2020年河南中考復習專題— 第23題 二次函數—直角三角形存在性學案設計

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1、二次函數—直角三角形存在性問題 例?1.(2019?河南)如圖，拋物線?𝑦?=?𝑎𝑥2?+?1?𝑥?+?𝑐?交?x?軸于?A、B?兩點，交?y?軸于點?C，直線𝑦?=???1?𝑥?? 2 2 2?經過點?A、C. （1）求拋物線的解析式； （2）點?P?是拋物線上一動點，過點?P?作?x?軸的垂線，交直線?AC?于點?M，設點?P?的橫坐標為?m?.當 △PCM?是直角三角形時，求點?P?的坐標； （1）由直線𝑦

2、;?=?????𝑥???2??解析式方便得出?A、C?兩點的坐標： 解析： 1 2 A（-4，0），C（0，2），將?A、C?兩點坐標帶入拋物線解析式 𝑦?=?𝑎𝑥2?+?1?𝑥?+?𝑐，便可求出?a、c?的值，的除解析式為：𝑦?= 2  A y MO  B??????x 1?𝑥2?+?1?

3、9909;???2. 4 2 （2）方法：數形結合 由圖可知點?M?處不可能為直角，所以有兩種情況：∠CPM=90°或∠PCM=90°. P  C +?1?𝑚???2?=??2，解得：𝑚1?=?0(舍去)，𝑚2?=??2. （i）當∠CPM=90°時，PC∥x?軸，∴ 1?𝑚2 4???????2 ∴??𝑚2?+???𝑚???2?=?2m???2，解得：𝑚1?=?0(舍去)，𝑚2?=?6. 此時?P

4、?點坐標為（-2，-2） （ii）當∠PCM=90°時，OC⊥直線?AC，∴直線?PC?解析式為：𝑦?=?2𝑥???2. 1 1 4 2 此時?P?點坐標為（6，10）. ∴P?點坐標為（-2，-2）或（6，10） 方法總結：直角三角形存在性問題，關鍵是談論直角頂點，只要確定了直角頂點，這一類問題 就能迎刃而解。 1.確定直角頂點：已知兩個定點，確定第三點的位置構造直角三角形時，要么分別以兩個定點為 直角頂點，要么以動點為直角頂點。①以定點為直角頂點時，過定點構造已知直線的垂線；② 以動點為直角頂點

5、時，以已知線段為直徑構造圓確定動點位置。 k 2.解題方法：①以定點為直角頂點時，由兩直線互相垂直，?1·k2＝﹣1，及頂點坐標，可確定動 點所在垂線的解析式，從而求得動點坐標；②以動點為直角頂點時，可構造雙垂直模型，運用 三角形相似、銳角三角函數求解，有時也可以分別表示出三邊的長度，利用勾股定理求解。 例?2．已知：直線?y=1x﹣3?與?x?軸、y?軸分別交于點?A、B，拋物線?y=1x2+bx+c?經過點?A、B，且交?x 2 3 軸于點?C． （1）求拋物線的解析式； （2）點?P?為拋物線上一點，且點?P?在?AB?的下方，設點?P?的橫

6、坐標為?m． ①試求當?m?為何值時，△PAB?的面積最大； ②當△PAB?的面積最大時，過點?P?作?x?軸的垂線?PD，垂足為點?D，問在直線?PD?上否存在點?Q，使 △QBC?為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的?Q?的坐標若不存在，請說明理由． y y C O A??x C??O A??x B  P B 解析： （1）由直線𝑦?=?1?𝑥???3?解析式方便得出?A、B?兩點的坐標：A（6，0），C（0，-3），再利用待

7、定 2 系數法即可求出拋物線解析式為：𝑦?=?1?𝑥2???3?𝑥???3. 3 2 D , （2）①過點?P?做?PD⊥x?軸交?AB?于點?F，∴P?點坐標為（m,?1?𝑚2???3?𝑚???3），?點坐標為（m,?1?𝑚???3） 3 2 2 在利用?1/2（鉛垂高×水平寬），可得?S △PAB＝﹣m2+6m，利用配方法或二次函數的性質即可解決 問題，m＝3?時，△PAB?的面積最大，最大值為?9. ②由拋物線解析式可得?C?點坐標為（

8、﹣3?，0），設點?Q?坐標為（3，n） 2 方法?1：分別表示出?CQ2=(9)2?+?𝑛2，BC2=9+?9，BQ2=9+(n+3)2，分別以三個頂點為直角頂點，利 2 4 用勾股定理列出關于?n?的方程，計算即可得出結論. 方法?2：連接?BC，則?BC?解析式為?y=﹣2x-3，∵（-2）×1?=?﹣1，∴BC⊥BA 2 （i）以?B?點為直角頂點（即∠CBQ＝90°），點?Q?即為?F?點（3，??3）； 2 （ii）以?C?點為直角頂點（即∠BCQ＝90°），過點?C?做?CQ⊥BC，交直線?CD?于點?Q?.由?k1·k2＝-1，

9、 及?C?點坐標，可得?CQ?解析式為𝑦?=?1?𝑥?+?3，由𝑦?=?1?𝑥?+?3?和?x=3，可得?Q?點坐標為（3，9）； 2 4 2 4 4 （iii）以?Q?點為直角頂點（即?BC?為直角邊），以?BC?為直徑的圓與直線?PD?沒有交點，所以此情況 不存在. 綜上，點?Q?的坐標為（3，??3）或（3，9）. 2 4 1．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數?y=﹣1x+2?的圖象與?x?軸交于點?A，與?y?軸交于點?C，拋 2 物線?y=ax2+bx+c?關于直線?x=3對稱

10、，且經過?A．C?兩點，與?x?軸交于另一點為?B． 2 （1）求拋物線的解析式； （2）若點?P?為直線?AC?上方的拋物線上的一點，過點?P?作?PQ⊥x?軸于?M，交?AC?于?Q，求?PQ?的最 大值，并求此時△APC?的面積； （3）在拋物線的對稱軸上找出使△ADC?為直角三角形的點?D，直接寫出點?D?的坐標． y P C Q AO B??x 2．如圖，在矩形?OABC?中，點?O?為原點，邊?OA?的長度為?8，對角線?AC=10，拋物線?y=?

11、?4x2+bx+c 9 經過點?A、C，與?AB?交于點?D． （1）求拋物線的函數解析式； （2）點?P?為線段?BC?上一個動點（不與點?C?重合），點?Q?為線段?AC?上一個動點，AQ=CP，連接?PQ， 設?CP=m，△CPQ?的面積為?S． ①求?S?關于?m?的函數表達式并求出?S?最大時的?m?值； ②在?S?最大的情況下，在拋物線?y=??4x2+bx+c?的對稱軸上，若存在點?F，使△DFQ?為直角三角形， 9 請直接寫出所有符合條件的點?F?的坐標；若不存在，請說明理由． y A  D????B y A  D????B Q Q P P C??????????????????? O???????? C?? x O x