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1、主講教師:冉揚強,,,,,,數(shù)學物理方法,第一章 復數(shù)與復變函數(shù),主要內(nèi)容,(1)、復數(shù)及其代數(shù)運算 (2)、復數(shù)的幾何表示 (3)、復數(shù)的乘冪與方根 (4)、區(qū)域與約當曲線 (5)、復變函數(shù)的概念 (6)、復變函數(shù)的極限與連續(xù) (7)、復球面與無窮遠點的概念,重點和難點,重點：復數(shù)和復變函數(shù)的定義、運算規(guī)則；復球面與無窮遠點的概念；區(qū)域與約當曲線 難點：復球面與無窮遠點,第一節(jié) 復數(shù) 1、復數(shù) 一個復數(shù)可表示為 其中 x, y 為實數(shù)，分別為復數(shù)z 的實部與虛部，記為x =ReZ, y=ImZ; ( 即 ) 為虛單位。復數(shù)的上述表示稱為復數(shù)的代數(shù)式。 討論：1)實部
2、為零的復數(shù) 稱為純虛數(shù),虛部為零的復數(shù) z = x 稱為實數(shù)。全體實數(shù)只是全體復數(shù)的一部分. 2)若實部x = 0 , 虛部y = 0 , 則 z = 0 ——復數(shù)零. 即:,,,,,,2、復數(shù)的四則運算 1)相等: 2)和差: 3)積: 4)商: 從復數(shù)的運算法則的定義中很明顯的得出復數(shù)運算的交換律、結(jié)合律和分配律，即 交換律： 結(jié)合律：,,,,,,,分配律： 全體復數(shù)在引入相等關(guān)系和運算法則以后，稱為復數(shù)域. 在復數(shù)域中，復數(shù)沒有大小. 3、復平面 如果把 x 和 y 當作平面上 的點的坐標，復數(shù)z 就跟平 面上的點一一對應起來， 這個平面叫做復數(shù)平面或 z平面，x 軸稱為實
3、軸，y 軸稱為虛軸.,,,在復平面上，從原點到點 z 所引的矢量與復數(shù) z 也構(gòu)成一一對應關(guān)系，且復數(shù)的相加、減與矢量相加、減的法則是一致的，即滿足平行四邊形法則，例如： 這樣，構(gòu)成了復數(shù)、點、矢量之間的一一對應關(guān)系.,,,4、復數(shù)的三角形式和指數(shù)形式 用極坐標r,θ代替直角坐標x和y來表示復數(shù)z.有 則復數(shù)ｚ可表示為： ——三角式 利用歐拉公式： ，復數(shù)ｚ可表示為： ——指數(shù)式 叫做復數(shù)ｚ的模，θ稱為復數(shù)ｚ的幅角，記為Ａrg z,,,,,討論：i). 復數(shù)的幅角不能唯一地確定. 如果 是其中一
4、個幅角，則 也是其幅角，把屬于 的幅角稱為主值幅角，記為 arg z. ii). 復數(shù)“零”的幅角無定義，其模為零. iii). 當r=1時, 稱為單位復數(shù). 利用復數(shù)的指數(shù)形式作乘除法比較簡單，如： 所以有,根據(jù)圖1.1，圖1.2，圖1.3 還可以得出三角不等式 5、共軛復數(shù) 一個復數(shù) 的共軛復數(shù)為 或,,,,,稱ｚ與 復數(shù)共軛. 性質(zhì)： 6、復數(shù)的乘冪與方根 非零復數(shù)ｚ的整數(shù)次冪為,,,,,當r ＝１時 上式為棣摩弗公式. 非零復數(shù)ｚ的整數(shù)次根式
5、 為 k=0,1,2,…，n-1. 討論：給定的 可以取n個不同的值，它們沿中心在原點，半徑為 的圓周而等距地分布著.,,,,,第二節(jié) 復變函數(shù)的基本概念 1、區(qū)域與約當曲線 (1)、區(qū)域的定義：設有非空點集D，如果滿足： ①開集性：在D中的每一點z ，都必有以z 點為圓心的一個充分小的圓全含于D內(nèi)(即圓內(nèi)的每點都是D內(nèi)的點). ②連通性：D內(nèi)任意兩點都可以用一條由D內(nèi)的點所構(gòu)成的折線連接. 則稱D為區(qū)域（圖1.4） (2)、鄰域：鄰域是區(qū)域最簡單的例子，所謂點a 的 鄰域，是指滿足 的點,
6、,,所組成的集合.即以a為 心， 為半徑的圓的內(nèi) 部(圖1.4) (3)、界點，邊界，閉區(qū)域 若點P不屬于區(qū)域D， 但在P的任意鄰域內(nèi)總包 含有D中的點，則點P叫做 區(qū)域D的界點. D的所有界點的集合叫做D的邊界(圖1.4). 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域，用 表示. (4)、簡單曲線或約當曲線,,①、連續(xù)曲線：如果 和 是兩個連續(xù)的實變函數(shù)，則方程組 代表一條平面曲線，稱為連續(xù)曲線，如果用 來表示，這就是平面曲線的復數(shù)表示式. ②、重點：若對 不同時是 的端點，有 ，則稱 為曲線c的重點. ③簡單曲線（或約當曲線）：沒有重點的連
7、續(xù),,,,,,,,曲線稱為簡單曲線或約當曲線. ④簡單閉曲線：如果簡單曲線c的起點與終點重合，即 ，則稱曲線c為簡單閉曲線或約當閉曲線(圖1.5(a)) 因此，連續(xù)曲線有以下四種情況:,,,④、單連通域與復連通域：如果在區(qū)域D內(nèi)任作一條簡單閉曲線，而曲線的內(nèi)部每一點都屬于D，則稱D為單連通區(qū)域. 如果一個區(qū)域不是單連通區(qū)域，則稱為復連通區(qū)域. 單連通區(qū)域的重要特征是：區(qū)域D內(nèi)任意一條簡單閉曲線，在D內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點，而復連通區(qū)域不具有這個特征.,,2、復變函數(shù)的概念 (1)、復變函數(shù)的定義 設D為復數(shù) 的集合， 式中： 表示所有的，任意等意思
8、； 表示存在. z 稱為自變量（或宗量），D稱為函數(shù)的定義域，而對應值w 的全體所構(gòu)成的復數(shù)集稱為函數(shù)的值域. 把復變函數(shù) 的實部和虛部分別記作,,,,,,,，即 這就是說，復變函數(shù)可以歸結(jié)為一對二元實函數(shù)，因此，實變函數(shù)論的許多定義、公式、定理都可以直接移植到復變函數(shù)論中，如復變函數(shù)的極限和連續(xù)性等. (2)、復變函數(shù)的幾何表示 要描述 的圖形，可取兩張復平面，分別稱為 z 平面與 w 平面，而把復變函數(shù)理解為兩個復平面上的點集間的對應，如圖1.7所示. 具體地說，復變函數(shù) 給出了從 z 平面上的點集D到 w 平面上的點集F間的一個對應關(guān)系，與點 對應的點
9、稱為的z 點,,,,的象點，而z 點就稱為w 的原象. 3、復變函數(shù)的極限與連續(xù) 這部分的內(nèi)容與實變函數(shù)的極限與連續(xù)類似，請大家自學.,第三節(jié)、復球面與無窮遠點 1、復球面 復數(shù)的另一種幾何表示，就是建立復平與球面上的點的對應。 把一個球放在復 平面上，球以南極 S 跟復數(shù)平面相切 于原點，通過O點 作一垂直于z平面 的直線與球面交于N點，N 稱為球的北極。,在復平面上任取一點 z ，與球的北極N的聯(lián)線跟球面相交于 ，這樣就建立起復平面上的有限遠點跟球面N以外的點的一一對應，這個球叫做復數(shù)球. 考察平面上一個以原點為心的圓周C，在球面上對應的也是一個圓周Γ（即緯線），
10、當圓周C的半徑越來越大時，圓周就越趨于北極N.因此，我們可以把北極N與平面上的一個模為無窮大的假想點相對應，這個假想點稱為無窮遠點，并記為 . 無遠點的幅角沒有明確意義，復平面加上 點后，稱為擴充平面（或閉平面，全平面），與它所對應的就是整個球面，稱為復球面，原來的復平面稱為開平面.,,,討論： 1)復平面上的無窮遠點 ，只有一點，即當 時 的極限點(不論 取何值)， 是指 z 沿任意方向趨于 . 2) 無窮遠點的運算與實變函數(shù)中的復變函數(shù)的運算相似. 2、閉平面上的幾個概念 i）.無窮遠點的鄰域：以原點為心的某圓周的外部，即 的 鄰域是指合乎條件 的z 的點集. ii）.閉平面是唯一的無邊界的區(qū)域，無窮遠點是開平面的界點，是閉平面的內(nèi)點.,,,,,,,,,
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