《數(shù)學(xué)物理方法》課程一.ppt

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1、主講教師:冉揚(yáng)強(qiáng),,,,,,數(shù)學(xué)物理方法,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),主要內(nèi)容,(1)、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算 (2)、復(fù)數(shù)的幾何表示 (3)、復(fù)數(shù)的乘冪與方根 (4)、區(qū)域與約當(dāng)曲線 (5)、復(fù)變函數(shù)的概念 (6)、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù) (7)、復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念,重點(diǎn)和難點(diǎn),重點(diǎn)：復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)的定義、運(yùn)算規(guī)則；復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念；區(qū)域與約當(dāng)曲線 難點(diǎn)：復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),第一節(jié) 復(fù)數(shù) 1、復(fù)數(shù) 一個(gè)復(fù)數(shù)可表示為 其中 x, y 為實(shí)數(shù)，分別為復(fù)數(shù)z 的實(shí)部與虛部，記為x =ReZ, y=ImZ; ( 即 ) 為虛單位。復(fù)數(shù)的上述表示稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)式。 討論：1)實(shí)部

2、為零的復(fù)數(shù) 稱為純虛數(shù),虛部為零的復(fù)數(shù) z = x 稱為實(shí)數(shù)。全體實(shí)數(shù)只是全體復(fù)數(shù)的一部分. 2)若實(shí)部x = 0 , 虛部y = 0 , 則 z = 0 ——復(fù)數(shù)零. 即:,,,,,,2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 1)相等: 2)和差: 3)積: 4)商: 從復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的定義中很明顯的得出復(fù)數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律，即 交換律： 結(jié)合律：,,,,,,,分配律： 全體復(fù)數(shù)在引入相等關(guān)系和運(yùn)算法則以后，稱為復(fù)數(shù)域. 在復(fù)數(shù)域中，復(fù)數(shù)沒(méi)有大小. 3、復(fù)平面 如果把 x 和 y 當(dāng)作平面上 的點(diǎn)的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z 就跟平 面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)， 這個(gè)平面叫做復(fù)數(shù)平面或 z平面，x 軸稱為實(shí)

3、軸，y 軸稱為虛軸.,,,在復(fù)平面上，從原點(diǎn)到點(diǎn) z 所引的矢量與復(fù)數(shù) z 也構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且復(fù)數(shù)的相加、減與矢量相加、減的法則是一致的，即滿足平行四邊形法則，例如： 這樣，構(gòu)成了復(fù)數(shù)、點(diǎn)、矢量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.,,,4、復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式 用極坐標(biāo)r,θ代替直角坐標(biāo)x和y來(lái)表示復(fù)數(shù)z.有 則復(fù)數(shù)ｚ可表示為： ——三角式 利用歐拉公式： ，復(fù)數(shù)ｚ可表示為： ——指數(shù)式 叫做復(fù)數(shù)ｚ的模，θ稱為復(fù)數(shù)ｚ的幅角，記為Ａrg z,,,,,討論：i). 復(fù)數(shù)的幅角不能唯一地確定. 如果 是其中一

4、個(gè)幅角，則 也是其幅角，把屬于 的幅角稱為主值幅角，記為 arg z. ii). 復(fù)數(shù)“零”的幅角無(wú)定義，其模為零. iii). 當(dāng)r=1時(shí), 稱為單位復(fù)數(shù). 利用復(fù)數(shù)的指數(shù)形式作乘除法比較簡(jiǎn)單，如： 所以有,根據(jù)圖1.1，圖1.2，圖1.3 還可以得出三角不等式 5、共軛復(fù)數(shù) 一個(gè)復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)為 或,,,,,稱ｚ與 復(fù)數(shù)共軛. 性質(zhì)： 6、復(fù)數(shù)的乘冪與方根 非零復(fù)數(shù)ｚ的整數(shù)次冪為,,,,,當(dāng)r ＝１時(shí) 上式為棣摩弗公式. 非零復(fù)數(shù)ｚ的整數(shù)次根式

5、 為 k=0,1,2,…，n-1. 討論：給定的 可以取n個(gè)不同的值，它們沿中心在原點(diǎn)，半徑為 的圓周而等距地分布著.,,,,,第二節(jié) 復(fù)變函數(shù)的基本概念 1、區(qū)域與約當(dāng)曲線 (1)、區(qū)域的定義：設(shè)有非空點(diǎn)集D，如果滿足： ①開集性：在D中的每一點(diǎn)z ，都必有以z 點(diǎn)為圓心的一個(gè)充分小的圓全含于D內(nèi)(即圓內(nèi)的每點(diǎn)都是D內(nèi)的點(diǎn)). ②連通性：D內(nèi)任意兩點(diǎn)都可以用一條由D內(nèi)的點(diǎn)所構(gòu)成的折線連接. 則稱D為區(qū)域（圖1.4） (2)、鄰域：鄰域是區(qū)域最簡(jiǎn)單的例子，所謂點(diǎn)a 的 鄰域，是指滿足 的點(diǎn),

6、,,所組成的集合.即以a為 心， 為半徑的圓的內(nèi) 部(圖1.4) (3)、界點(diǎn)，邊界，閉區(qū)域 若點(diǎn)P不屬于區(qū)域D， 但在P的任意鄰域內(nèi)總包 含有D中的點(diǎn)，則點(diǎn)P叫做 區(qū)域D的界點(diǎn). D的所有界點(diǎn)的集合叫做D的邊界(圖1.4). 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域，用 表示. (4)、簡(jiǎn)單曲線或約當(dāng)曲線,,①、連續(xù)曲線：如果 和 是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)，則方程組 代表一條平面曲線，稱為連續(xù)曲線，如果用 來(lái)表示，這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式. ②、重點(diǎn)：若對(duì) 不同時(shí)是 的端點(diǎn)，有 ，則稱 為曲線c的重點(diǎn). ③簡(jiǎn)單曲線（或約當(dāng)曲線）：沒(méi)有重點(diǎn)的連

7、續(xù),,,,,,,,曲線稱為簡(jiǎn)單曲線或約當(dāng)曲線. ④簡(jiǎn)單閉曲線：如果簡(jiǎn)單曲線c的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，即 ，則稱曲線c為簡(jiǎn)單閉曲線或約當(dāng)閉曲線(圖1.5(a)) 因此，連續(xù)曲線有以下四種情況:,,,④、單連通域與復(fù)連通域：如果在區(qū)域D內(nèi)任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，而曲線的內(nèi)部每一點(diǎn)都屬于D，則稱D為單連通區(qū)域. 如果一個(gè)區(qū)域不是單連通區(qū)域，則稱為復(fù)連通區(qū)域. 單連通區(qū)域的重要特征是：區(qū)域D內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，在D內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的變形而縮成一點(diǎn)，而復(fù)連通區(qū)域不具有這個(gè)特征.,,2、復(fù)變函數(shù)的概念 (1)、復(fù)變函數(shù)的定義 設(shè)D為復(fù)數(shù) 的集合， 式中： 表示所有的，任意等意思

8、； 表示存在. z 稱為自變量（或宗量），D稱為函數(shù)的定義域，而對(duì)應(yīng)值w 的全體所構(gòu)成的復(fù)數(shù)集稱為函數(shù)的值域. 把復(fù)變函數(shù) 的實(shí)部和虛部分別記作,,,,,,,，即 這就是說(shuō)，復(fù)變函數(shù)可以歸結(jié)為一對(duì)二元實(shí)函數(shù)，因此，實(shí)變函數(shù)論的許多定義、公式、定理都可以直接移植到復(fù)變函數(shù)論中，如復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性等. (2)、復(fù)變函數(shù)的幾何表示 要描述 的圖形，可取兩張復(fù)平面，分別稱為 z 平面與 w 平面，而把復(fù)變函數(shù)理解為兩個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集間的對(duì)應(yīng)，如圖1.7所示. 具體地說(shuō)，復(fù)變函數(shù) 給出了從 z 平面上的點(diǎn)集D到 w 平面上的點(diǎn)集F間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，與點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

9、稱為的z 點(diǎn),,,,的象點(diǎn)，而z 點(diǎn)就稱為w 的原象. 3、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù) 這部分的內(nèi)容與實(shí)變函數(shù)的極限與連續(xù)類似，請(qǐng)大家自學(xué).,第三節(jié)、復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 1、復(fù)球面 復(fù)數(shù)的另一種幾何表示，就是建立復(fù)平與球面上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)。 把一個(gè)球放在復(fù) 平面上，球以南極 S 跟復(fù)數(shù)平面相切 于原點(diǎn)，通過(guò)O點(diǎn) 作一垂直于z平面 的直線與球面交于N點(diǎn)，N 稱為球的北極。,在復(fù)平面上任取一點(diǎn) z ，與球的北極N的聯(lián)線跟球面相交于 ，這樣就建立起復(fù)平面上的有限遠(yuǎn)點(diǎn)跟球面N以外的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，這個(gè)球叫做復(fù)數(shù)球. 考察平面上一個(gè)以原點(diǎn)為心的圓周C，在球面上對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)圓周Γ（即緯線），

10、當(dāng)圓周C的半徑越來(lái)越大時(shí)，圓周就越趨于北極N.因此，我們可以把北極N與平面上的一個(gè)模為無(wú)窮大的假想點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，這個(gè)假想點(diǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并記為 . 無(wú)遠(yuǎn)點(diǎn)的幅角沒(méi)有明確意義，復(fù)平面加上 點(diǎn)后，稱為擴(kuò)充平面（或閉平面，全平面），與它所對(duì)應(yīng)的就是整個(gè)球面，稱為復(fù)球面，原來(lái)的復(fù)平面稱為開平面.,,,討論： 1)復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ，只有一點(diǎn)，即當(dāng) 時(shí) 的極限點(diǎn)(不論 取何值)， 是指 z 沿任意方向趨于 . 2) 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的運(yùn)算與實(shí)變函數(shù)中的復(fù)變函數(shù)的運(yùn)算相似. 2、閉平面上的幾個(gè)概念 i）.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域：以原點(diǎn)為心的某圓周的外部，即 的 鄰域是指合乎條件 的z 的點(diǎn)集. ii）.閉平面是唯一的無(wú)邊界的區(qū)域，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是開平面的界點(diǎn)，是閉平面的內(nèi)點(diǎn).,,,,,,,,,