2020年河南中考復(fù)習(xí)專題— 第23題 二次函數(shù)—直角三角形存在性學(xué)案設(shè)計(jì)

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1、二次函數(shù)—直角三角形存在性問題 例?1.(2019?河南)如圖，拋物線?𝑦?=?𝑎𝑥2?+?1?𝑥?+?𝑐?交?x?軸于?A、B?兩點(diǎn)，交?y?軸于點(diǎn)?C，直線𝑦?=???1?𝑥?? 2 2 2?經(jīng)過點(diǎn)?A、C. （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)?P?是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)?P?作?x?軸的垂線，交直線?AC?于點(diǎn)?M，設(shè)點(diǎn)?P?的橫坐標(biāo)為?m?.當(dāng) △PCM?是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)?P?的坐標(biāo)； （1）由直線𝑦

2、;?=?????𝑥???2??解析式方便得出?A、C?兩點(diǎn)的坐標(biāo)： 解析： 1 2 A（-4，0），C（0，2），將?A、C?兩點(diǎn)坐標(biāo)帶入拋物線解析式 𝑦?=?𝑎𝑥2?+?1?𝑥?+?𝑐，便可求出?a、c?的值，的除解析式為：𝑦?= 2  A y MO  B??????x 1?𝑥2?+?1?

3、9909;???2. 4 2 （2）方法：數(shù)形結(jié)合 由圖可知點(diǎn)?M?處不可能為直角，所以有兩種情況：∠CPM=90°或∠PCM=90°. P  C +?1?𝑚???2?=??2，解得：𝑚1?=?0(舍去)，𝑚2?=??2. （i）當(dāng)∠CPM=90°時(shí)，PC∥x?軸，∴ 1?𝑚2 4???????2 ∴??𝑚2?+???𝑚???2?=?2m???2，解得：𝑚1?=?0(舍去)，𝑚2?=?6. 此時(shí)?P

4、?點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-2） （ii）當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，OC⊥直線?AC，∴直線?PC?解析式為：𝑦?=?2𝑥???2. 1 1 4 2 此時(shí)?P?點(diǎn)坐標(biāo)為（6，10）. ∴P?點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-2）或（6，10） 方法總結(jié)：直角三角形存在性問題，關(guān)鍵是談?wù)撝苯琼旤c(diǎn)，只要確定了直角頂點(diǎn)，這一類問題 就能迎刃而解。 1.確定直角頂點(diǎn)：已知兩個(gè)定點(diǎn)，確定第三點(diǎn)的位置構(gòu)造直角三角形時(shí)，要么分別以兩個(gè)定點(diǎn)為 直角頂點(diǎn)，要么以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)。①以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過定點(diǎn)構(gòu)造已知直線的垂線；② 以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)

5、時(shí)，以已知線段為直徑構(gòu)造圓確定動(dòng)點(diǎn)位置。 k 2.解題方法：①以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，由兩直線互相垂直，?1·k2＝﹣1，及頂點(diǎn)坐標(biāo)，可確定動(dòng) 點(diǎn)所在垂線的解析式，從而求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；②以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，可構(gòu)造雙垂直模型，運(yùn)用 三角形相似、銳角三角函數(shù)求解，有時(shí)也可以分別表示出三邊的長(zhǎng)度，利用勾股定理求解。 例?2．已知：直線?y=1x﹣3?與?x?軸、y?軸分別交于點(diǎn)?A、B，拋物線?y=1x2+bx+c?經(jīng)過點(diǎn)?A、B，且交?x 2 3 軸于點(diǎn)?C． （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)?P?為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)?P?在?AB?的下方，設(shè)點(diǎn)?P?的橫

6、坐標(biāo)為?m． ①試求當(dāng)?m?為何值時(shí)，△PAB?的面積最大； ②當(dāng)△PAB?的面積最大時(shí)，過點(diǎn)?P?作?x?軸的垂線?PD，垂足為點(diǎn)?D，問在直線?PD?上否存在點(diǎn)?Q，使 △QBC?為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的?Q?的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說明理由． y y C O A??x C??O A??x B  P B 解析： （1）由直線𝑦?=?1?𝑥???3?解析式方便得出?A、B?兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A（6，0），C（0，-3），再利用待

7、定 2 系數(shù)法即可求出拋物線解析式為：𝑦?=?1?𝑥2???3?𝑥???3. 3 2 D , （2）①過點(diǎn)?P?做?PD⊥x?軸交?AB?于點(diǎn)?F，∴P?點(diǎn)坐標(biāo)為（m,?1?𝑚2???3?𝑚???3），?點(diǎn)坐標(biāo)為（m,?1?𝑚???3） 3 2 2 在利用?1/2（鉛垂高×水平寬），可得?S △PAB＝﹣m2+6m，利用配方法或二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決 問題，m＝3?時(shí)，△PAB?的面積最大，最大值為?9. ②由拋物線解析式可得?C?點(diǎn)坐標(biāo)為（

8、﹣3?，0），設(shè)點(diǎn)?Q?坐標(biāo)為（3，n） 2 方法?1：分別表示出?CQ2=(9)2?+?𝑛2，BC2=9+?9，BQ2=9+(n+3)2，分別以三個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，利 2 4 用勾股定理列出關(guān)于?n?的方程，計(jì)算即可得出結(jié)論. 方法?2：連接?BC，則?BC?解析式為?y=﹣2x-3，∵（-2）×1?=?﹣1，∴BC⊥BA 2 （i）以?B?點(diǎn)為直角頂點(diǎn)（即∠CBQ＝90°），點(diǎn)?Q?即為?F?點(diǎn)（3，??3）； 2 （ii）以?C?點(diǎn)為直角頂點(diǎn)（即∠BCQ＝90°），過點(diǎn)?C?做?CQ⊥BC，交直線?CD?于點(diǎn)?Q?.由?k1·k2＝-1，

9、 及?C?點(diǎn)坐標(biāo)，可得?CQ?解析式為𝑦?=?1?𝑥?+?3，由𝑦?=?1?𝑥?+?3?和?x=3，可得?Q?點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9）； 2 4 2 4 4 （iii）以?Q?點(diǎn)為直角頂點(diǎn)（即?BC?為直角邊），以?BC?為直徑的圓與直線?PD?沒有交點(diǎn)，所以此情況 不存在. 綜上，點(diǎn)?Q?的坐標(biāo)為（3，??3）或（3，9）. 2 4 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)?y=﹣1x+2?的圖象與?x?軸交于點(diǎn)?A，與?y?軸交于點(diǎn)?C，拋 2 物線?y=ax2+bx+c?關(guān)于直線?x=3對(duì)稱

10、，且經(jīng)過?A．C?兩點(diǎn)，與?x?軸交于另一點(diǎn)為?B． 2 （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)?P?為直線?AC?上方的拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)?P?作?PQ⊥x?軸于?M，交?AC?于?Q，求?PQ?的最 大值，并求此時(shí)△APC?的面積； （3）在拋物線的對(duì)稱軸上找出使△ADC?為直角三角形的點(diǎn)?D，直接寫出點(diǎn)?D?的坐標(biāo)． y P C Q AO B??x 2．如圖，在矩形?OABC?中，點(diǎn)?O?為原點(diǎn)，邊?OA?的長(zhǎng)度為?8，對(duì)角線?AC=10，拋物線?y=?

11、?4x2+bx+c 9 經(jīng)過點(diǎn)?A、C，與?AB?交于點(diǎn)?D． （1）求拋物線的函數(shù)解析式； （2）點(diǎn)?P?為線段?BC?上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)?C?重合），點(diǎn)?Q?為線段?AC?上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=CP，連接?PQ， 設(shè)?CP=m，△CPQ?的面積為?S． ①求?S?關(guān)于?m?的函數(shù)表達(dá)式并求出?S?最大時(shí)的?m?值； ②在?S?最大的情況下，在拋物線?y=??4x2+bx+c?的對(duì)稱軸上，若存在點(diǎn)?F，使△DFQ?為直角三角形， 9 請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)?F?的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． y A  D????B y A  D????B Q Q P P C??????????????????? O???????? C?? x O x