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1、第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列,專題六 數(shù) 列,板塊三 專題突破核心考點,考情考向分析,1.數(shù)列的概念是A級要求,了解數(shù)列、數(shù)列的項、通項公式、前n項和等概念,一般不會單獨考查. 2.等差數(shù)列、等比數(shù)列主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式以及性質(zhì)的靈活運用,解答題會以等差數(shù)列、等比數(shù)列推理證明為主, 要求都是C級.,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,例1 (2018江蘇南京師大附中模擬)已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn均不是常數(shù)列,若a1b11,且a1,2a2,4a4成等比數(shù)列,4b2,2b3,b4成等差數(shù)列. (1)求an和bn的通項公式;,熱點一 等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算
2、,解答,解 設等差數(shù)列an的公差為d(d0),等比數(shù)列bn的公比為q(q1),,解得d1,q2, 所以ann,bn2n1,nN*.,(2)設m,n是正整數(shù),若存在正整數(shù)i,j,k(ijk),使得ambj,amanbi,anbk成等差數(shù)列,求mn的最小值.,解答,解 由(1)得,ann,bn2n1(nN*),由ambj,amanbi,anbk成等差數(shù)列, 得2amanbiambjanbk, 即2mn2i1m2j1n2k1. 由于ijk,且為正整數(shù),所以ji1,ki2, 所以2mnm2jin2ki2m4n,,所以mn的最小值為6,,在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時,若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則
3、均可化成關于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體計算,以減少計算量.,解析,答案,跟蹤演練1 (1)若Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.則數(shù)列S1,S2,S4的公比為_.,4,解析 設數(shù)列an的公差為d,,(2a1d)2a1(4a16d).,解析,答案,(2)在公差不為零的等差數(shù)列an中,a57,且三個數(shù)a1,a4,a3依次成等比數(shù)列.抽出數(shù)列an的第1,2,22,2n項重新構(gòu)成新數(shù)列bn,數(shù)列bn的前n項和Sn_.,2n213n4(nN*),解析 設數(shù)列an的公差為d,由a1,a4,a3構(gòu)造成的等比數(shù)列的公比為q.,a57,a14d7, a1
4、9,d4.an4n13(nN*). 由題意,數(shù)列an中的第2n項即為數(shù)列bn中的第n1項. bna2n142n113. Snb1b2b3bn 4(12222n1)13n 4(2n1)13n. Sn2n213n4(nN*).,熱點二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明,證明,例2 (2018宿遷一模)已知數(shù)列an,其前n項和為Sn,滿足a12,Snnanan1,其中n2,nN*,R. (1)若0,4,bnan12an(nN*),求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;,證明 若0,4,則Sn4an1(n2), 所以an1Sn1Sn4(anan1), 即an12an2(an2an1), 所以bn2bn1, 又由a12,a
5、1a24a1, 得a23a16,a22a120,即b10,,證明,證明 若a23,由a1a22a2a1,得562,,a34, 所以a1,a2,a3成等差數(shù)列,,即(n1)an1(n2)an2an10, 所以nan2(n1)an12an0, 相減得nan22(n1)an1(n4)an2an10, 所以n(an22an1an)2(an12anan1)0,,因為a12a2a30,所以an22an1an0, 即數(shù)列an是等差數(shù)列.,數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法 (1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法 利用定義,證明an1an(nN*)為一常數(shù). 利用中項性質(zhì),即證明2anan1an1(n
6、2,nN*). (2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法,證明,解答,(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列,求實數(shù)t的值.,如果數(shù)列bn是等差數(shù)列,則2b2b1b3,,則t216t480,解得t4或12.,數(shù)列bn是等差數(shù)列,符合題意;,b2b42b3,數(shù)列bn不是等差數(shù)列,t12不符合題意. 綜上,若數(shù)列bn是等差數(shù)列,則t4.,熱點三 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合,證明,例3 在數(shù)列an中,已知a1a21,anan22an1,nN*,為常數(shù). (1)證明:a1,a4,a5成等差數(shù)列;,證明 因為anan22an1,a1a21, 所以a32a2a11. 同理,a42a3a231, a52a4a361.
7、又因為a4a13,a5a43, 所以a1,a4,a5成等差數(shù)列.,解答,(2)設cn ,求數(shù)列cn的前n項和Sn;,解 由anan22an1,得 an2an1an1an, 令bnan1an,則bn1bn,b1a2a10, 所以bn是以0為首項,為公差的等差數(shù)列, 所以bnb1(n1)(n1), 即an1an(n1), 所以an2an2(an1an)(2n1), 所以cn 2(2n1). Snc1c2cn223252(2n1). 當0時,Snn;,解答,(3)當0時,數(shù)列an1中是否存在三項as11,at11,ap11成等比數(shù)列,且s,t,p也成等比數(shù)列?若存在,求出s,t,p的值;若不存在,說
8、明理由.,解 由(2)知an1an(n1),,假設存在三項as11,at11,ap11成等比數(shù)列,且s,t,p也成等比數(shù)列, 則(at11)2(as11)(ap11),,因為s,t,p成等比數(shù)列,所以t2sp, 所以(t1)2(s1)(p1), 化簡得sp2t,聯(lián)立t2sp, 得stp,這與題設矛盾. 故不存在三項as11,at11,ap11成等比數(shù)列,且s,t,p也成等比數(shù)列.,數(shù)列的綜合題,常將等差、等比數(shù)列結(jié)合在一起,形成兩者之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化;有些數(shù)列題目條件已指明是等差(或等比)數(shù)列,有的數(shù)列并沒有指明,但可以通過分析構(gòu)造,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后應用等差、等比數(shù)列的相關
9、知識解決問題.,解答,跟蹤演練3 已知數(shù)列an滿足2an1anan2k(nN*,kR),且a12,a3a54. (1)若k0,求數(shù)列an的前n項和Sn;,解 當k0時,2an1anan2, 即an2an1an1an, 所以數(shù)列an是等差數(shù)列.,解答,(2)若a41,求數(shù)列an的通項公式.,解 由題意得2a4a3a5k, 即24k,所以k2. 由2a3a2a42及2a2a1a32,得a42a3a222(2a2a12)a223a22a16,所以a23. 由2an1anan22,得 (an2an1)(an1an)2, 所以數(shù)列an1an是以a2a11為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以an1an2n3(
10、nN*). 當n2時,有anan12(n1)3, 于是an1an22(n2)3,,an2an32(n3)3, , a3a2223, a2a1213, 疊加得,ana1212(n1)3(n1)(n2),,又當n1時,a12也適合上式. 所以數(shù)列an的通項公式為ann24n1,nN*.,真題押題精練,答案,解析,1,2,3,4,5,32,解析 設數(shù)列an的首項為a1,公比為q(q1),,1,2,3,4,5,2.(2018江蘇)已知集合Ax|x2n1,nN*,Bx|x2n,nN*.將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an.記Sn為數(shù)列an的前n項和,則使得Sn12an1成立的n的最小值為_.
11、,答案,解析,27,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 經(jīng)過列舉計算可知,而a2743. 12a27516,不符合題意.,a2845,12a28540,符合題意. 使得Sn12an1成立的n的最小值為27.,答案,解析,1,2,3,4,5,4,1,2,3,4,5,解析 設等差數(shù)列an的公差為d,,所以b7a72. 因為數(shù)列bn是等比數(shù)列,,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 當n2時,anSnSn1, SnSn12SnSn1, Sn(12Sn1)Sn1, 顯然,若Sn10,則Sn0,,由遞推關系式知Sn0(nN*),,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5
12、,5.設數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足Sn2an,n1,2,3,. (1)求數(shù)列an的通項公式;,1,2,3,4,5,解 因為當n1時,a1S1a1a12,所以a11. 因為Sn2an,即anSn2, 所以an1Sn12. 兩式相減,得an1anSn1Sn0, 即an1anan10,故有2an1an.,解答,1,2,3,4,5,(2)若數(shù)列bn滿足b11,且bn1bnan,求數(shù)列bn的通項公式;,解 因為bn1bnan(n1,2,3,),,將這n1個等式相加,得,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(3)在(2)的前提條件下,設cnn(3bn),求數(shù)列cn的前n項和Tn.,1,2,3,4,5,