機(jī)械制圖10【高教課堂】

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1、第第 2 2 章章 點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影2.1 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影2.2 直直 線線 的的 投投 影影 2.3 平平 面面 的的 投投 影影 2.4 直線與平面及兩平面之間的相對(duì)位置直線與平面及兩平面之間的相對(duì)位置 2.5 換面法換面法1詳細(xì)課資2.1 2.1 點(diǎn)點(diǎn) 的的 投投 影影2.1.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影點(diǎn)在兩投影面體系中的投影 2.1.2 點(diǎn)在點(diǎn)在三面投影體系中的投影三面投影體系中的投影 2.1.3 特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影 2.1.4 兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn) 2詳細(xì)課資2.1.1 2.1.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影點(diǎn)在兩投影面

2、體系中的投影1 1、兩投影面體系的組成、兩投影面體系的組成H HV V(1)兩個(gè)互相垂直的兩個(gè)互相垂直的投影面投影面正正立立投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正投影投影面面 或或V V面）面）水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水平面或水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水平面或H H面）面）(2)投影軸投影軸O OX XOXOX軸軸:V:V面與面與H H面的交線面的交線兩兩個(gè)投影面?zhèn)€投影面互相直互相直 V面和面和H面把空間分成四個(gè)部分，依次用面把空間分成四個(gè)部分，依次用I、II、III、IV表示表示,，分別稱(chēng)它們?yōu)榈谝?、二、三、四分角。，分別稱(chēng)它們?yōu)榈谝弧⒍?、三、四分角?3)分角分角3詳細(xì)課資2.1.1 2.1.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的

3、投影點(diǎn)在兩投影面體系中的投影2 2、點(diǎn)的兩面投影圖、點(diǎn)的兩面投影圖 H HV VO OX Xa 點(diǎn)點(diǎn)A A的正面投影的正面投影a 點(diǎn)點(diǎn)A A的水平投影的水平投影注意：注意：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。小寫(xiě)字母表示。aa A A立體圖立體圖ax4詳細(xì)課資投影面展開(kāi)投影面展開(kāi)X XO OV VH HA Aaa xa向下翻向下翻不動(dòng)不動(dòng)H HaV Va xaX XO O2 2、點(diǎn)的兩面投影圖、點(diǎn)的兩面投影圖 3 3、點(diǎn)的兩面投影特性、點(diǎn)的兩面投影特性 （1 1）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。即即a a aOX.aOX.（2 2

4、）點(diǎn)的投影與投影軸的距離）點(diǎn)的投影與投影軸的距離,等等 于該點(diǎn)與相鄰?fù)队懊娴木嚯x。于該點(diǎn)與相鄰?fù)队懊娴木嚯x。即即a ax xa=aA aa=aA ax xa=aAa=aAaX XO Oa 2.1.1 2.1.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影點(diǎn)在兩投影面體系中的投影5詳細(xì)課資2.1.2 2.1.2 點(diǎn)在三面投影體系中的投影點(diǎn)在三面投影體系中的投影1、三投影面體系的組成、三投影面體系的組成W W投影面投影面正立投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正投影面或正立投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正投影面或V V面）面）水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水平面或水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水平面或HH面）面）側(cè)立投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)面或側(cè)立投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)面或WW面）面）投影軸投影軸H

5、HV VO OX XZ ZOXOX軸軸 V V面與面與H H面的交線面的交線OZOZ軸軸 V V面與面與WW面的交線面的交線OYOY軸軸 HH面與面與WW面的交線面的交線三個(gè)投影面三個(gè)投影面互相垂直互相垂直Y Y分角分角HH、V V、WW把空間分為把空間分為8 8個(gè)區(qū)域，分別稱(chēng)為個(gè)區(qū)域，分別稱(chēng)為8 8個(gè)分角。個(gè)分角。6詳細(xì)課資2 2、點(diǎn)的三面投影圖、點(diǎn)的三面投影圖W WH HV VO OX XZ ZY Ya 點(diǎn)點(diǎn)A A的正面投影的正面投影a 點(diǎn)點(diǎn)A A的水平投影的水平投影a 點(diǎn)點(diǎn)A A的側(cè)面投影的側(cè)面投影注意：注意：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。

6、小寫(xiě)字母表示。a aa A A立體圖立體圖axazaY7詳細(xì)課資2 2、點(diǎn)的三面投影圖、點(diǎn)的三面投影圖X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不動(dòng)不動(dòng)投影面展開(kāi)投影面展開(kāi)V VW WH H aYHaxazZ Zaa a YWaX XY YH H Y YW WO O 8詳細(xì)課資2 2、點(diǎn)的三面投影、點(diǎn)的三面投影X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayW WV VH HaaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH Y YW WO O aZ Zaa X XY YH H Y YW WO O 投影面展開(kāi)投影面展開(kāi)投

7、影圖投影圖9詳細(xì)課資2 2、點(diǎn)的三面投影圖、點(diǎn)的三面投影圖X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZaaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH H Y YW WO O (xA,yA,zA)xAyAzAyA3 3、點(diǎn)的投影規(guī)律、點(diǎn)的投影規(guī)律 a aOXOX軸軸yA(oayH=oayw)=aax=z A(oaz)=a ax=xA(oa x)=aayH=a a OZOZ軸軸=A Aa（A A到到V V面的距離）面的距離）a az=A Aa（A A到到W W面的距離面的距離）a ayw=A Aa（A A到到H H面的距離面的距離）a azz10詳細(xì)課資3、點(diǎn)的

8、投影規(guī)律、點(diǎn)的投影規(guī)律X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZaaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH H Y YW WO O (xA,yA,zA)xAyAzAyA（1）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。(注意注意aa“)（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于點(diǎn)的坐標(biāo)，）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是該點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的相鄰?fù)队懊娴木嚯x。也就是該點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的相鄰?fù)队懊娴木嚯x。11詳細(xì)課資【例例2.1】已知點(diǎn)的正面投影和水平投影已知點(diǎn)的正面投影和水平投影,試求其側(cè)面投影試求其側(cè)面投影【例例2.2】已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A（1010、8

9、8、1212），求點(diǎn)），求點(diǎn)A A的三面投影。的三面投影。12詳細(xì)課資Z ZX XO Oaaaaa aY YHHY YWW練習(xí)練習(xí)1 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影的水平投影13詳細(xì)課資 2.1.3 2.1.3 特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影 1.1.投影面上的點(diǎn)的投影投影面上的點(diǎn)的投影 2.2.投影軸上的點(diǎn)的投影投影軸上的點(diǎn)的投影 14詳細(xì)課資練習(xí)2：已知點(diǎn)的坐標(biāo)求三面投影15詳細(xì)課資練習(xí)2：題解c16詳細(xì)課資 2.1.4 2.1.4 兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn) 1.1.兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置（1）絕對(duì)座標(biāo)法）絕對(duì)座標(biāo)法：空間

10、點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的坐標(biāo)?？臻g點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）相對(duì)座標(biāo)法：）相對(duì)座標(biāo)法：兩點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)，即兩點(diǎn)坐標(biāo)差。兩點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)，即兩點(diǎn)坐標(biāo)差。XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zBXZYWYHOaa axAyAzA17詳細(xì)課資 2.1.3 2.1.3 特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影（1）絕對(duì)座標(biāo)法）絕對(duì)座標(biāo)法：空間點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的坐標(biāo)。空間點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）相對(duì)座標(biāo)法：）相對(duì)座標(biāo)法：兩點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)，即兩點(diǎn)坐標(biāo)差。兩點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)，即兩點(diǎn)坐標(biāo)差。XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中X 值大值大的點(diǎn)的點(diǎn) 在左在左兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中Y 值大值大的點(diǎn)

11、的點(diǎn) 在前在前 兩點(diǎn)中兩點(diǎn)中Z 值大值大的點(diǎn)的點(diǎn) 在上在上XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB18詳細(xì)課資 2.1.3 2.1.3 特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB需要注意的是：需要注意的是：XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB1 1）對(duì)水平投影而言，由）對(duì)水平投影而言，由oxox軸向下就代表向前；對(duì)側(cè)面軸向下就代表向前；對(duì)側(cè)面投影而言，由投影而言，由ozoz軸向右也代表向前。軸向右也代表向前。2 2）已知兩點(diǎn)的相對(duì)位置，只要知道其中一點(diǎn)的位置，）已知兩點(diǎn)的

12、相對(duì)位置，只要知道其中一點(diǎn)的位置，另一點(diǎn)的位置隨之就能確定。另一點(diǎn)的位置隨之就能確定。19詳細(xì)課資 2.1.4 2.1.4 兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn) 2.2.重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性 當(dāng)兩點(diǎn)的某兩個(gè)坐標(biāo)相同時(shí)，該兩點(diǎn)將處于同當(dāng)兩點(diǎn)的某兩個(gè)坐標(biāo)相同時(shí)，該兩點(diǎn)將處于同一投影線上，因而對(duì)某一投影面具有重合的投影，一投影線上，因而對(duì)某一投影面具有重合的投影，則這兩點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。則這兩點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判別方法：重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判別方法：對(duì)于對(duì)于V前遮后；對(duì)于前遮后；對(duì)于H上遮下上遮下,對(duì)于對(duì)于W左遮右。左遮右。20詳細(xì)課資aaaaa aX X

13、Z ZY YWWY YHHO Obbb bbb8 89 95 5練習(xí)練習(xí)3 3 已知已知A A點(diǎn)在點(diǎn)在B B點(diǎn)前方點(diǎn)前方5 5毫米，上方毫米，上方9 9毫米，右毫米，右方方8 8毫米，求毫米，求A A點(diǎn)的投影。點(diǎn)的投影。21詳細(xì)課資練習(xí)練習(xí)4 4：兩點(diǎn)的相對(duì)位置：兩點(diǎn)的相對(duì)位置22詳細(xì)課資練習(xí)練習(xí)4 4：題解：題解23詳細(xì)課資練習(xí)練習(xí)5 5：重影點(diǎn)及投影可見(jiàn)性：重影點(diǎn)及投影可見(jiàn)性24詳細(xì)課資練習(xí)練習(xí)5 5：題解：題解25詳細(xì)課資2.2 2.2 直直 線線 的的 投投 影影2.2.1 直線及直線上點(diǎn)的投影特性直線及直線上點(diǎn)的投影特性 2.2.2 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性2.2

14、.3 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置 2.2.4 直角投影定理直角投影定理2.2.5 2.2.5 用直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)及用直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)及 其對(duì)投影面的傾角其對(duì)投影面的傾角26詳細(xì)課資2.2.1 2.2.1 直線及直線上點(diǎn)的投影特性直線及直線上點(diǎn)的投影特性 1 1、直線的投影、直線的投影：可以看做是直線上所有點(diǎn)的投影集合?？梢钥醋鍪侵本€上所有點(diǎn)的投影集合。aa a b b b 將直線上兩點(diǎn)的將直線上兩點(diǎn)的同名投影同名投影用直線連接用直線連接 就得到直線的同名投影。就得到直線的同名投影。2、直線的投影特性、直線的投影特性 B BA Aab直線垂直于投影面直線垂直于投影面 投影重合為

15、一點(diǎn)投影重合為一點(diǎn) 積積 聚聚 性性直線平行于投影面直線平行于投影面 投影反映線段實(shí)長(zhǎng)投影反映線段實(shí)長(zhǎng) ab=ABAB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面 投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm 從幾何角度看，直線的投影：是過(guò)直從幾何角度看，直線的投影：是過(guò)直線上各點(diǎn)向投影面作投射線，其諸投射線線上各點(diǎn)向投影面作投射線，其諸投射線所形成的平面與投影面的交線。所形成的平面與投影面的交線。27詳細(xì)課資2.2.12.2.1 直線及直線上點(diǎn)的投影特性直線及直線上點(diǎn)的投影特性 3 3、直線上點(diǎn)的投影特性、直線上點(diǎn)的投影特性cacX XabcY Y

16、Y YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W （1）若點(diǎn)在直線上若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的則點(diǎn)的投影必在直線的同同面面投投影影上。上。（2）直線上的點(diǎn)分割直線段之比，等于投影后分）直線上的點(diǎn)分割直線段之比，等于投影后分割直線段之比。割直線段之比。即：即：AC:CB=ac:cb=a c:c b=a c:c b 定比定理定比定理28詳細(xì)課資【例例2.4】已知線段已知線段ABAB的投影圖，作出分線段的投影圖，作出分線段ABAB為為AC:CB=1:4AC:CB=1:4的點(diǎn)的兩面投影。的點(diǎn)的兩面投影。ccx xo oa ab ba ab bB B。c c。29詳細(xì)課資2.2

17、.2 2.2.2 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性直線按與投影面相對(duì)位置分為三類(lèi)直線按與投影面相對(duì)位置分為三類(lèi)：投影面平行線投影面平行線 只平行于一個(gè)投影面只平行于一個(gè)投影面投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱(chēng)特殊統(tǒng)稱(chēng)特殊位置位置直線直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面30詳細(xì)課資2.2.2 2.2.2 各

18、種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性1 1、投影面的平行線、投影面的平行線投影特性投影特性：X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平線水平線實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)（1 1）在它所平行投影面上的投）在它所平行投影面上的投影反映真長(zhǎng)，它與相應(yīng)投影軸影反映真長(zhǎng)，它與相應(yīng)投影軸的夾角，分別反映與相應(yīng)的投的夾角，分別反映與相應(yīng)的投影面的夾角。影面的夾角。（2 2）另兩個(gè)投影面上的投影）另兩個(gè)投影面上的投影 平平行于行于相應(yīng)相應(yīng)的投影軸，且小于真長(zhǎng)的投影軸，且小于真長(zhǎng)。V VH HabAaaBbbW W直線與投影面夾角的表示法直線與投影面夾角的表示法：與與HH面的夾角面的夾角:與與V V面的夾角

19、面的夾角:與與WW面的夾角面的夾角:31詳細(xì)課資W WH HV VO OX XZ ZY Y1 1、投影面平行線、投影面平行線正平線正平線Xabab baOZYHYW 投影特性：投影特性：1 1 a a b b=ABAB。反映反映、角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 2 2ab ab 平行于平行于 OX OX;a a b b 平行于平行于 OZOZ。aababbAB32詳細(xì)課資1 1、投影面平行線投影面平行線側(cè)平線側(cè)平線aa b a bbABW WH HV VO OX XZ ZY Y投影特性：投影特性：1 1 a a b b =AB;AB;反映反映 、角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 2 2a a b b 平行于

20、平行于 OZOZ;abab平行于平行于 OYOYH H。aa b a bbABXZa b bbaOYHYWa33詳細(xì)課資練習(xí)練習(xí) 判斷下列直線是什么位置的直線？判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng) 實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng) b a aba b b aa b ba 34詳細(xì)課資2、投影面垂直線、投影面垂直線 鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線（2 2）另外兩個(gè)投影，平行于相應(yīng)投影軸）另外兩個(gè)投影，平行于相應(yīng)投影軸,且反映真長(zhǎng)。且反映真長(zhǎng)。（1 1）在其垂直的投影面）在其垂直的投影面 上積聚成一點(diǎn)上積聚成一點(diǎn) 。投影特性投影特性:a b a(b)a b c(d)cdd c e f ef

21、e(f)注：注：“相應(yīng)相應(yīng)”可理解為：是指與該垂線平行的投影軸或坐標(biāo)軸可理解為：是指與該垂線平行的投影軸或坐標(biāo)軸。35詳細(xì)課資3、一般位置直線（投影面傾斜線）、一般位置直線（投影面傾斜線）Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 1 1、三個(gè)投影都傾斜于投影軸；、三個(gè)投影都傾斜于投影軸；投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 2 2、三個(gè)投影的長(zhǎng)度都小于真長(zhǎng)；、三個(gè)投影的長(zhǎng)度都小于真長(zhǎng)；3 3、三個(gè)投影與投影軸的夾角都不反映直線與投影、三個(gè)投影與投影軸的夾角都不反映直線與投影 面傾角。面傾角。36詳細(xì)課資2.2.3 2.2.3 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置1、平行兩直線

22、投影特性 空間兩直線的相對(duì)位置分為：空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行平行、相交相交、交叉（異面）交叉（異面）?？臻g兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各三對(duì)三對(duì)同同面面投投影影必相互平行，反之亦然。必相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX X37詳細(xì)課資2.2.3 2.2.3 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置2 2、相交兩直線投影特性、相交兩直線投影特性 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其三對(duì)同面投則其三對(duì)同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性的投影特性。交點(diǎn)是兩直交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)線的共有點(diǎn)

23、ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk 38詳細(xì)課資2.2.3 2.2.3 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1 交叉直線既不符合平行兩直線投影特性，又交叉直線既不符合平行兩直線投影特性，又不符合相交兩直線投影特性。不符合相交兩直線投影特性?！敖稽c(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上的一是兩直線上的一 對(duì)對(duì)重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3(4)3 34 4 3 3、交叉兩直線投影特性、交叉兩直線投影特性39詳細(xì)課資

24、【例例2.4】判斷兩側(cè)平線的相對(duì)位置。判斷兩側(cè)平線的相對(duì)位置。40詳細(xì)課資2.2.4 2.2.4 直角定理直角定理 空間兩直線成直角空間兩直線成直角(相交或交叉相交或交叉)，若兩邊都與某一投，若兩邊都與某一投影面傾斜影面傾斜,則在該投影面上的投影不是直角。如若是一邊平則在該投影面上的投影不是直角。如若是一邊平行于某一投影面的直角，則在該投影面上的投影仍是直角。行于某一投影面的直角，則在該投影面上的投影仍是直角。此投影特性稱(chēng)為直角投影定理。此投影特性稱(chēng)為直角投影定理。需要說(shuō)明的是：需要說(shuō)明的是：1 1）空間直線為交叉垂直時(shí)，直角投影定理仍然成立。）空間直線為交叉垂直時(shí)，直角投影定理仍然成立。2

25、2）當(dāng)直角的另一邊也平行于該投影面時(shí)）當(dāng)直角的另一邊也平行于該投影面時(shí),在該投影面上在該投影面上的投影也是直角；當(dāng)直角的另一邊垂直于該投影面時(shí)的投影也是直角；當(dāng)直角的另一邊垂直于該投影面時(shí),在在該投影面上的投影成為一直線。是其兩個(gè)特例。該投影面上的投影成為一直線。是其兩個(gè)特例。如圖如圖3-23所示。所示。已知已知ABBC，ABH面，面，BC傾斜于傾斜于H面。面。AB H面面，BbH面，面，ABBb，又，又ABBC，AB 垂直于垂直于BC和和Bb所決定所決定的平面的平面BCcb。又。又abAB，ab 平面平面BCcb，則有，則有abbc，即，即abc為直角。為直角。41詳細(xì)課資2.2.4 2.2

26、.4 直角定理直角定理 利用直角投影定理可以解決許多有關(guān)垂直、求距離的利用直角投影定理可以解決許多有關(guān)垂直、求距離的作圖問(wèn)題。作圖問(wèn)題?！纠?.5】如圖如圖2.22(a)2.22(a)，求點(diǎn)，求點(diǎn)K K到正平線到正平線ABAB的距離的距離 KCKC的投影。的投影。作圖作圖:1 1）如圖如圖2.22(b)2.22(b)，由由kk作作kckcabab，與與abab相交相交得得C C點(diǎn)正面點(diǎn)正面投影投影cc。2 2）C C點(diǎn)在點(diǎn)在ABAB上，依據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求得上，依據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求得C C點(diǎn)水平面投影點(diǎn)水平面投影c c；連接；連接kckc、kckc即為即為KCKC的兩面投影。的兩面投影。42詳細(xì)

27、課資2.2.5 用直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角 特殊位置直線在三面投影中能直接反映其實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影特殊位置直線在三面投影中能直接反映其實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角面的傾角,而一般位置直線則不能直接反映。但可用直角三角而一般位置直線則不能直接反映。但可用直角三角形法求作一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角。形法求作一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角。如圖如圖2.23(a)所示，已知一般位置直線所示，已知一般位置直線AB的兩面投的兩面投影，確定影，確定AB的實(shí)長(zhǎng)和傾角的實(shí)長(zhǎng)和傾角，其作圖過(guò)程其作圖過(guò)程如圖如圖2.23(b)所示：所示：作圖作圖:1 1）在正面投影中，由）在正面投影中，由bb作水平線作水平線,作出直線作

28、出直線ABAB兩端點(diǎn)與兩端點(diǎn)與H H面的距離面的距離差差Z ZA A-Z-ZB B。2 2）以）以abab為一直角邊，由為一直角邊，由a a作作abab的垂線，在此垂線上量取的垂線，在此垂線上量取amam=Z ZA A-Z-ZB B。3)3)連連b b和和mm，bmbm即為直線即為直線ABAB的實(shí)長(zhǎng)，的實(shí)長(zhǎng)，abmabm即為即為ABAB的真實(shí)傾角的真實(shí)傾角。43詳細(xì)課資2.2.5 用直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角 因此，用直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)與傾角的方法是：以因此，用直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)與傾角的方法是：以直線在某一投影面上的投影為底邊直線在某一投影面上的投影為底邊,以直線的兩端點(diǎn)

29、與這個(gè)投以直線的兩端點(diǎn)與這個(gè)投影面的距離差為高影面的距離差為高,形成一個(gè)直角三角形。其斜邊是直線的實(shí)形成一個(gè)直角三角形。其斜邊是直線的實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng),斜邊與底邊的夾角就是該直線對(duì)這個(gè)投影面的傾角。斜邊與底邊的夾角就是該直線對(duì)這個(gè)投影面的傾角。44詳細(xì)課資2.2.5 用直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角【例例2.6】如圖如圖2.24(a)2.24(a)，求點(diǎn)求點(diǎn)K K到正平線到正平線ABAB的距離。的距離。作圖：作圖：1 1）作）作K K點(diǎn)到正平線點(diǎn)到正平線ABAB的距離的距離KCKC的兩面投影如的兩面投影如【例例2.5】，得得圖圖2.24(b)2.24(b)。2 2）如）如圖圖2.24(c)2.

30、24(c)在圖在圖2.24(b)2.24(b)基礎(chǔ)上，過(guò)基礎(chǔ)上，過(guò)cc作作kkkk垂線垂線cmcm交交kkkk于于mm。3 3）由）由c c作作kckc的垂線，并在其上截取的垂線，并在其上截取cmcm0 0，使，使cmcm0 0=kmkm，連接，連接k k和和mm0 0，kmkm0 0即為點(diǎn)即為點(diǎn)K K到正平線到正平線ABAB的距離。的距離。45詳細(xì)課資2.3 2.3 平平 面面 的的 投投 影影2.3.1平面的投影表示法平面的投影表示法 2.3.2 各種位置的平面及其投影特性各種位置的平面及其投影特性 2.3.3 2.3.3 平面上的點(diǎn)和直線平面上的點(diǎn)和直線 46詳細(xì)課資2.3.1 平面的表

31、示方法平面的表示方法1、用幾何元素表示用幾何元素表示不在同一不在同一直線上的直線上的三個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn) 直線及直線及線外一線外一點(diǎn)點(diǎn)abca b c dd 兩平行兩平行直線直線abca b c 兩相交兩相交直線直線平面平面圖形圖形c abca b caba b c baca b c 47詳細(xì)課資2.3.1 2.3.1 平面的表示方法平面的表示方法 2、用跡線表示、用跡線表示W(wǎng) WH HV VO OX XZ ZY Y P（1 1）跡線）跡線：平面與投影面的交線平面與投影面的交線。（3 3）跡線平面：）跡線平面：用跡線表示的平面稱(chēng)為跡線平面。用跡線表示的平面稱(chēng)為跡線平面。（2 2）跡線分為：）跡線分為：

32、正面跡線正面跡線P PV V與與V V面交線面交線水平跡線水平跡線P PHH與與HH面交線面交線 側(cè)面跡線側(cè)面跡線P PWW與與WW面交線面交線OXZYWYHPVPWPH（4 4）一般位置的平面跡線的投影特性）一般位置的平面跡線的投影特性：1 1）在三個(gè)投影面上都有跡線，每條）在三個(gè)投影面上都有跡線，每條跡線都沒(méi)有積聚性，都與投影軸傾斜。跡線都沒(méi)有積聚性，都與投影軸傾斜。2 2）每?jī)蓷l跡線分別相交于相應(yīng)）每?jī)蓷l跡線分別相交于相應(yīng)的投影軸上的同一點(diǎn)，由其中的的投影軸上的同一點(diǎn)，由其中的任意兩條跡線即可表示這個(gè)平面。任意兩條跡線即可表示這個(gè)平面。PVPWPH48詳細(xì)課資2 2、用跡線表示、用跡線表

33、示（5）跡線表示平面的優(yōu)缺點(diǎn)跡線表示平面的優(yōu)缺點(diǎn)：1）優(yōu)點(diǎn)：用跡線表示平面容）優(yōu)點(diǎn)：用跡線表示平面容 易想象空間位置。有利于易想象空間位置。有利于 研究問(wèn)題。研究問(wèn)題。2）缺點(diǎn)）缺點(diǎn):有時(shí)也不方便。有時(shí)也不方便。OXZYWYHPVPWPHW WH HV VO OX XZ ZY Y PPVPWPH49詳細(xì)課資2.3.2 2.3.2 各種位置的平面及其投影特性各種位置的平面及其投影特性 平面對(duì)于投影面的位置可分為三類(lèi)平面對(duì)于投影面的位置可分為三類(lèi)：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面只垂直于一個(gè)投影面只垂直于一個(gè)投影面平行于一個(gè)投影面的

34、平面平行于一個(gè)投影面的平面與三個(gè)投影面都傾斜與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面50詳細(xì)課資1、投影面垂直面、投影面垂直面（1）鉛垂面）鉛垂面垂直面的投影特性是：垂直面的投影特性是：（1 1）在所垂直的投影面上的投影，積聚成直線；該投影與）在所垂直的投影面上的投影，積聚成直線；該投影與投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的夾角。投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的夾角。（2）在另兩投影面上的投影具有類(lèi)似性。）在另兩投影面上的投影具有類(lèi)似性。pppW WH HV VO OX XZ ZY Y51詳細(xì)課資1 1、投影面垂直面、投

35、影面垂直面（2 2）正垂面的投影）正垂面的投影qqqW WH HV VO OX XZ ZY Yqqq52詳細(xì)課資1 1、投影面垂直面、投影面垂直面（3）側(cè)垂面）側(cè)垂面R的投影的投影rrrW WH HV VO OX XZ ZY Yrrq53詳細(xì)課資2 2、投影面平行面、投影面平行面（1）水平面qqqqq qqq平行面投影特性平行面投影特性（1）在它所平行的投影面上投影反映實(shí)形。）在它所平行的投影面上投影反映實(shí)形。（2）其另外兩個(gè)投影積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。）其另外兩個(gè)投影積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。54詳細(xì)課資2 2、投影面平行面、投影面平行面（2）正平面55詳細(xì)課資W WH H

36、V VO OX XZ ZY Y2、投影面平行面（3）側(cè)平面）側(cè)平面的投影的投影rrrrrr56詳細(xì)課資3 3、一般位置的平面、一般位置的平面投影特性：三個(gè)面都是平面圖形，且面積縮小三個(gè)面都是平面圖形，且面積縮小 YW c c OaYH b ab a b cW WH HV VO OX XZ ZY Y a cba c b b a cABC57詳細(xì)課資2.3.3 2.3.3 平面上的點(diǎn)和直線平面上的點(diǎn)和直線1 1、點(diǎn)在平面上的幾何條件、點(diǎn)在平面上的幾何條件 ABCDEabcabcddee點(diǎn)在平面上的幾何條件是：該點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的某一條直線上點(diǎn)在平面上的幾何條件是：該點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的某一條直線上。58

37、詳細(xì)課資2.3.3 2.3.3 平面上的點(diǎn)和直線平面上的點(diǎn)和直線2 2、直線在平面上的幾何條件、直線在平面上的幾何條件M MN NA AB Bn nbbacacmmnn（1）直線通過(guò)這個(gè)平面上的兩個(gè)點(diǎn)；）直線通過(guò)這個(gè)平面上的兩個(gè)點(diǎn)；（2）或者）或者直線直線通過(guò)這個(gè)通過(guò)這個(gè)平面上的一平面上的一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。線在該平面內(nèi)。ad cnnbdacb59詳細(xì)課資【例例2.7】如圖如圖2.31（a）正方形）正方形ABCD處于正垂面，已知其處于正垂面，已知其左下邊左下邊AB的兩面投影，的兩面投影，=30，補(bǔ)全其兩面投影。，補(bǔ)全其兩

38、面投影。1)1)作作正方形正方形ABCDABCD的正面投影：的正面投影：如圖如圖2.312.31（b b），過(guò)），過(guò)ABAB邊的邊的正面投影正面投影a(b)a(b)作與作與OXOX軸成軸成3030角的射線，與以角的射線，與以a(b)a(b)為圓心以為圓心以a ab b長(zhǎng)為半徑的圓弧相交于一點(diǎn)，（長(zhǎng)為半徑的圓弧相交于一點(diǎn)，（正方形正方形ABCDABCD處處于正垂面位置，且于正垂面位置，且=3030這樣的正垂面有兩個(gè)）這樣的正垂面有兩個(gè)）此點(diǎn)即是此點(diǎn)即是CDCD邊的正面投影邊的正面投影c(d)c(d)。60詳細(xì)課資【例例2.7】如圖如圖2.31（a）正方形）正方形ABCD處于正垂面，已知其處于正垂

39、面，已知其左下邊左下邊AB的兩面投影，的兩面投影，=30，補(bǔ)全其兩面投影。，補(bǔ)全其兩面投影。2 2）作正）作正方形方形ABCDABCD的水平投影：分別過(guò)的水平投影：分別過(guò)a a、b b作作OXOX軸的平行線，軸的平行線，與過(guò)點(diǎn)與過(guò)點(diǎn)c c、dd作作OXOX軸的垂直線分別交于軸的垂直線分別交于c c、d d。連接。連接acac、cdcd、dbdb得正方形得正方形ABCDABCD水平投影。水平投影。3 3）最后，整理作圖線，得正方形）最后，整理作圖線，得正方形ABCDABCD的兩面投影的兩面投影如圖如圖2.312.31（c c）61詳細(xì)課資e e(1)abca b k c k 【例例2.8】如圖如

40、圖2.32（a）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)K、直線、直線AM是否是否 在在ABC上。上。（1 1）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)K K是否在是否在ABCABC上。上。作圖作圖：如圖：如圖2.322.32（b b）1)1)假設(shè)假設(shè)K K點(diǎn)在點(diǎn)在ABCABC上，作上，作AKAK的正的正面投影，即連接面投影，即連接akak,并延長(zhǎng)之與并延長(zhǎng)之與bcbc交于交于ee。2)2)由由aeae作出其水平投影作出其水平投影aeae。由于點(diǎn)由于點(diǎn)K K的水平投影的水平投影k k在在aeae上，說(shuō)明上，說(shuō)明點(diǎn)點(diǎn)K K在在ABCABC的直線的直線AEAE上，即上，即K K點(diǎn)點(diǎn)在在ABCABC上。上。62詳細(xì)課資【例例2.8】如圖如圖2.32（

41、a）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)K、直線、直線AM是否是否 在在ABC上。上。hh(2)abca b c（2 2）判斷直線）判斷直線AMAM是否在是否在ABCABC上。上。分析：分析：根據(jù)直線在平面上的幾何條件，直根據(jù)直線在平面上的幾何條件，直線在平面上，直線通過(guò)這個(gè)平面上線在平面上，直線通過(guò)這個(gè)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。的兩個(gè)點(diǎn)。不難看出點(diǎn)不難看出點(diǎn)A A在在ABABC C面上，只要判斷面上，只要判斷MM點(diǎn)是否在點(diǎn)是否在ABCABC平面上就可判斷出平面上就可判斷出AMAM是否在是否在ABCABC面上。于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一問(wèn)。面上。于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一問(wèn)。作圖：作圖：如圖如圖2.322.32（b b）方法同第一問(wèn)方法同第

42、一問(wèn),只是先作只是先作AMAM的水平的水平投影投影amam，由，由afaf作作aeae。判斷結(jié)果是：。判斷結(jié)果是：直線直線A AMM不不在在ABCABC上。上。63詳細(xì)課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。分析：分析：由圖由圖2.332.33（a a）可知，只要作出）可知，只要作出C C點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影c c，然后順次，然后順次連接連接bcdbcd即可。由于即

43、可。由于ABCDABCD是平面四邊形，所以，是平面四邊形，所以，ACAC、BDBD必相交一點(diǎn)必相交一點(diǎn)K K，連接，連接AKAK，C C點(diǎn)在點(diǎn)在AKAK上，可求上，可求C C點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。64詳細(xì)課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。作圖：作圖：1 1）如圖如圖2.332.33（b b）分別連接分別連接acac、bdbd其交點(diǎn)為其交點(diǎn)為平面四平面四邊形邊

44、形ABCDABCD對(duì)角線對(duì)角線ACAC、BDBD交點(diǎn)交點(diǎn)K K的的V V面投影面投影 kk，2 2）連接）連接bdbd,過(guò)過(guò)kk作作OXOX軸垂線，與軸垂線，與bdbd相交，得相交，得ACAC和和BDBD的的交點(diǎn)交點(diǎn)K K的水平面投影的水平面投影 k k。65詳細(xì)課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。作圖：作圖：3 3）連接）連接akak,并延長(zhǎng)，與過(guò)并延長(zhǎng)，與過(guò)cc

45、作作OXOX軸垂線軸垂線相交，得相交，得C C點(diǎn)的水平點(diǎn)的水平面投影面投影 c c。4 4）順次連接）順次連接bcdbcd得平面四邊形得平面四邊形ABCDABCD水平投影水平投影abcdabcd。66詳細(xì)課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2)(2)在其上取一點(diǎn)在其上取一點(diǎn)MM分析：分析：如圖如圖2.332.33（c c），），MM在在HH面之上面之上15mm15

46、mm，它一定在平面，它一定在平面ABCDABCD內(nèi)距離水平面內(nèi)距離水平面15mm15mm的水平線的水平線EFEF上；上；MM在在V V面之前面之前30mm,30mm,所以，它也在平面所以，它也在平面ABCDABCD內(nèi)距離內(nèi)距離V V面面30mm30mm的正平線的正平線GHGH上，直線上，直線EFEF、GHGH的交點(diǎn)即是所要求的的交點(diǎn)即是所要求的MM點(diǎn)。點(diǎn)。67詳細(xì)課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使使M在在H面之上面之上15m

47、m，在，在V面之前面之前30mm。(2)(2)在其上取一點(diǎn)在其上取一點(diǎn)MM作圖：作圖：1 1）作位于平面）作位于平面ABCDABCD內(nèi)距離水平面內(nèi)距離水平面15mm15mm的水平線的水平線EFEF的正面投的正面投影影efef和水平投影和水平投影efef.68詳細(xì)課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2)(2)在其上取一點(diǎn)在其上取一點(diǎn)MM作圖：作圖：2 2）作位于平面

48、）作位于平面ABCDABCD內(nèi)距離正面內(nèi)距離正面30mm30mm的正平線的正平線GHGH的水平投影的水平投影g gh h和正面投影和正面投影g ghh.69詳細(xì)課資【例例2.9】如圖如圖2.33（a）已知平面四邊形）已知平面四邊形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)邊的水平投影，補(bǔ)全其水平投影；并在其上取一點(diǎn)M，使使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2)(2)在其上取一點(diǎn)在其上取一點(diǎn)MM作圖：作圖：3)3)ef ef和和g ghh交點(diǎn)交點(diǎn)mm，efef和和g gh h的交點(diǎn)的交點(diǎn)mm，分別為，分別為所要求的所要求的M

49、M點(diǎn)的正面投影和水平投影。點(diǎn)的正面投影和水平投影。70詳細(xì)課資2.4 2.4 直線與平面及兩平面之間的相對(duì)位置直線與平面及兩平面之間的相對(duì)位置2.4.l 2.4.l 平行問(wèn)題平行問(wèn)題 2.4.2 2.4.2 相交問(wèn)題相交問(wèn)題 2.4.3 2.4.3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題 71詳細(xì)課資2.4.l 2.4.l 平行問(wèn)題平行問(wèn)題 1.1.直線與平面平行直線與平面平行 當(dāng)直線與垂直于投當(dāng)直線與垂直于投影面的平面平行時(shí)，直影面的平面平行時(shí)，直線的投影平行于平面的線的投影平行于平面的有積聚性的同面投影，有積聚性的同面投影，或者，直線、平面在同或者，直線、平面在同一投影面上的投影都有一投影面上的投影都有積聚性。

50、積聚性。對(duì)于一般位置的直對(duì)于一般位置的直線，如平面外的一條直線，如平面外的一條直線與平面內(nèi)的某直線平線與平面內(nèi)的某直線平行，則該直線與平面平行，則該直線與平面平行。行。72詳細(xì)課資2.4.l 2.4.l 平行問(wèn)題平行問(wèn)題 2.2.平面與平面平行平面與平面平行【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點(diǎn)一點(diǎn)K的兩面投影，的兩面投影，（1）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作正平線平行于點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。由初等幾何可知，若一平面內(nèi)的兩相交直線平行于由初等幾何可知，

51、若一平面內(nèi)的兩相交直線平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則兩平面相互平行。另一平面內(nèi)的兩相交直線，則兩平面相互平行。73詳細(xì)課資2.4.l 2.4.l 平行問(wèn)題平行問(wèn)題【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點(diǎn)一點(diǎn)K的兩面投影，的兩面投影，（1）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作正平線平行于點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（1 1）過(guò)）過(guò)K K點(diǎn)作正平線平行于點(diǎn)作正平線平行于ABCABC所確定平面所確定平面分析：分析：當(dāng)直線平行于某平面時(shí)，該直線必平行于該平面內(nèi)的一條直當(dāng)直

52、線平行于某平面時(shí)，該直線必平行于該平面內(nèi)的一條直線，因此，在線，因此，在ABCABC內(nèi)作正平線內(nèi)作正平線BDBD，然后過(guò)，然后過(guò)K K點(diǎn)作點(diǎn)作BDBD的平的平行線行線KEKE，KEKE即為所求。即為所求。74詳細(xì)課資2.4.l 2.4.l 平行問(wèn)題平行問(wèn)題【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點(diǎn)一點(diǎn)K的兩面投影，的兩面投影，（1）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作正平線平行于點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（1 1）過(guò)）過(guò)K K點(diǎn)作正平線平行于點(diǎn)作正平線平行于ABCA

53、BC所確定平面所確定平面作圖：作圖：1 1）如圖）如圖2.362.36（b b）所示，過(guò)）所示，過(guò)b b作作bdbd平行于平行于OXOX軸交軸交acac于于d d，按投影特性作，按投影特性作bd bd 的正面投影的正面投影bdbd，得，得ABCABC內(nèi)正平線內(nèi)正平線BDBD的兩面投影。的兩面投影。2）作直線）作直線kebd，kebd，得直線得直線KE的兩面投影。的兩面投影。75詳細(xì)課資2.4.l 2.4.l 平行問(wèn)題平行問(wèn)題【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點(diǎn)一點(diǎn)K的兩面投影，的兩面投影，（1）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作正平線平行于點(diǎn)作正平線平

54、行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（2 2）過(guò)）過(guò)K K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABCABC所確定平面所確定平面分析：分析：根據(jù)兩平面平行的幾何條件，可過(guò)根據(jù)兩平面平行的幾何條件，可過(guò)K點(diǎn)作兩條直線分別平行于點(diǎn)作兩條直線分別平行于ABC內(nèi)兩條內(nèi)兩條直線，此兩條直線所確定的平面即為所求的平直線，此兩條直線所確定的平面即為所求的平 面面 76詳細(xì)課資2.4.l 2.4.l 平行問(wèn)題平行問(wèn)題【例例2.10】如圖如圖2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點(diǎn)一點(diǎn)K的兩面投影，的兩面投影

55、，（1）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作正平線平行于點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（2 2）過(guò)）過(guò)K K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABCABC所確定平面所確定平面作圖：作圖：如圖如圖2.36（c）所示，過(guò)）所示，過(guò)k分別作分別作kf bc，kgac，按投影特性由，按投影特性由kf、kg作出作出其正面投影其正面投影kfbc,kgac得過(guò)得過(guò)K點(diǎn)的直線點(diǎn)的直線KF、KG的兩面投影。的兩面投影。KF、KG所確定的平面即為所求。所確定的平面即為所求。77詳細(xì)課資2.4.l 2.4.l 平行問(wèn)題平行問(wèn)題【例例2.10】如圖如圖

56、2.36（a），已知），已知ABC所確定平面及平面外所確定平面及平面外 一點(diǎn)一點(diǎn)K的兩面投影，的兩面投影，（1）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作正平線平行于點(diǎn)作正平線平行于ABC所確定平面；所確定平面；（2）過(guò)）過(guò)K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABC所確定平面。所確定平面。（2 2）過(guò)）過(guò)K K點(diǎn)作一平面平行于點(diǎn)作一平面平行于ABCABC所確定平面所確定平面作圖：作圖：如圖如圖2.36（c）所示，過(guò)）所示，過(guò)k分別作分別作kf bc，kgac，按投影特性由，按投影特性由kf、kg作出作出其正面投影其正面投影kfbc,kgac得過(guò)得過(guò)K點(diǎn)的直線點(diǎn)的直線KF、KG的兩面投影。的兩面投影。KF、KG所確定的平面即為

57、所求。所確定的平面即為所求。78詳細(xì)課資2.4.2 2.4.2 相交問(wèn)題相交問(wèn)題 1.1.直線與平面相交直線與平面相交 在直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置中，凡不符合平行幾在直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置中，凡不符合平行幾何條件的，則必然相交。以下討論直線或平面處于特殊位置，何條件的，則必然相交。以下討論直線或平面處于特殊位置，即直線或平面垂直于投影面情況下，此時(shí)，直線與平面、平面即直線或平面垂直于投影面情況下，此時(shí)，直線與平面、平面與平面相交所具有的投影特點(diǎn)。與平面相交所具有的投影特點(diǎn)。1 1）直線與垂直于投影面的平面相交）直線與垂直于投影面的平面相交79詳細(xì)課資2.4.2 2.4.2 相

58、交問(wèn)題相交問(wèn)題 1.1.直線與平面相交直線與平面相交80詳細(xì)課資2.4.2 2.4.2 相交問(wèn)題相交問(wèn)題 1）平面與投影面垂直面相交）平面與投影面垂直面相交aa bd(e)ebdh(f)cfch1 1(2 2)平面平面DEFH是一鉛垂面，是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其它的水平投影有積聚性，其與與ac、bc的交點(diǎn)的交點(diǎn)m、n 即為即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投影的水平投影。求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性 點(diǎn)點(diǎn)在在MC上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在FH上，上，點(diǎn)點(diǎn)在前，點(diǎn)在前，點(diǎn)在后，故在后，故mc 可見(jiàn)?？梢?jiàn)。作圖作圖2 21 1 mmnn2.2

59、.平面與平面相交平面與平面相交81詳細(xì)課資2.4.2 2.4.2 相交問(wèn)題相交問(wèn)題 2.2.平面與平面相交平面與平面相交2 2）兩個(gè)與投影面垂直的平面相交）兩個(gè)與投影面垂直的平面相交可通過(guò)正面投影可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。直觀地進(jìn)行判別。abcdefc f d b e a m(n)空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC與與DEFDEF都為都為正垂正垂面面，它們的，它們的交線為一條正垂線交線為一條正垂線，兩平面兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，線的正面投影，交線的水平投交線的水平投影垂直于影垂直于OXOX軸軸。求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性作圖作圖

60、從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面在交線左側(cè)，平面ABCABC在上，在上，其水平投影可見(jiàn)。其水平投影可見(jiàn)。nm能能!如何判別？如何判別？例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線MN并判別可見(jiàn)性。并判別可見(jiàn)性。能否不用重能否不用重影點(diǎn)判別？影點(diǎn)判別？82詳細(xì)課資2.4.3 2.4.3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題 垂直是相交的特殊情況，垂直是相交的特殊情況，本節(jié)只討論直線或平面垂直于投本節(jié)只討論直線或平面垂直于投影面時(shí)，直線和平面及兩平面之間的垂直問(wèn)題。影面時(shí)，直線和平面及兩平面之間的垂直問(wèn)題。1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直 1)1)當(dāng)直線與垂直于投影面的平面相垂直時(shí)，直線一定平行當(dāng)

61、直線與垂直于投影面的平面相垂直時(shí)，直線一定平行與該平面所垂直的投影面，而且直線的投影垂直于平面的有與該平面所垂直的投影面，而且直線的投影垂直于平面的有積聚性的同面投影。積聚性的同面投影。如圖如圖2.412.41所示，直線所示，直線MNMN垂直于鉛垂面垂直于鉛垂面ABCABC，則，則MNMN一一定是水平線，定是水平線，且且mnmnabcabc。83詳細(xì)課資2.4.3 2.4.3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題 垂直是相交的特殊情況，垂直是相交的特殊情況，本節(jié)只討論直線或平面垂直于投本節(jié)只討論直線或平面垂直于投影面時(shí)，直線和平面及兩平面之間的垂直問(wèn)題。影面時(shí)，直線和平面及兩平面之間的垂直問(wèn)題。1.1.直線與平面

62、垂直直線與平面垂直 2)2)當(dāng)平面與投影面垂直線相垂直時(shí)，平面一定平行于該直當(dāng)平面與投影面垂直線相垂直時(shí)，平面一定平行于該直線所垂直的投影面，且在其它投影面的投影垂直于該直線的線所垂直的投影面，且在其它投影面的投影垂直于該直線的投影。如圖投影。如圖2.422.42所示所示，平面平面ABCABC垂直于鉛垂線垂直于鉛垂線MNMN，所以，所以，平面平面ABCABC一定平行于水平面，且一定平行于水平面，且mmn nabcabc。84詳細(xì)課資2.4.3 2.4.3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題 2.2.平面與平面垂直平面與平面垂直 若空間兩平面垂直相交，且兩平面都垂直與一個(gè)投影面時(shí)，若空間兩平面垂直相交，且兩平面都

63、垂直與一個(gè)投影面時(shí)，兩平面的積聚性投影一定互相垂直，且交線為該投影面的垂兩平面的積聚性投影一定互相垂直，且交線為該投影面的垂直線。直線。如圖如圖2.432.43所示，鉛垂面所示，鉛垂面ABCDABCD和鉛垂面和鉛垂面CDEFCDEF互相垂互相垂直，因此，它們的水平面有積聚性投影互相垂直，其交線直，因此，它們的水平面有積聚性投影互相垂直，其交線CDCD為鉛垂線。為鉛垂線。85詳細(xì)課資2.5 2.5 換面換面 法法 2.5.1 換面法的基本概念 2.5.2 點(diǎn)的投影換面規(guī)律 2.5.3 換面法的基本作圖2.5.4 換面法的解題舉例86詳細(xì)課資2.5.1 換面法的基本概念 當(dāng)幾何元素在兩個(gè)互相垂直的

64、投影面體系中對(duì)某一投影面處于特殊位當(dāng)幾何元素在兩個(gè)互相垂直的投影面體系中對(duì)某一投影面處于特殊位置時(shí)置時(shí),可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問(wèn)題。但是可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問(wèn)題。但是若幾何元素在兩投影面體系中不處于這樣的特殊位置若幾何元素在兩投影面體系中不處于這樣的特殊位置,則需變換投影面。則需變換投影面。像上述這樣幾何元素在兩投影面體系中不處于特殊位置時(shí)像上述這樣幾何元素在兩投影面體系中不處于特殊位置時(shí),可以保留一個(gè)投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更可以保留一個(gè)投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更換另一投影面換另一投影面,組成一個(gè)新的兩投影

65、面體系，使幾何元素在新投組成一個(gè)新的兩投影面體系，使幾何元素在新投影面體系中對(duì)新投影面處于便利解題的特殊位置，在新投影面影面體系中對(duì)新投影面處于便利解題的特殊位置，在新投影面體系中作圖求解，這種方法稱(chēng)為變換投影面法，簡(jiǎn)稱(chēng)換面法。體系中作圖求解，這種方法稱(chēng)為變換投影面法，簡(jiǎn)稱(chēng)換面法。87詳細(xì)課資2.5.1 換面法的基本概念 當(dāng)幾何元素在兩個(gè)互相垂直的投影面體系中對(duì)某一投影面處于特殊位當(dāng)幾何元素在兩個(gè)互相垂直的投影面體系中對(duì)某一投影面處于特殊位置時(shí)置時(shí),可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問(wèn)題。但是可以直接利用一些投影特性求解幾何元素的圖示和圖解問(wèn)題。但是若幾何元素在兩投影面體系中不處

66、于這樣的特殊位置若幾何元素在兩投影面體系中不處于這樣的特殊位置,則需變換投影面。則需變換投影面。應(yīng)用換面法解題時(shí)應(yīng)遵循下列兩條原則：應(yīng)用換面法解題時(shí)應(yīng)遵循下列兩條原則：（1 1）新投影面應(yīng)選擇在新投影面體系中使幾何元素處于便）新投影面應(yīng)選擇在新投影面體系中使幾何元素處于便利解題的位置。利解題的位置。（2 2）新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個(gè)投影面）新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個(gè)投影面,并與它并與它組成新投影面體系。必要時(shí)可連續(xù)交替變換。組成新投影面體系。必要時(shí)可連續(xù)交替變換。88詳細(xì)課資2.5.2 點(diǎn)的投影換面規(guī)律點(diǎn)的投影換面規(guī)律 點(diǎn)是最基本的幾何元素。要學(xué)會(huì)運(yùn)用換面法解決問(wèn)題，首先應(yīng)該掌握點(diǎn)是最基本的幾何元素。要學(xué)會(huì)運(yùn)用換面法解決問(wèn)題，首先應(yīng)該掌握點(diǎn)的投影變換規(guī)律。點(diǎn)的投影變換規(guī)律。1.點(diǎn)的一次換面點(diǎn)的一次換面VHXX1a1ax1V1V1HX1a1aaXVHa)立體圖立體圖 b)投影圖投影圖圖圖2.45 點(diǎn)的一次投影變換（變換點(diǎn)的一次投影變換（變換V 面）面）Aaxaa89詳細(xì)課資同樣也可同樣也可 變換變換H面面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1 用正垂面用正