第八章空間解析幾何與向量代數(shù)知識(shí)點(diǎn),題庫(kù)與答案.doc

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1、第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1、重點(diǎn)向量的基本概念、向量的線性運(yùn)算、向量的模、方向角；數(shù)量積（是個(gè)數(shù)）、向量積（是個(gè)向量）；幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面；平面的幾種方程的表示方法（點(diǎn)法式、一般式方程、三點(diǎn)式方程、截距式方程），兩平面的夾角；空間直線的幾種表示方法（參數(shù)方程、對(duì)稱式方程、一般方程、兩點(diǎn)式方程），兩直線的夾角、直線與平面的夾角；2、難點(diǎn)向量積（方向）、混合積（計(jì)算）；掌握幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面的方程及二次曲面所對(duì)應(yīng)的圖形；空間曲線在坐標(biāo)面上的投影；特殊位置的平面方程（過原點(diǎn)、平行于坐標(biāo)軸、垂直于坐標(biāo)軸等；）平面方程的幾種表示方式之間的轉(zhuǎn)化；直線方程的幾種表示

2、方式之間的轉(zhuǎn)化；二、基本知識(shí)1、向量及其線性運(yùn)算向量的基本概念：向量: 既有大小, 又有方向的量；向量表示方法：用一條有方向的線段(稱為有向線段)來(lái)表示向量. 有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.；向量的符號(hào): 以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書寫體字母表示, 例如, a、r、v、F或、；向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、的模分別記為|a|、. 單位向量: 模等于1的向量叫做單位向量；向量的平行: 兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個(gè)向量平行. 向量a與b平行, 記作a / b. 零向量

3、認(rèn)為是與任何向量都平行； 兩向量平行又稱兩向量共線. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或. 零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合, 它的方向可以看作是任意的. 共面向量： 設(shè)有k(k3)個(gè)向量, 當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上, 就稱這k個(gè)向量共面；兩向量夾角：當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí), 兩個(gè)向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個(gè)是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值.； 向量的線性運(yùn)算向量的加法（三角形法則）：設(shè)有兩個(gè)向量a與b, 平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合, 此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)

4、的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . :平行四邊形法則: 向量a與b不平行時(shí), 平移向量使a與b的起點(diǎn)重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和a+b. 向量的加法的運(yùn)算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 負(fù)向量: 設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量, 記為-a. 向量的減法: 把向量a與b移到同一起點(diǎn)O, 則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量b與a的差b-a .向量與數(shù)的乘法： 向量a與實(shí)數(shù)l的乘積記作規(guī)定la是一個(gè)向量, 它的模|la|=|l|a|,

5、它的方向當(dāng)l0時(shí)與a相同, 當(dāng)l0時(shí)與a相反. 當(dāng)l=0時(shí), |la|=0, 即la為零向量, 這時(shí)它的方向可以是任意的.運(yùn)算規(guī)律: (1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb. 向量的單位化: 設(shè)a0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. ，于是a=|a|ea. 定理1 設(shè)向量a 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實(shí)數(shù)l, 使 b = la. 空間直角坐標(biāo)系 在空間中任意取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸

6、(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸. 它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系, 稱為Oxyz坐標(biāo)系. 注: (1)通常三個(gè)數(shù)軸應(yīng)具有相同的長(zhǎng)度單位; (2)通常把x 軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線; (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標(biāo)面: 在空間直角坐標(biāo)系中, 任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面, 這種平面稱為坐標(biāo)面. x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面, 另兩個(gè)坐標(biāo)面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分, 每一部分叫做卦限, 含有三個(gè)正半軸的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆時(shí)針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在x

7、Oy面的下方, 與第一卦限對(duì)應(yīng)的是第五卦限, 按逆時(shí)針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八個(gè)卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標(biāo)分解式: 任給向量r, 對(duì)應(yīng)有點(diǎn)M, 使. 以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體, 有 , 設(shè) , , , 則 . 上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式, xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量. 點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 . 有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo), 記作r=(x, y, z); 向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑.利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè)a=(ax

8、, ay, az), b=(bx, by, bz)a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz).a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz). la=(lax, lay, laz). 利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行: 設(shè)a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 向量b/ab=la , 即b/a(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 向量的模、方向角、投影設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 向量的模長(zhǎng)公式 . 設(shè)有點(diǎn)A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=

9、(x2-x1, y2-y1, z2-z1), A、 B兩點(diǎn)間的距離公式為：. 方向角：非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . cos2a+cos2b+cos2g=1.投影的性質(zhì): 性質(zhì)1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j為向量與u軸的夾角; 性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub); 性質(zhì)3 (la)u=l(a

10、)u (即Prju(la)=lPrjua);2、數(shù)量積、向量積、混合積兩向量的數(shù)量積數(shù)量積: 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 數(shù)量積的性質(zhì): (1) aa = |a| 2. (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量 a、b, 如果 ab =0, 則 ab; 反之, 如果ab, 則ab =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則ab ab =0. 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示: 設(shè)q=(a, b), 則當(dāng)a0、b0時(shí), 有 . 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az ), b=(bx

11、, by, bz ), 則 ab=axbx+ayby+azbz .數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: ab = ba; (2)分配律: (a+b)c=ac+bc . (3) (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m為數(shù). 兩向量的向量積 向量積: 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作ab, 即c = ab. 向量積的性質(zhì): (1) aa = 0 ; (2

12、) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果ab = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則ab = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/b ab = 0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1) 交換律ab = -ba; (2) 分配律: (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)ab = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號(hào), 上式可寫成

13、=aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 三向量的混合積 混合積：先作兩向量a和b的向量積,把所得到的向量與第三個(gè)向量c再作數(shù)量積，這樣得到的數(shù)量叫做三個(gè)向量a、b、c的混合積，記作abcabc= =混合積的幾何意義：混合積abc是這樣一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量a、b、c 為棱的平行六面體的體積，如果向量a、b、c組成右手系，那么混合積的符號(hào)是正的，如果a、b、c組成左手系，那么混合積的符號(hào)是負(fù)的。三個(gè)向量a、b、c共面的充分

14、必要條件事他們的混合積abc=0即=03、曲面及其方程曲面方程的概念如果曲面S與三元方程 F(x, y, z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x, y, z)=0; (2) 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x, y, z)=0, 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)=0的圖形. 例如：方程 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 表示球心在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的

15、軸. 設(shè)在yO z 坐標(biāo)面上有一已知曲線C, 它的方程為f (y, z) =0, 把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面. 它的方程為 , 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理, 曲線C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 柱面柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線, 動(dòng)直線L叫做柱面的母線. 例如方程x2+y2=R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面, 它的母線平行于z軸, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺

16、z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面上的曲線C: F(x, y)=0. 類似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面.二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面. (1)橢圓錐面 由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面. (2)橢球面 由方程所表示的曲面稱為橢球面. (3)單葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面.(5)橢圓拋物面由方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面.(6)雙曲拋物面.

17、 由方程所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面又稱馬鞍面. 方程 , , , 依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面. 4 空間曲線及其方程空間曲線的一般方程 設(shè)F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是兩個(gè)曲面方程, 它們的交線為C所以C應(yīng)滿足方程組上述方程組叫做空間曲線C的一般方程. 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù): .(2)當(dāng)給定t=t1時(shí), 就得到C上的一個(gè)點(diǎn)(x1, y1, z1); 隨著t的變動(dòng)便得曲線C上的全部點(diǎn). 方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy

18、面的投影柱面, 投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy 面上的投影曲線, 或簡(jiǎn)稱投影(類似地可以定義曲線C在其它坐標(biāo)面上的投影). 設(shè)空間曲線C的一般方程為. 設(shè)方程組消去變量z后所得的方程 H(x, y)=0 , 這就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面. 曲線C在xOy 面上的投影曲線的方程為: 5 平面及其方程平面的點(diǎn)法式方程 法線向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法線向量.已知平面P上的一點(diǎn)M0(x0, y0, z0)及它的一個(gè)法線向量n =(A, B, C)，平面的點(diǎn)法式方程.為：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0平面的一般方程平面的一般方

19、程為：Ax+By+Cz+D=0， 其中x, y, z的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法線向量n的坐標(biāo), 即 n=(A, B, C). 特殊位置的平面方程：D=0, 平面過原點(diǎn). n=(0, B, C), 法線向量垂直于x軸, 平面平行于x軸. n=(A, 0, C), 法線向量垂直于y軸, 平面平行于y軸.n=(A, B, 0), 法線向量垂直于z軸, 平面平行于z軸.n=(0, 0, C), 法線向量垂直于x軸和y軸, 平面平行于xOy平面.n=(A, 0, 0), 法線向量垂直于y軸和z軸, 平面平行于yOz平面.n=(0, B, 0), 法線向量垂直于x軸和z軸, 平面平行于zOx平面.求這平面的

20、方程平面的截距式方程為： .(其中a0, b0, c0).該平面與x、y、z軸的交點(diǎn)依次為P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三點(diǎn), 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距. 平面的三點(diǎn)式方程為：=0其中M()，N()P()是平面上的三點(diǎn)。兩平面的夾角 兩平面的夾角: 兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角. 設(shè)平面P1和P2的法線向量分別為n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夾角q 應(yīng)是和兩者中的銳角, 平面P1和P2垂直相當(dāng)于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0; 也即 平面P 1和P 2

21、平行或重合相當(dāng)于.也即設(shè)P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn), P0到這平面的距離公式為.d 6 空間直線及其方程空間直線的一般方程 空間直線L可以看作是兩個(gè)平面P1和P2的交線.如果兩個(gè)相交平面P1和P2的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直線L滿足方程組. (1)上述方程組叫做空間直線的一般方程. 空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程 方向向量: 如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線, 這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量. 容易知道, 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 已知直線L通過點(diǎn)M0(x0, y0, x0),

22、 且直線的方向向量為s = (m, n, p), 則直線L的方程為： 叫做直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程. 注: 當(dāng)m, n, p中有一個(gè)為零, 例如m=0, 而n, p0時(shí), 這方程組應(yīng)理解為 ; 當(dāng)m, n, p中有兩個(gè)為零, 例如m=n=0, 而p0時(shí), 這方程組應(yīng)理解為 . 設(shè), 得方程組 . 此方程組就是直線L的參數(shù)方程. 兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)叫做兩直線的夾角. 設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夾角j就是和兩者中的銳角, 因此 設(shè)有兩直線L1:, L2:, 則 L 1L 2m

23、1m2+n1n2+p1p2=0; l/ IIL2直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí), 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當(dāng)直線與平面垂直時(shí), 規(guī)定直線與平面的夾角為.設(shè)直線的方向向量s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(A, B, C), 直線與平面的夾角為j , 那么, 因此. 因?yàn)橹本€與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行, 所以, 直線與平面垂直相當(dāng)于 . 因?yàn)橹本€與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直, 所以, 直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于 Am+Bn+Cp=0. 設(shè)直線L的方向向量為(m, n, p),

24、 平面P的法線向量為(A, B, C) , 則 LP ; L/ / P Am+Bn+Cp=0. 三、疑難點(diǎn)解析（1）數(shù)量積、向量積、混合積易混怎么辦？答：數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量無(wú)方向、向量積是個(gè)向量有方向，算出來(lái)的向量垂直于兩向量構(gòu)成的平面，且滿足右手法則?；旌戏e也是個(gè)常數(shù)。數(shù)量積：ab=|a| |b| cosq . =axbx+ayby+azbz .向量積c = ab. ， |c|=|a|b|sin q , =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi混合積： abc= =（2）已知平面圖形的方程如何求出該圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體的方程？答：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的口訣

25、用通俗的語(yǔ)言描述就是：“繞誰(shuí)（如x）旋轉(zhuǎn)誰(shuí)不變，另外一個(gè)字母變成”。（3）同一個(gè)方程在空間和在平面中表示的圖形為何不一樣？答：例如：，在平面上只有兩個(gè)坐標(biāo)，所以表示的是一個(gè)圓，但在空間中是三維坐標(biāo)的，這個(gè)方程表示的就是圓柱了，即當(dāng)滿足上述方程，則對(duì)任意的z, 也滿足這個(gè)方程。（4）求平面方程有幾種方法，具體用于求平面方程時(shí)要注意哪些關(guān)鍵的東西？答：求平面方程時(shí)最關(guān)鍵的就是要找到平面中的一個(gè)點(diǎn)和平面的法向量，求平面的法向量經(jīng)常會(huì)用到兩向量的叉乘的方向的性質(zhì)來(lái)解決法向量，也即找到兩個(gè)向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。（5）解與直線和平面相關(guān)的題時(shí)如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量，

26、但凡涉及直線的找方向向量。然后在根據(jù)具體題來(lái)分析該如何使用法向量和方向向量。四、考點(diǎn)分析（一）向量的的基本概念的相關(guān)知識(shí)例1、平行于向量的單位向量為_.解： 例2、 設(shè)已知兩點(diǎn)，計(jì)算向量的模，方向余弦和方向角.解、=（-1，-，1）=2, 例3、 設(shè)，求向量在x軸上的投影，及在y軸上的分向量.解 ：a=13i+7j+15k, 所以在x軸上的投影為13，在y軸上的分量為7j例4、 在空間直角坐標(biāo)系O;下，求M(a, b, c)關(guān)于 (1) 坐標(biāo)平面；(2) 坐標(biāo)軸；(3) 坐標(biāo)原點(diǎn)的各個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：M (a, b, c)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, c)，M (a, b, c)

27、關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, c)，M (a, b, c)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b, c)，M (a, b, c)關(guān)于x軸平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b,c)，M (a, b, c)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a, b,c)，M (a, b, c)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b, c).M (a, b, c)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b, c).（二）向量的數(shù)量積、向量積、混合積的計(jì)算例5、設(shè)，求(1)(3)a、b的夾角的余弦.解：（1） （2）， （3）例6、知，求與同時(shí)垂直的單位向量.解：即為所求單位向量。例7、已知，求的面積解：思路：=答案：其中，|OA|=例

28、8、求單位向量，使且軸，其中.解：取，則。 =8j-6k,| |=10,=,答案：例9、解：=,。tan,答案：例10已知矢量互相垂直，矢量與的夾角都是，且計(jì)算： 解：例11、已知平行四邊形以1，2，-1，1，-2，1為兩邊 求它的邊長(zhǎng)和內(nèi)角 求它的兩對(duì)角線的長(zhǎng)和夾角 解： 或，. 例12、已知,試求: 解: 4.原式= .原式=9例13、已知直角坐標(biāo)系內(nèi)矢量的分量,判別這些矢量是否共面?如果不共面,求出以它們?yōu)槿忂呑鞒傻钠叫辛骟w體積. , , . , , . 解: 共面 = 向量共面不共面 = 向量不共面以其為鄰邊作成的平行六面體體積 （三）求平面的曲線與曲面例14.一動(dòng)點(diǎn)到的距離恒等于

29、它到點(diǎn)的距離一半，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？ 解：動(dòng)點(diǎn)在軌跡上的充要條件是。設(shè)的坐標(biāo)有 化簡(jiǎn)得 故此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 此軌跡為橢圓 例15、 把下面的平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程.; ; .解:令,代入方程得參數(shù)方程為.令代入方程得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故參數(shù)方程為.(四)空間的曲線與曲面方程及投影例15、 一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，與及平面等距離，求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡為，則亦即由于上述變形為同解變形，從而所求的軌跡方程為例16、 求下列各球面的方程：（1）中心，半徑為；（2）中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；（3）一條直徑的兩端點(diǎn)是（4）通過原點(diǎn)與（5）求中心在且與

30、平面相切的球面方程。.解：（1）所求的球面方程為：（2）球面半徑所以類似上題，得球面方程為（3）球面的球心坐標(biāo)，球的半徑，所以球面方程為： （4）設(shè)所求的球面方程為：因該球面經(jīng)過點(diǎn)，所以 （1）解（1）有所求的球面方程為（5）球面的半徑為C到平面：的距離，它為：，所以，要求的球面的方程為：.即：例17、（1)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程為 _，曲面名稱為_.2)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程 _，曲面名稱為_.3)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程為_，曲面名稱為_. 4）在平面解析幾何中表示_圖形。在空間解析幾何中表示_圖形.解：求旋

31、轉(zhuǎn)曲面方程的口訣：“繞誰(shuí)（如x）旋轉(zhuǎn)誰(shuí)不變，另外一個(gè)字母變成”（1) ,旋轉(zhuǎn)拋物面 （,球面（3)繞x軸：旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面繞y軸：旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面（4）、拋物線，拋物柱面 5）畫出下列方程所表示的曲面 (1)解： (2)解 例18、（1）、指出方程組在平面解析幾何中表示_圖形，在空間=析幾何中表示_圖形.（2）、求球面與平面的交線在xOy面上的投影方程.（3）、求上半球與圓柱體的公共部分在xOy面及xOz面上的投影. （4）、求曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線？解：（1）、平面解析幾何表示橢圓與其一切線的交點(diǎn)；空間解析幾何中表示橢圓柱面與其切平面的交線。 （2）、（3）、在x

32、oy面的投影為：，在xOz面的投影為（？）：(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲線在面上的投影曲線方程為。原曲線是由旋轉(zhuǎn)拋物面被平面所截的拋物線。例19、已知柱面的準(zhǔn)線為：母線平行于軸，求該柱面方程；解：從方程中消去，得到：即：此即為要求的柱面方程。例20、已知橢圓拋物面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱面為面與面，且過點(diǎn)和，求這個(gè)橢圓拋物面的方程。解：據(jù)題意可設(shè)，要求的橢圓拋物面的方程為：令確定與和均在該曲面上。有：從而所以要求的橢圓拋物面的方程為：即：（五）求平面方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類常見的重要題型（找到平面過的點(diǎn)和平面的法向量）注意利用兩向量的叉乘知識(shí)來(lái)解決平面的法向量。例21（1）、求過點(diǎn)(3,0,-

33、1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.解：平面過點(diǎn)為（3,0，-1），且與平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量為,再由平面方程的點(diǎn)法式方程知所求方程為： （2）、求過點(diǎn)(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.解：因?yàn)樗笃矫嫫叫杏谙蛄縜=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根據(jù)向量的叉乘知，在由點(diǎn)法式方程知所求平面為：。（3）、求平行于xOz面且過點(diǎn)(2,-5,3)的平面方程.解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y軸，所以可以用z軸上的單位向量

34、（0,1,0）為法向量，再由點(diǎn)法式方程知所求平面為： （4）、求平行于x軸且過兩點(diǎn)(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.解：因?yàn)槠矫孢^兩點(diǎn)M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以過向量=（1,1，9）,由因?yàn)樗笃矫嫫叫杏趚軸，所以平面平行于x軸上的單位向量i=（1,0,0），從而,再由點(diǎn)法式方程知所求平面方程為：（5）、求過點(diǎn)(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程. 解：直線的方向向量可以作為所求平面的法向量，所以，在由平面的點(diǎn)法式方程知所求平面為：（6）、求過點(diǎn)(3,1,-2)且通過直線的平面方程.解：因?yàn)槠矫孢^直線，所以過直線上的點(diǎn)A（4，-3,0），已知過點(diǎn)B(3,1,-2),

35、從而過向量及直線的方向向量因此平面的法向量可求出，再由平面的點(diǎn)法式方程知所求平面為：。（7）、求過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程。解：所求平面方程為 即（8）、求過點(diǎn)，且垂直于的平面.解：法一：，所求平面法向量，且取又平面過點(diǎn)，則平面方程為解法2. 在平面上任取一點(diǎn)，則和共面，由三向量共面的充要條件得，整理得所求平面方程（9）、求過直線，且與直線：平行的平面.解：用平面束。設(shè)過直線的平面束方程為 因?yàn)樗笃矫媾c直線：平行，則所求平面的法向量()與直線的方向向量(1,-1,2),從而，因此所求平面方程為。（10）、求通過軸其與點(diǎn)相距8個(gè)單位的平面方程。解：設(shè)通過軸的平面為它與點(diǎn)相距8個(gè)單位，從而因此從

36、而得或于是有或所求平面為或(11)求過A(1,1,-2)，B（-2，-2,2），C（1，-1,2）三點(diǎn)的平面方程（12）、已知直線，直線，求過且平行的平面方程。解： 在上任取一點(diǎn)，故所求平面方程為 即（13）、求過軸，且與平面的夾角為的平面方程.解：平面過軸，不妨設(shè)平面方程為，則，且（不全為），已知平面的法向量為，兩平面的夾角為，根據(jù)兩法向量與兩平面的關(guān)系有,所以所求的平面方程為：或（六）求直線方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類常見的重要題型（找出直線所過的點(diǎn)與直線方向向量）例22（1）、求過點(diǎn)(1,2,3)且平行于直線的直線方程.解：因?yàn)樗笾本€平行于直線，所以可取所求直線的方向向量為（2,1,5），又

37、因?yàn)檫^點(diǎn)（1,2,3），由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：（2）、求過點(diǎn)(0,2,4)且與兩平面,平行的直線方程.解：所求直線與兩平面,平行，所以該直線垂直于這兩平面的法向量，所以也垂直于這兩法向量構(gòu)成的平面，有兩向量的叉乘知可去所求直線的方向向量為，再由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為： （3）求過且平行于平面又與直線相交的直線方程。解：設(shè)所求直線方程為所求直線與已知平面平行，則所求直線的方向向量與已知平面的法向量垂直即有 （1）又所求直線與已知直線（相交）共面，在已知直線上任取一點(diǎn)，則在平面上。三向量(所求直線，已知直線，)共面，得，即 （2）由（1）（2），得 所求直線方程：程.（4）

38、、求在平面:上，且與直線垂直相交的直線方程.解：所求直線與已知直線L的交點(diǎn)，過交點(diǎn)且垂直于已知直線的平面為。答案：（5）通過點(diǎn)和點(diǎn)的直線；解：所求直線的方向向量為（5，-5,0）由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：，亦即。（6）通過點(diǎn)且與三軸分別成的直線；解：欲求的直線的方向矢量為：，故由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：。（7）通過點(diǎn)且與兩直線和垂直的直線；。解：欲求直線的方向矢量為：，所以，直線方程為：。（8）用對(duì)稱式方程及參數(shù)式方程表示直線解：，取 得 故直線的對(duì)稱式方程為 直線參數(shù)式方程為 （七）利用平面與直線的位置關(guān)系找出法向量與方向向量，求平面與直線的夾角、距離、位置關(guān)系、直線與平

39、面的交點(diǎn)計(jì)算等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類題型例23、 判別下列各直線之間的位置關(guān)系：（1）與解：， 所以 （2）與解：，所以 （）求點(diǎn)到直線的距離例24、求原點(diǎn)到的距離。解：方法（1）化為參數(shù)方程 點(diǎn)（0，0，0）到直線上任意點(diǎn)的距離為（參數(shù)為的點(diǎn)） 方法（2）過點(diǎn)（0，0，0）與且直線垂直的平面方程為 將直線化為參數(shù)式方程為代入直線的垂面方程，得 所以（0，0，0）在直線上的垂足為 所求距離為（）求直線與平面的交點(diǎn)例25、求直線與平面的交點(diǎn)。解：（1）令 代入平面得 ， 所求交點(diǎn)為 （）已知點(diǎn)在已知平面的投影計(jì)算。例26 求點(diǎn)在平面上的投影。解：過且與垂直的直線方程為代入得，故在平面上的投影為（）涉及

40、線面關(guān)系的綜合計(jì)算。例23 (1)、求直線與平面的夾角.解：設(shè)平面與直線的夾角為，直線的方向向量為，平面的法向量，=0，所以?shī)A角為0。（2)直線與直線的位置關(guān)系;解: 直線的方向向量為直線的方向向量為，所以兩直線垂直。（3)直線和平面x+y+z=3的位置關(guān)系解：直線的方向向量（3,1，-4）與平面的法向量（1,1,1）垂直，從而知該直線平行于平面或在平面內(nèi)，有因?yàn)橹本€上一點(diǎn)（2，-2,3）在平面內(nèi)，所以知直線在平面x+y+z=3內(nèi)。（4）、求點(diǎn)A(3,-1,2)到直線的距離.解：直線的方向向量為，求直線上的一點(diǎn)（可令y=0）,所以直線過點(diǎn)B（1，0，2）,點(diǎn)AB之間的距離為,向量的夾角的余弦為

41、，所以A點(diǎn)到直線的距離為 (6)、求兩直線：與直線：的最短距離.解：已知兩直線的方向向量為，故垂直于兩方向向量的向量可取為，又點(diǎn)在直線上過直線且平行于的平面為，即，又點(diǎn)在直線上，該點(diǎn)到平面的距離為所求兩直線間的最短距離。（7）求兩平行平面，間的距離：；解：（1）將所給的方程化為：所以兩平面間的距離為：2-1=1。（8）求兩平面，所成的角；解：（1）設(shè)：，： （9）.求下列各對(duì)直線間的角解 直線 例24、.分別在下列條件下確定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使與表示兩平行平面；（3）使與表示兩互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的兩方程表示同一平面，則：即：從而：，。（2）欲使所給的兩方程表示

42、兩平行平面，則：所以：，。（3）欲使所給的兩方程表示兩垂直平面，則：所以： 。例25、求關(guān)于直線與點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)。解：已知直線的方向矢量為：，或?yàn)?，求直線上的一點(diǎn)（令z=0, ）,從而直線方程為過垂直于已知直線的平面為：，即代入平面方程解出t=該平面與已知直線的交點(diǎn)為，所以若令為P的對(duì)稱點(diǎn)，則：， 即。（八）用平面束求解題；求過直線的平面可設(shè)為例26、.求通過平面和的交線且滿足下列條件之一的平面：（1）通過原點(diǎn)； （2）與軸平行；（3）與平面垂直。解：（1）設(shè)所求的平面為：欲使平面通過原點(diǎn)，則須：，即，故所求的平面方程為：即：。（2）同（1）中所設(shè)，可求出。故所求的平面方程為：即：。（3）如（1）

43、所設(shè)，欲使所求平面與平面垂直，則須：從而：，所以所求平面方程為：。五、章節(jié)基礎(chǔ)訓(xùn)練向量及其線性運(yùn)算一、選擇題1. 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為-（ ）（A） （B） （C） （D）2. 下列哪組角可以作為某個(gè)空間向量的方向角-（ ）（A） （B） （C） （D）3. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空間兩點(diǎn)，向量的模是：（ ）A ） B） C） 6 D）94. 設(shè)a=1,-1,3, b=2,-1,2，求c=3a-2b是：（ ）A ）-1,1,5. B） -1,-1,5. C） 1,-1,5. D）-1,-1,6. 5、 已知向量的終點(diǎn)為則起點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ ）；、 、 、 、6、已知向量則垂

44、直與及軸的單位向量 （ ）；、 、 、 、7、零向量的方向（ ）；、是一定的； 、是任意的； 、與坐標(biāo)軸間的夾角相等； 、以上結(jié)論都不對(duì)。8、單位向量的方向 （ ）；、必相等； 、不相等； 、不一定相等； 、向量的方向必相同。9、兩個(gè)單位向量（ ）；、是一定的； 、是任意的； 、與坐標(biāo)軸間的夾角相等； 、以上結(jié)論都不對(duì)。二、填空題1（4）在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？(1) 第_卦限 (2) 第_卦限 (3) 第_卦限 (4) 第_卦限2、 已知兩點(diǎn)與，與向量方向一致的單位向量= 。3、若，則中點(diǎn)坐標(biāo)為， 4、若為向量的方向角，則 _ _ .5、與的位置關(guān)系_ .6、已知，且，則

45、（1）=_；（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為_。7、已知點(diǎn)的向徑為單位向量，且與軸的夾角為，另外兩個(gè)方向角相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_。三、計(jì)算題2、已知，求，和3、 設(shè)求5、化簡(jiǎn) 6、已知向量與各坐標(biāo)軸成相等的銳角，若，求的坐標(biāo)。7、試證明以三點(diǎn)A（4,1,9）、B（10，-1,6）、C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形。數(shù)量積、向量積、混合積一、選擇題1、 設(shè)求是：（ ） A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k2、設(shè)的頂點(diǎn)為，求三角形的面積是：A ） B） C） D）33、下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是-（ ）(A) (B) (C) (D) 二、填空題1、已知，且

46、，則 2、與的位置關(guān)系為_3、設(shè)，則 =_=_三、計(jì)算題1、設(shè)，求 2、試找出一個(gè)與同時(shí)垂直的向量。3、已知，試在軸上求一點(diǎn)，使的面積最小。4、設(shè)。5、設(shè)已知向量，計(jì)算曲面及其方程一、選擇題1、設(shè)球面方程為則下列點(diǎn)在球面內(nèi)部的是（ ）；、 、 、 、2、列曲面中經(jīng)過原點(diǎn)的曲面是（ ）；、 、 、3、 曲面的圖形關(guān)于（ ）；、平面對(duì)稱； 、平面對(duì)稱；、平面對(duì)稱； 、原點(diǎn)對(duì)稱。4、在空間直角坐標(biāo)系里表示（ ）；、一個(gè)點(diǎn)； 、平面； 、橢圓 、橢圓面。5母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是( )(A) (B) (C) (D) 6、將曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的曲面為（ ）（A）圓錐面 （B）旋轉(zhuǎn)拋物面

47、（C）橢球面 （D）拋物柱面7、在空間直角坐標(biāo)系中，是（ ）（A）圓 （B）球 （C）一點(diǎn) （D）圓柱面二、計(jì)算題3、設(shè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離等于從這點(diǎn)到平面的距離的一半，試求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡。4、坐標(biāo)面的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是： 空間曲線及其方程1、求出平面與橢球面的交線方程。2、指出下列曲面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線分別是什么曲線？（1）； （2）；（3）； （4）平面及其方程1、在空間直角坐標(biāo)系下，方程的圖形表示為（ ）；、通過原點(diǎn)的直線； 、垂直于軸的直線；、垂直于軸的平面； 、通過軸的平面。2、直線與平面的位置關(guān)系為-（ ）（A）平行 （B）垂直 （C）斜交 （D）在平面上3. 平面與面夾角

48、為-（ ） （A） （B） （C） （D）4、 通過點(diǎn)且平行與平面的平面方程為（ ）；、 、 、 、5、在軸上的截距分別為（ ）；、 、 、 、6、平面（ ）；、平行于軸； 、平行于軸； 、平行于軸； 、過原點(diǎn)。7. 求兩平面和的夾角是：（ ）A ） B） C） D）8、已知空間三點(diǎn)M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求AMB是（ ）A ） B） C） D）9、平面與平面的位置關(guān)系是( )(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合10. 求平行于軸，且過點(diǎn)和的平面方程是（ ）A）2x+3y-5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D

49、）11、設(shè)平面方程為，且，則平面( )（A）平行于軸 （B）平行于軸 （C）經(jīng)過軸 （D）垂直二、填空題1、通過原點(diǎn)且垂直于直線的平面方程為 2、 過點(diǎn)且與坐標(biāo)面平行的平面方程為_ 3、 點(diǎn)到平面的距離為 _4、判定下列兩平面之間的位置關(guān)系：（1）平面與平面 _ （2）平面與平面_5、點(diǎn)到平面的距離d=_6、過點(diǎn)且平行于平面的平面方程為_-7、指出下面各平面的特殊位置：（1）x=0;(2)3y-1=0;(3)2x-3y-6=0;(4)x-3y=0;(5)y+z=1;(6)x-2z=0(7)6x-z+5=0三、計(jì)算題1.求下列各平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程和一般方程：（1）通過點(diǎn)和點(diǎn)且平行于矢量的平面（

50、2）通過點(diǎn)和且垂直于坐標(biāo)面的平面；（3）已知四點(diǎn)，。求通過直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過直線AB且與平面垂直的平面。2、求下列各平面的方程：（）通過點(diǎn)，且又通過直線的平面；（）通過直線且與直線平行的平面；（）通過直線且與平面垂直的平面；（4）平行軸，且過點(diǎn)和的平面（5）過點(diǎn)和且垂直于平面3、 求下列平面的一般方程.通過點(diǎn)和且分別平行于三坐標(biāo)軸的三個(gè)平面;過點(diǎn)且在軸和軸上截距分別為和的平面;與平面垂直且分別通過三個(gè)坐標(biāo)軸的三個(gè)平面;已知兩點(diǎn),求通過且垂直于的平面;4、求兩平行平面，間的距離：5、求過三點(diǎn)的平面方程。（）二平面夾角的計(jì)算（夾角規(guī)定為0,）。6、求兩平面和的夾角。7、求與之

51、間的距離。9、求過點(diǎn)（1,2,1）而與兩直線和平行的平面的方程。10、求證：直線包含在平面之內(nèi)。空間直線及其方程一、選擇題1、 設(shè)空間直線方程則此直線經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）；、 、 、 、2、在空間直角坐標(biāo)系里表示（ ）；、一個(gè)點(diǎn)； 、兩條直線； 、兩個(gè)平面的交線，即直線 、兩個(gè)點(diǎn)。3、空間直線 與平面的相互位置關(guān)系是（ ）（A）互相平行但不相交 （B）互相垂直（C）不平行也不垂直 （D）直線在平面內(nèi)4、設(shè)直線方程為，且，則直線( )（A）過原點(diǎn) （B）平行于軸 （C）垂直于軸 （D）平行于軸5、 求點(diǎn)到直線L：的距離是：（ ）A ） B C） D）二、填空題1、過點(diǎn)且垂直于平面的直線方程_；2、過點(diǎn)且平行于直線的直線方程_；3、過點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程_;4、直線通過原點(diǎn)的條件是什么？5、.確定的值，使：（1）直線與平面平行則=_；