其中一點的位置，）已知兩點的

12、相對位置，只要知道其中一點的位置，另一點的位置隨之就能確定。另一點的位置隨之就能確定。19詳細課資 2.1.4 2.1.4 兩點的相對位置和重影點兩點的相對位置和重影點 2.2.重影點及其可見性重影點及其可見性 當兩點的某兩個坐標相同時，該兩點將處于同當兩點的某兩個坐標相同時，該兩點將處于同一投影線上，因而對某一投影面具有重合的投影，一投影線上，因而對某一投影面具有重合的投影，則這兩點稱為對該投影面的重影點。則這兩點稱為對該投影面的重影點。重影點的可見性判別方法：重影點的可見性判別方法：對于對于V前遮后；對于前遮后；對于H上遮下上遮下,對于對于W左遮右。左遮右。20詳細課資aaaaa aX X

13、Z ZY YWWY YHHO Obbb bbb8 89 95 5練習練習3 3 已知已知A A點在點在B B點前方點前方5 5毫米，上方毫米，上方9 9毫米，右毫米，右方方8 8毫米，求毫米，求A A點的投影。點的投影。21詳細課資練習練習4 4：兩點的相對位置：兩點的相對位置22詳細課資練習練習4 4：題解：題解23詳細課資練習練習5 5：重影點及投影可見性：重影點及投影可見性24詳細課資練習練習5 5：題解：題解25詳細課資2.2 2.2 直直 線線 的的 投投 影影2.2.1 直線及直線上點的投影特性直線及直線上點的投影特性 2.2.2 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性2.2

14、.3 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 2.2.4 直角投影定理直角投影定理2.2.5 2.2.5 用直角三角形法求直線實長及用直角三角形法求直線實長及 其對投影面的傾角其對投影面的傾角26詳細課資2.2.1 2.2.1 直線及直線上點的投影特性直線及直線上點的投影特性 1 1、直線的投影、直線的投影：可以看做是直線上所有點的投影集合。可以看做是直線上所有點的投影集合。aa a b b b 將直線上兩點的將直線上兩點的同名投影同名投影用直線連接用直線連接 就得到直線的同名投影。就得到直線的同名投影。2、直線的投影特性、直線的投影特性 B BA Aab直線垂直于投影面直線垂直于投影面 投影重合為

15、一點投影重合為一點 積積 聚聚 性性直線平行于投影面直線平行于投影面 投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=ABAB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面 投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm 從幾何角度看，直線的投影：是過直從幾何角度看，直線的投影：是過直線上各點向投影面作投射線，其諸投射線線上各點向投影面作投射線，其諸投射線所形成的平面與投影面的交線。所形成的平面與投影面的交線。27詳細課資2.2.12.2.1 直線及直線上點的投影特性直線及直線上點的投影特性 3 3、直線上點的投影特性、直線上點的投影特性cacX XabcY Y

16、Y YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W （1）若點在直線上若點在直線上,則點的投影必在直線的則點的投影必在直線的同同面面投投影影上。上。（2）直線上的點分割直線段之比，等于投影后分）直線上的點分割直線段之比，等于投影后分割直線段之比。割直線段之比。即：即：AC:CB=ac:cb=a c:c b=a c:c b 定比定理定比定理28詳細課資【例例2.4】已知線段已知線段ABAB的投影圖，作出分線段的投影圖，作出分線段ABAB為為AC:CB=1:4AC:CB=1:4的點的兩面投影。的點的兩面投影。ccx xo oa ab ba ab bB B。c c。29詳細課資2.2

17、.2 2.2.2 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性直線按與投影面相對位置分為三類直線按與投影面相對位置分為三類：投影面平行線投影面平行線 只平行于一個投影面只平行于一個投影面投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側平線（平行于面）側平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊統(tǒng)稱特殊位置位置直線直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面30詳細課資2.2.2 2.2.2 各

18、種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性1 1、投影面的平行線、投影面的平行線投影特性投影特性：X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平線水平線實長實長（1 1）在它所平行投影面上的投）在它所平行投影面上的投影反映真長，它與相應投影軸影反映真長，它與相應投影軸的夾角，分別反映與相應的投的夾角，分別反映與相應的投影面的夾角。影面的夾角。（2 2）另兩個投影面上的投影）另兩個投影面上的投影 平平行于行于相應相應的投影軸，且小于真長的投影軸，且小于真長。V VH HabAaaBbbW W直線與投影面夾角的表示法直線與投影面夾角的表示法：與與HH面的夾角面的夾角:與與V V面的夾角

19、面的夾角:與與WW面的夾角面的夾角:31詳細課資W WH HV VO OX XZ ZY Y1 1、投影面平行線、投影面平行線正平線正平線Xabab baOZYHYW 投影特性：投影特性：1 1 a a b b=ABAB。反映反映、角的真實大小角的真實大小 2 2ab ab 平行于平行于 OX OX;a a b b 平行于平行于 OZOZ。aababbAB32詳細課資1 1、投影面平行線投影面平行線側平線側平線aa b a bbABW WH HV VO OX XZ ZY Y投影特性：投影特性：1 1 a a b b =AB;AB;反映反映 、角的真實大小角的真實大小 2 2a a b b 平行于

20、平行于 OZOZ;abab平行于平行于 OYOYH H。aa b a bbABXZa b bbaOYHYWa33詳細課資練習練習 判斷下列直線是什么位置的直線？判斷下列直線是什么位置的直線？側平線側平線正平線正平線實長實長 實長實長 b a aba b b aa b ba 34詳細課資2、投影面垂直線、投影面垂直線 鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側垂線側垂線（2 2）另外兩個投影，平行于相應投影軸）另外兩個投影，平行于相應投影軸,且反映真長。且反映真長。（1 1）在其垂直的投影面）在其垂直的投影面 上積聚成一點上積聚成一點 。投影特性投影特性:a b a(b)a b c(d)cdd c e f ef

21、e(f)注：注：“相應相應”可理解為：是指與該垂線平行的投影軸或坐標軸可理解為：是指與該垂線平行的投影軸或坐標軸。35詳細課資3、一般位置直線（投影面傾斜線）、一般位置直線（投影面傾斜線）Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 1 1、三個投影都傾斜于投影軸；、三個投影都傾斜于投影軸；投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 2 2、三個投影的長度都小于真長；、三個投影的長度都小于真長；3 3、三個投影與投影軸的夾角都不反映直線與投影、三個投影與投影軸的夾角都不反映直線與投影 面傾角。面傾角。36詳細課資2.2.3 2.2.3 兩直線的相對位置兩直線的相對位置1、平行兩直線

22、投影特性 空間兩直線的相對位置分為：空間兩直線的相對位置分為：平行平行、相交相交、交叉（異面）交叉（異面）?？臻g兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各三對三對同同面面投投影影必相互平行，反之亦然。必相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX X37詳細課資2.2.3 2.2.3 兩直線的相對位置兩直線的相對位置2 2、相交兩直線投影特性、相交兩直線投影特性 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其三對同面投則其三對同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性的投影特性。交點是兩直交點是兩直線的共有點線的共有點

23、ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk 38詳細課資2.2.3 2.2.3 兩直線的相對位置兩直線的相對位置accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1 交叉直線既不符合平行兩直線投影特性，又交叉直線既不符合平行兩直線投影特性，又不符合相交兩直線投影特性。不符合相交兩直線投影特性?！敖稽c交點”是兩直線上的一是兩直線上的一 對對重影點的投影重影點的投影。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3(4)3 34 4 3 3、交叉兩直線投影特性、交叉兩直線投影特性39詳細課資

24、【例例2.4】判斷兩側平線的相對位置。判斷兩側平線的相對位置。40詳細課資2.2.4 2.2.4 直角定理直角定理 空間兩直線成直角空間兩直線成直角(相交或交叉相交或交叉)，若兩邊都與某一投，若兩邊都與某一投影面傾斜影面傾斜,則在該投影面上的投影不是直角。如若是一邊平則在該投影面上的投影不是直角。如若是一邊平行于某一投影面的直角，則在該投影面上的投影仍是直角。行于某一投影面的直角，則在該投影面上的投影仍是直角。此投影特性稱為直角投影定理。此投影特性稱為直角投影定理。需要說明的是：需要說明的是：1 1）空間直線為交叉垂直時，直角投影定理仍然成立。）空間直線為交叉垂直時，直角投影定理仍然成立。2

25、2）當直角的另一邊也平行于該投影面時）當直角的另一邊也平行于該投影面時,在該投影面上在該投影面上的投影也是直角；當直角的另一邊垂直于該投影面時的投影也是直角；當直角的另一邊垂直于該投影面時,在在該投影面上的投影成為一直線。是其兩個特例。該投影面上的投影成為一直線。是其兩個特例。如圖如圖3-23所示。所示。已知已知ABBC，ABH面，面，BC傾斜于傾斜于H面。面。AB H面面，BbH面，面，ABBb，又，又ABBC，AB 垂直于垂直于BC和和Bb所決定所決定的平面的平面BCcb。又。又abAB，ab 平面平面BCcb，則有，則有abbc，即，即abc為直角。為直角。41詳細課資2.2.4 2.2

26、.4 直角定理直角定理 利用直角投影定理可以解決許多有關垂直、求距離的利用直角投影定理可以解決許多有關垂直、求距離的作圖問題。作圖問題。【例例2.5】如圖如圖2.22(a)2.22(a)，求點，求點K K到正平線到正平線ABAB的距離的距離 KCKC的投影。的投影。作圖作圖:1 1）如圖如圖2.22(b)2.22(b)，由由kk作作kckcabab，與與abab相交相交得得C C點正面點正面投影投影cc。2 2）C C點在點在ABAB上，依據(jù)點的投影規(guī)律求得上，依據(jù)點的投影規(guī)律求得C C點水平面投影點水平面投影c c；連接；連接kckc、kckc即為即為KCKC的兩面投影。的兩面投影。42詳細

27、課資2.2.5 用直角三角形法求直線實長及其對投影面的傾角 特殊位置直線在三面投影中能直接反映其實長及對投影特殊位置直線在三面投影中能直接反映其實長及對投影面的傾角面的傾角,而一般位置直線則不能直接反映。但可用直角三角而一般位置直線則不能直接反映。但可用直角三角形法求作一般位置直線的實長和傾角。形法求作一般位置直線的實長和傾角。如圖如圖2.23(a)所示，已知一般位置直線所示，已知一般位置直線AB的兩面投的兩面投影，確定影，確定AB的實長和傾角的實長和傾角，其作圖過程其作圖過程如圖如圖2.23(b)所示：所示：作圖作圖:1 1）在正面投影中，由）在正面投影中，由bb作水平線作水平線,作出直線作

28、出直線ABAB兩端點與兩端點與H H面的距離面的距離差差Z ZA A-Z-ZB B。2 2）以）以abab為一直角邊，由為一直角邊，由a a作作abab的垂線，在此垂線上量取的垂線，在此垂線上量取amam=Z ZA A-Z-ZB B。3)3)連連b b和和mm，bmbm即為直線即為直線ABAB的實長，的實長，abmabm即為即為ABAB的真實傾角的真實傾角。43詳細課資2.2.5 用直角三角形法求直線實長及其對投影面的傾角 因此，用直角三角形法求直線實長與傾角的方法是：以因此，用直角三角形法求直線實長與傾角的方法是：以直線在某一投影面上的投影為底邊直線在某一投影面上的投影為底邊,以直線的兩端點

29、與這個投以直線的兩端點與這個投影面的距離差為高影面的距離差為高,形成一個直角三角形。其斜邊是直線的實形成一個直角三角形。其斜邊是直線的實長長,斜邊與底邊的夾角就是該直線對這個投影面的傾角。斜邊與底邊的夾角就是該直線對這個投影面的傾角。44詳細課資2.2.5 用直角三角形法求直線實長及其對投影面的傾角【例例2.6】如圖如圖2.24(a)2.24(a)，求點求點K K到正平線到正平線ABAB的距離。的距離。作圖：作圖：1 1）作）作K K點到正平線點到正平線ABAB的距離的距離KCKC的兩面投影如的兩面投影如【例例2.5】，得得圖圖2.24(b)2.24(b)。2 2）如）如圖圖2.24(c)2.

30、24(c)在圖在圖2.24(b)2.24(b)基礎上，過基礎上，過cc作作kkkk垂線垂線cmcm交交kkkk于于mm。3 3）由）由c c作作kckc的垂線，并在其上截取的垂線，并在其上截取cmcm0 0，使，使cmcm0 0=kmkm，連接，連接k k和和mm0 0，kmkm0 0即為點即為點K K到正平線到正平線ABAB的距離。的距離。45詳細課資2.3 2.3 平平 面面 的的 投投 影影2.3.1平面的投影表示法平面的投影表示法 2.3.2 各種位置的平面及其投影特性各種位置的平面及其投影特性 2.3.3 2.3.3 平面上的點和直線平面上的點和直線 46詳細課資2.3.1 平面的表

31、示方法平面的表示方法1、用幾何元素表示用幾何元素表示不在同一不在同一直線上的直線上的三個點三個點 直線及直線及線外一線外一點點abca b c dd 兩平行兩平行直線直線abca b c 兩相交兩相交直線直線平面平面圖形圖形c abca b caba b c baca b c 47詳細課資2.3.1 2.3.1 平面的表示方法平面的表示方法 2、用跡線表示、用跡線表示W(wǎng) WH HV VO OX XZ ZY Y P（1 1）跡線）跡線：平面與投影面的交線平面與投影面的交線。（3 3）跡線平面：）跡線平面：用跡線表示的平面稱為跡線平面。用跡線表示的平面稱為跡線平面。（2 2）跡線分為：）跡線分為：

32、正面跡線正面跡線P PV V與與V V面交線面交線水平跡線水平跡線P PHH與與HH面交線面交線 側面跡線側面跡線P PWW與與WW面交線面交線OXZYWYHPVPWPH（4 4）一般位置的平面跡線的投影特性）一般位置的平面跡線的投影特性：1 1）在三個投影面上都有跡線，每條）在三個投影面上都有跡線，每條跡線都沒有積聚性，都與投影軸傾斜。跡線都沒有積聚性，都與投影軸傾斜。2 2）每兩條跡線分別相交于相應）每兩條跡線分別相交于相應的投影軸上的同一點，由其中的的投影軸上的同一點，由其中的任意兩條跡線即可表示這個平面。任意兩條跡線即可表示這個平面。PVPWPH48詳細課資2 2、用跡線表示、用跡線表

33、示（5）跡線表示平面的優(yōu)缺點跡線表示平面的優(yōu)缺點：1）優(yōu)點：用跡線表示平面容）優(yōu)點：用跡線表示平面容 易想象空間位置。有利于易想象空間位置。有利于 研究問題。研究問題。2）缺點）缺點:有時也不方便。有時也不方便。OXZYWYHPVPWPHW WH HV VO OX XZ ZY Y PPVPWPH49詳細課資2.3.2 2.3.2 各種位置的平面及其投影特性各種位置的平面及其投影特性 平面對于投影面的位置可分為三類平面對于投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面只垂直于一個投影面只垂直于一個投影面平行于一個投影面的

34、平面平行于一個投影面的平面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面 側垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側平面?zhèn)绕矫?水平面水平面50詳細課資1、投影面垂直面、投影面垂直面（1）鉛垂面）鉛垂面垂直面的投影特性是：垂直面的投影特性是：（1 1）在所垂直的投影面上的投影，積聚成直線；該投影與）在所垂直的投影面上的投影，積聚成直線；該投影與投影軸的夾角，分別反映平面與相應投影面的夾角。投影軸的夾角，分別反映平面與相應投影面的夾角。（2）在另兩投影面上的投影具有類似性。）在另兩投影面上的投影具有類似性。pppW WH HV VO OX XZ ZY Y51詳細課資1 1、投影面垂直面、投

35、影面垂直面（2 2）正垂面的投影）正垂面的投影qqqW WH HV VO OX XZ ZY Yqqq52詳細課資1 1、投影面垂直面、投影面垂直面（3）側垂面）側垂面R的投影的投影rrrW WH HV VO OX XZ ZY Yrrq53詳細課資2 2、投影面平行面、投影面平行面（1）水平面qqqqq qqq平行面投影特性平行面投影特性（1）在它所平行的投影面上投影反映實形。）在它所平行的投影面上投影反映實形。（2）其另外兩個投影積聚成直線，且平行于相應的投影軸。）其另外兩個投影積聚成直線，且平行于相應的投影軸。54詳細課資2 2、投影面平行面、投影面平行面（2）正平面55詳細課資W WH H

36、V VO OX XZ ZY Y2、投影面平行面（3）側平面）側平面的投影的投影rrrrrr56詳細課資3 3、一般位置的平面、一般位置的平面投影特性：三個面都是平面圖形，且面積縮小三個面都是平面圖形，且面積縮小 YW c c OaYH b ab a b cW WH HV VO OX XZ ZY Y a cba c b b a cABC57詳細課資2.3.3 2.3.3 平面上的點和直線平面上的點和直線1 1、點在平面上的幾何條件、點在平面上的幾何條件 ABCDEabcabcddee點在平面上的幾何條件是：該點在這個平面內(nèi)的某一條直線上點在平面上的幾何條件是：該點在這個平面內(nèi)的某一條直線上。58

37、詳細課資2.3.3 2.3.3 平面上的點和直線平面上的點和直線2 2、直線在平面上的幾何條件、直線在平面上的幾何條件M MN NA AB Bn nbbacacmmnn（1）直線通過這個平面上的兩個點；）直線通過這個平面上的兩個點；（2）或者）或者直線直線通過這個通過這個平面上的一平面上的一個個點點，且平行于該平面上的另一直線，則此直且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。線在該平面內(nèi)。ad cnnbdacb59詳細課資【例例2.7】如圖如圖2.31（a）正方形）正方形ABCD處于正垂面，已知其處于正垂面，已知其左下邊左下邊AB的兩面投影，的兩面投影，=30，補全其兩面投影。，補全其兩

38、面投影。1)1)作作正方形正方形ABCDABCD的正面投影：的正面投影：如圖如圖2.312.31（b b），過），過ABAB邊的邊的正面投影正面投影a(b)a(b)作與作與OXOX軸成軸成3030角的射線，與以角的射線，與以a(b)a(b)為圓心以為圓心以a ab b長為半徑的圓弧相交于一點，（長為半徑的圓弧相交于一點，（正方形正方形ABCDABCD處處于正垂面位置，且于正垂面位置，且=3030這樣的正垂面有兩個）這樣的正垂面有兩個）此點即是此點即是CDCD邊的正面投影邊的正面投影c(d)c(d)。60詳細課資【例例2.7】如圖如圖2.31（a）正方形）正方形ABCD處于正垂面，已知其處于正垂

39、面，已知其左下邊左下邊AB的兩面投影，的兩面投影，=30，補全其兩面投影。，補全其兩面投影。2 2）作正）作正方形方形ABCDABCD的水平投影：分別過的水平投影：分別過a a、b b作作OXOX軸的平行線，軸的平行線，與過點與過點c c、dd作作OXOX軸的垂直線分別交于軸的垂直線分別交于c c、d d。連接。連接acac、cdcd、dbdb得正方形得正方形ABCDABCD水平投影。水平投影。3 3）最后，整理作圖線，得正方形）最后，整理作圖線，得正方形ABCDABCD的兩面投影的兩面投影如圖如圖2.312.31（c c）61詳細課資e e(1)abca b k c k 【例例2.8】如圖如

40、圖2.32（a）判斷點）判斷點K、直線、直線AM是否是否 在在ABC上。上。（1 1）判斷點）判斷點K K是否在是否在ABCABC上。上。作圖作圖：如圖：如圖2.322.32（b b）1)1)假設假設K K點在點在ABCABC上，作上，作AKAK的正的正面投影，即連接面投影，即連接akak,并延長之與并延長之與bcbc交于交于ee。2)2)由由aeae作出其水平投影作出其水平投影aeae。由于點由于點K K的水平投影的水平投影k k在在aeae上，說明上，說明點點K K在在ABCABC的直線的直線AEAE上，即上，即K K點點在在ABCABC上。上。62詳細課資【例例2.8】如圖如圖2.32（

41、a）判斷點）判斷點K、直線、直線AM是否是否 在在ABC上。上。hh(2)abca b c（2 2）判斷直線）判斷直線AMAM是否在是否在ABCABC上。上。分析：分析：根據(jù)直線在平面上的幾何條件，直根據(jù)直線在平面上的幾何條件，直線在平面上，直線通過這個平面上線在平面上，直線通過這個平面上的兩個點。的兩個點。不難看出點不難看出點A A在在ABABC C面上，只要判斷面上，只要判斷MM點是否在點是否在ABCABC平面上就可判斷出平面上就可判斷出AMAM是否在是否在ABCABC面上。于是問題轉化為第一問。面上。于是問題轉化為第一問。作圖：作圖：如圖如圖2.322.32（b b）方法同第一問方法同第

42、一問,只是先作只是先作AMAM的水平的水平投影投影amam，由，由afaf作作aeae。判斷結果是：。判斷結果是：直線直線A AMM不不在在ABCABC上。上。63詳細課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。分析：分析：由圖由圖2.332.33（a a）可知，只要作出）可知，只要作出C C點的水平投影點的水平投影c c，然后順次，然后順次連接連接bcdbcd即可。由于即

43、可。由于ABCDABCD是平面四邊形，所以，是平面四邊形，所以，ACAC、BDBD必相交一點必相交一點K K，連接，連接AKAK，C C點在點在AKAK上，可求上，可求C C點的水平投影。點的水平投影。64詳細課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。作圖：作圖：1 1）如圖如圖2.332.33（b b）分別連接分別連接acac、bdbd其交點為其交點為平面四平面四邊形邊

44、形ABCDABCD對角線對角線ACAC、BDBD交點交點K K的的V V面投影面投影 kk，2 2）連接）連接bdbd,過過kk作作OXOX軸垂線，與軸垂線，與bdbd相交，得相交，得ACAC和和BDBD的的交點交點K K的水平面投影的水平面投影 k k。65詳細課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。作圖：作圖：3 3）連接）連接akak,并延長，與過并延長，與過cc

45、作作OXOX軸垂線軸垂線相交，得相交，得C C點的水平點的水平面投影面投影 c c。4 4）順次連接）順次連接bcdbcd得平面四邊形得平面四邊形ABCDABCD水平投影水平投影abcdabcd。66詳細課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2)(2)在其上取一點在其上取一點MM分析：分析：如圖如圖2.332.33（c c），），MM在在HH面之上面之上15mm15

46、mm，它一定在平面，它一定在平面ABCDABCD內(nèi)距離水平面內(nèi)距離水平面15mm15mm的水平線的水平線EFEF上；上；MM在在V V面之前面之前30mm,30mm,所以，它也在平面所以，它也在平面ABCDABCD內(nèi)距離內(nèi)距離V V面面30mm30mm的正平線的正平線GHGH上，直線上，直線EFEF、GHGH的交點即是所要求的的交點即是所要求的MM點。點。67詳細課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點M，使使M在在H面之上面之上15m

47、m，在，在V面之前面之前30mm。(2)(2)在其上取一點在其上取一點MM作圖：作圖：1 1）作位于平面）作位于平面ABCDABCD內(nèi)距離水平面內(nèi)距離水平面15mm15mm的水平線的水平線EFEF的正面投的正面投影影efef和水平投影和水平投影efef.68詳細課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2)(2)在其上取一點在其上取一點MM作圖：作圖：2 2）作位于平面

48、）作位于平面ABCDABCD內(nèi)距離正面內(nèi)距離正面30mm30mm的正平線的正平線GHGH的水平投影的水平投影g gh h和正面投影和正面投影g ghh.69詳細課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點邊的水平投影，補全其水平投影；并在其上取一點M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2)(2)在其上取一點在其上取一點MM作圖：作圖：3)3)ef ef和和g ghh交點交點mm，efef和和g gh h的交點的交點mm，分別為，分別為所要求的所要求的M

49、M點的正面投影和水平投影。點的正面投影和水平投影。70詳細課資2.4 2.4 直線與平面及兩平面之間的相對位置直線與平面及兩平面之間的相對位置2.4.l 2.4.l 平行問題平行問題 2.4.2 2.4.2 相交問題相交問題 2.4.3 2.4.3 垂直問題垂直問題 71詳細課資2.4.l 2.4.l 平行問題平行問題 1.1.直線與平面平行直線與平面平行 當直線與垂直于投當直線與垂直于投影面的平面平行時，直影面的平面平行時，直線的投影平行于平面的線的投影平行于平面的有積聚性的同面投影，有積聚性的同面投影，或者，直線、平面在同或者，直線、平面在同一投影面上的投影都有一投影面上的投影都有積聚性。

50、積聚性。對于一般位置的直對于一般位置的直線，如平面外的一條直線，如平面外的一條直線與平面內(nèi)的某直線平線與平面內(nèi)的某直線平行，則該直線與平面平行，則該直線與平面平行。行。72詳細課資2.4.l 2.4.l 平行問題平行問題 2.2.平面與平面平行平面與平面平行【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點一點K的兩面投影，的兩面投影，（1）過）過K點作正平線平行于點作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過）過K點作一平面平行于點作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。由初等幾何可知，若一平面內(nèi)的兩相交直線平行于由初等幾何可知，

51、若一平面內(nèi)的兩相交直線平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則兩平面相互平行。另一平面內(nèi)的兩相交直線，則兩平面相互平行。73詳細課資2.4.l 2.4.l 平行問題平行問題【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點一點K的兩面投影，的兩面投影，（1）過）過K點作正平線平行于點作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過）過K點作一平面平行于點作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（1 1）過）過K K點作正平線平行于點作正平線平行于ABCABC所確定平面所確定平面分析：分析：當直線平行于某平面時，該直線必平行于該平面內(nèi)的一條直當直

52、線平行于某平面時，該直線必平行于該平面內(nèi)的一條直線，因此，在線，因此，在ABCABC內(nèi)作正平線內(nèi)作正平線BDBD，然后過，然后過K K點作點作BDBD的平的平行線行線KEKE，KEKE即為所求。即為所求。74詳細課資2.4.l 2.4.l 平行問題平行問題【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點一點K的兩面投影，的兩面投影，（1）過）過K點作正平線平行于點作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過）過K點作一平面平行于點作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（1 1）過）過K K點作正平線平行于點作正平線平行于ABCA

53、BC所確定平面所確定平面作圖：作圖：1 1）如圖）如圖2.362.36（b b）所示，過）所示，過b b作作bdbd平行于平行于OXOX軸交軸交acac于于d d，按投影特性作，按投影特性作bd bd 的正面投影的正面投影bdbd，得，得ABCABC內(nèi)正平線內(nèi)正平線BDBD的兩面投影。的兩面投影。2）作直線）作直線kebd，kebd，得直線得直線KE的兩面投影。的兩面投影。75詳細課資2.4.l 2.4.l 平行問題平行問題【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點一點K的兩面投影，的兩面投影，（1）過）過K點作正平線平行于點作正平線平

54、行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過）過K點作一平面平行于點作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（2 2）過）過K K點作一平面平行于點作一平面平行于ABCABC所確定平面所確定平面分析：分析：根據(jù)兩平面平行的幾何條件，可過根據(jù)兩平面平行的幾何條件，可過K點作兩條直線分別平行于點作兩條直線分別平行于ABC內(nèi)兩條內(nèi)兩條直線，此兩條直線所確定的平面即為所求的平直線，此兩條直線所確定的平面即為所求的平 面面 76詳細課資2.4.l 2.4.l 平行問題平行問題【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點一點K的兩面投影，的兩面投影

55、，（1）過）過K點作正平線平行于點作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過）過K點作一平面平行于點作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（2 2）過）過K K點作一平面平行于點作一平面平行于ABCABC所確定平面所確定平面作圖：作圖：如圖如圖2.36（c）所示，過）所示，過k分別作分別作kf bc，kgac，按投影特性由，按投影特性由kf、kg作出作出其正面投影其正面投影kfbc,kgac得過得過K點的直線點的直線KF、KG的兩面投影。的兩面投影。KF、KG所確定的平面即為所求。所確定的平面即為所求。77詳細課資2.4.l 2.4.l 平行問題平行問題【例例2.10】如圖如圖

56、2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點一點K的兩面投影，的兩面投影，（1）過）過K點作正平線平行于點作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過）過K點作一平面平行于點作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（2 2）過）過K K點作一平面平行于點作一平面平行于ABCABC所確定平面所確定平面作圖：作圖：如圖如圖2.36（c）所示，過）所示，過k分別作分別作kf bc，kgac，按投影特性由，按投影特性由kf、kg作出作出其正面投影其正面投影kfbc,kgac得過得過K點的直線點的直線KF、KG的兩面投影。的兩面投影。KF、KG所確定的平面即為

57、所求。所確定的平面即為所求。78詳細課資2.4.2 2.4.2 相交問題相交問題 1.1.直線與平面相交直線與平面相交 在直線與平面、平面與平面的相對位置中，凡不符合平行幾在直線與平面、平面與平面的相對位置中，凡不符合平行幾何條件的，則必然相交。以下討論直線或平面處于特殊位置，何條件的，則必然相交。以下討論直線或平面處于特殊位置，即直線或平面垂直于投影面情況下，此時，直線與平面、平面即直線或平面垂直于投影面情況下，此時，直線與平面、平面與平面相交所具有的投影特點。與平面相交所具有的投影特點。1 1）直線與垂直于投影面的平面相交）直線與垂直于投影面的平面相交79詳細課資2.4.2 2.4.2 相

58、交問題相交問題 1.1.直線與平面相交直線與平面相交80詳細課資2.4.2 2.4.2 相交問題相交問題 1）平面與投影面垂直面相交）平面與投影面垂直面相交aa bd(e)ebdh(f)cfch1 1(2 2)平面平面DEFH是一鉛垂面，是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其它的水平投影有積聚性，其與與ac、bc的交點的交點m、n 即為即為兩個共有點的水平投影，故兩個共有點的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投影的水平投影。求交線求交線 判別可見性判別可見性 點點在在MC上，點上，點在在FH上，上，點點在前，點在前，點在后，故在后，故mc 可見?？梢姟Ｗ鲌D作圖2 21 1 mmnn2.2

59、.平面與平面相交平面與平面相交81詳細課資2.4.2 2.4.2 相交問題相交問題 2.2.平面與平面相交平面與平面相交2 2）兩個與投影面垂直的平面相交）兩個與投影面垂直的平面相交可通過正面投影可通過正面投影直觀地進行判別。直觀地進行判別。abcdefc f d b e a m(n)空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC與與DEFDEF都為都為正垂正垂面面，它們的，它們的交線為一條正垂線交線為一條正垂線，兩平面兩平面正面投影的交點即為交正面投影的交點即為交線的正面投影，線的正面投影，交線的水平投交線的水平投影垂直于影垂直于OXOX軸軸。求交線求交線 判別可見性判別可見性作圖作圖

60、從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側，平面在交線左側，平面ABCABC在上，在上，其水平投影可見。其水平投影可見。nm能能!如何判別？如何判別？例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線MN并判別可見性。并判別可見性。能否不用重能否不用重影點判別？影點判別？82詳細課資2.4.3 2.4.3 垂直問題垂直問題 垂直是相交的特殊情況，垂直是相交的特殊情況，本節(jié)只討論直線或平面垂直于投本節(jié)只討論直線或平面垂直于投影面時，直線和平面及兩平面之間的垂直問題。影面時，直線和平面及兩平面之間的垂直問題。1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直 1)1)當直線與垂直于投影面的平面相垂直時，直線一定平行當

61、直線與垂直于投影面的平面相垂直時，直線一定平行與該平面所垂直的投影面，而且直線的投影垂直于平面的有與該平面所垂直的投影面，而且直線的投影垂直于平面的有積聚性的同面投影。積聚性的同面投影。如圖如圖2.412.41所示，直線所示，直線MNMN垂直于鉛垂面垂直于鉛垂面ABCABC，則，則MNMN一一定是水平線，定是水平線，且且mnmnabcabc。83詳細課資2.4.3 2.4.3 垂直問題垂直問題 垂直是相交的特殊情況，垂直是相交的特殊情況，本節(jié)只討論直線或平面垂直于投本節(jié)只討論直線或平面垂直于投影面時，直線和平面及兩平面之間的垂直問題。影面時，直線和平面及兩平面之間的垂直問題。1.1.直線與平面

62、垂直直線與平面垂直 2)2)當平面與投影面垂直線相垂直時，平面一定平行于該直當平面與投影面垂直線相垂直時，平面一定平行于該直線所垂直的投影面，且在其它投影面的投影垂直于該直線的線所垂直的投影面，且在其它投影面的投影垂直于該直線的投影。如圖投影。如圖2.422.42所示所示，平面平面ABCABC垂直于鉛垂線垂直于鉛垂線MNMN，所以，所以，平面平面ABCABC一定平行于水平面，且一定平行于水平面，且mmn nabcabc。84詳細課資2.4.3 2.4.3 垂直問題垂直問題 2.2.平面與平面垂直平面與平面垂直 若空間兩平面垂直相交，且兩平面都垂直與一個投影面時，若空間兩平面垂直相交，且兩平面都

63、垂直與一個投影面時，兩平面的積聚性投影一定互相垂直，且交線為該投影面的垂兩平面的積聚性投影一定互相垂直，且交線為該投影面的垂直線。直線。如圖如圖2.432.43所示，鉛垂面所示，鉛垂面ABCDABCD和鉛垂面和鉛垂面CDEFCDEF互相垂互相垂直，因此，它們的水平面有積聚性投影互相垂直，其交線直，因此，它們的水平面有積聚性投影互相垂直，其交線CDCD為鉛垂線。為鉛垂線。85詳細課資2.5 2.5 換面換面 法法 2.5.1 換面法的基本概念 2.5.2 點的投影換面規(guī)律 2.5.3 換面法的基本作圖2.5.4 換面法的解題舉例86詳細課資2.5.1 換面法的基本概念 當幾何元素在兩個互相垂直的

64、投影面體系中對某一投影面處于特殊位當幾何元素在兩個互相垂直的投影面體系中對某一投影面處于特殊位置時置時,可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問題。但是可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問題。但是若幾何元素在兩投影面體系中不處于這樣的特殊位置若幾何元素在兩投影面體系中不處于這樣的特殊位置,則需變換投影面。則需變換投影面。像上述這樣幾何元素在兩投影面體系中不處于特殊位置時像上述這樣幾何元素在兩投影面體系中不處于特殊位置時,可以保留一個投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更可以保留一個投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更換另一投影面換另一投影面,組成一個新的兩投影

65、面體系，使幾何元素在新投組成一個新的兩投影面體系，使幾何元素在新投影面體系中對新投影面處于便利解題的特殊位置，在新投影面影面體系中對新投影面處于便利解題的特殊位置，在新投影面體系中作圖求解，這種方法稱為變換投影面法，簡稱換面法。體系中作圖求解，這種方法稱為變換投影面法，簡稱換面法。87詳細課資2.5.1 換面法的基本概念 當幾何元素在兩個互相垂直的投影面體系中對某一投影面處于特殊位當幾何元素在兩個互相垂直的投影面體系中對某一投影面處于特殊位置時置時,可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問題。但是可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問題。但是若幾何元素在兩投影面體系中不處

66、于這樣的特殊位置若幾何元素在兩投影面體系中不處于這樣的特殊位置,則需變換投影面。則需變換投影面。應用換面法解題時應遵循下列兩條原則：應用換面法解題時應遵循下列兩條原則：（1 1）新投影面應選擇在新投影面體系中使幾何元素處于便）新投影面應選擇在新投影面體系中使幾何元素處于便利解題的位置。利解題的位置。（2 2）新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個投影面）新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個投影面,并與它并與它組成新投影面體系。必要時可連續(xù)交替變換。組成新投影面體系。必要時可連續(xù)交替變換。88詳細課資2.5.2 點的投影換面規(guī)律點的投影換面規(guī)律 點是最基本的幾何元素。要學會運用換面法解決問題，首先應該掌握點是最基本的幾何元素。要學會運用換面法解決問題，首先應該掌握點的投影變換規(guī)律。點的投影變換規(guī)律。1.點的一次換面點的一次換面VHXX1a1ax1V1V1HX1a1aaXVHa)立體圖立體圖 b)投影圖投影圖圖圖2.45 點的一次投影變換（變換點的一次投影變換（變換V 面）面）Aaxaa89詳細課資同樣也可同樣也可 變換變換H面面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1 用正垂面用正