《《離散型隨機變量》PPT課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《離散型隨機變量》PPT課件.ppt（36頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二章,隨機變量及其分布,一、隨機變量概念的產(chǎn)生,在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù),1 隨機變量,量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.,1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)量有關(guān).,例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù),,2、有些看似與數(shù)量無關(guān)的試驗，其結(jié)果可通過,例如, 擲一顆均勻硬幣,,數(shù)量化用數(shù)量表示.,基本事件為,樣本空間,對每一 e = ei , 有一數(shù) X=X(ei)=i 與之對應 .,基本事件為 e1={正面朝上}, e2={反面朝上},,若引入,則對每一 e ,有一數(shù) X=X(e)與之對應 .,e.,,X(e),,R,說明隨機試驗的結(jié)果一般可用一數(shù) X 表示,,定義: 設(shè) Ω 為試驗 E
2、的樣本空間, 若對 Ω 中,且此數(shù)隨結(jié)果的不同而變化(即在基本事件 e 與,實數(shù)間建立了一種對應關(guān)系), 其取值帶有隨機,性, 很自然地叫它為隨機變量, 它是基本事件 e,的函數(shù).,的任一基本事件 e , 都有惟一的實數(shù) X(e) 與之對,應, 則稱X(e) 為隨機變量, 簡記為 X .,,,(1) 隨機變量通常用大寫字母 X, Y, Z 或希臘,注:,（2）隨機變量定義在 Ω 上, 是基本事件 e 的函,字母ζ,η等表示;,然 而表示隨機變量所取的值(即實數(shù))時,一般,采用小寫字母 x, y, z 等.,數(shù)(它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值); 由于 e,的出現(xiàn)是隨機的, 因而 X(e) 的取
3、值也是隨機的,在,試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先,肯定它將取哪個值, 但一旦結(jié)果出現(xiàn), 則 X(e) 的,值隨之而定; 由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概,率，于是隨機變量的取值也有一定的概率.,,,例如，從某一學校隨機選一學生，,的身高看作隨機變量 X, 然后我們,,測量他的身高. 我們可以把可能,可以提出關(guān)于 X 的各種問題.,一旦我們實際選定了一個學生并量了他的身高,之后，我們就得到 X 的一個具體的值，記作 x.,這時,要么,就沒有什么意義了.,要么 x <1.7米，再去求,有了隨機變量, 隨機試驗中的各種事件，就可以,二、引入隨機變量的意義,單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次
4、數(shù),通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.,用 X 表示，它是一個隨機變量; 則事件,{收到不少于1次呼叫},{沒有收到呼叫},如:,再如:,某一天10點的溫度用 T 表示,,它是一個隨機變量；則事件,{溫度在8到15度之間},可見，隨機事件這個概念實際上是包含在隨機,變量這個更廣的概念內(nèi). 也可以說，隨機事件是從,靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種,動態(tài)的觀點.,隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大,事件. 引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研,究，就從對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變,量及其取值規(guī)律的研究.,解：分析,,例: 一報童賣報，每份0.15元，其成本為0.10元.,當
5、 0.15 X<1000 0.1時，報童賠錢,,報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不,出的報紙退回. 設(shè) X 為報童每天賣出的報紙份數(shù)，,試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.,{報童賠錢} ={賣出的報紙錢不夠成本},,故 {報童賠錢} ={ X 20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6,的概率.,租一輛汽車，可從出租公司得到3元. 因代營業(yè)務，,每天加油站要多付給職工服務費60元. 設(shè)每天出租,汽車數(shù) X是一個隨機變量，它的概率分布如下：,,若離散型隨機變量 X 的分布律為,則稱 X 服從 0-1 分布或兩點分布.,,二、幾個常見的離散型隨機變量的分布,,,0
6、1,, (0< p <1) ,,凡是試驗只有兩個可能結(jié)果的均可用兩點分布來描述.,(一) 0-1 分布,(二) 伯努利試驗與二項分布,一般地，若在一次試驗中我們只考慮,伯努利試驗:,兩個互逆的結(jié)果：A 或,或者形象地把兩個互逆,結(jié)果叫做“成功”和“失敗”, 則稱試驗為伯努利試驗.,n重伯努利試驗:,將一伯努利試驗重復獨立地進行,n次而構(gòu)成的一連串試驗.,重復指: 每次試驗條件相同, 因而每次,獨立指: 各次試驗相互獨立.,擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”,擲硬幣試驗：“正面”，“反面”,有放回地抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”,實際問題中,很多試驗可視為 n 重伯努利試驗:,如,用 X 表
7、示 n 重伯努利試驗中事件A,稱 X 服從參數(shù)為n和p的二項分布，,X ~ b(n, p) 或 B(n, p).,二項分布:,出現(xiàn)的次數(shù)，則 X 的分布律為,注: 0-1分布是二項分布當 n = 1 時的特例.,記作,二項分布描述的是 n 重伯努利試驗中出現(xiàn) “成功”次數(shù) X 的概率分布.,已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地,因為這是有放回地取3次，因此這3 次試驗的,依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05,,設(shè) X 為所取的3個中的次品數(shù)，則,于是，所求概率為：,例,取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個,次品的概率.,解:,條件完全相同且獨立，它是伯努利試驗.,X ~
8、B (3, 0.05)，,注：若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各,次試驗條件就不同了，不是伯努利概型，此時，只,能用古典概型求解.,更一般地: 袋中有 a只白球 b只黑球，從中有放回,取 n 次，每次任取1個，若以 X 表示取到的白球,數(shù)，則,某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率,設(shè)X 為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù) ,,則 X ~ B (3, 0.8)，,=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,例,是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多,只有一個壞了的概率.,解:,X 的分布律為:,從而,設(shè)隨機變量 X 所有可能取值為0 , 1 , 2 , …
9、 ,,(三) 泊松(Poisson)分布,且概率分布為：,其中,是常數(shù), 則稱 X 服從參數(shù)為,的泊松分布,,記作,①歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，,注:,于1837年由法國數(shù)學家泊松引入的 .,對此, 有泊松定理:,泊松定理表明，當n很大，p很小時有以下近似式：,在實際計算中，當,時近似效果就很好.,②近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,,在實際中，許多隨機現(xiàn)象中的隨機變量服從,成為概率論中最重要的幾個分布之一.,或近似服從泊松分布; 特別是在社會生活領(lǐng)域中.,由泊松定理，n 重伯努利試驗中稀有事件,(在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件) 出現(xiàn)的次數(shù),近視地服從泊松分布.,例:,解:,
10、設(shè)該商品每月銷售數(shù)為X, 已知 X 服從參數(shù),λ=5的泊松分布. 設(shè)商店在月底應進該商品 m 件,,一家商店采用科學管理,由該商店過去的銷售,記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5,的泊松分布來描述，為了以 95% 以上的把握保證,不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件？,求滿足,的最小的m,,即,m=9時, 左式約為0.968;,m=8時, 左式約為0.932;,可求得,故至少 9 件.,,對于非離散型隨機變量, 其可能取值不能一一列出,,,3 隨機變量的分布函數(shù),一、引入分布函數(shù)的背景,因而不能象離散型隨機變量那樣用分布律來描述它;,特別是連續(xù)型隨機變量所有可能取值充滿一個區(qū)間
11、,,對這種類型的隨機變量, 我們感興趣的是它落在某個,區(qū)間內(nèi)的概率. 而且為了能用其它數(shù)學工具(如微積,分等)處理概率問題, 需要把集合函數(shù)轉(zhuǎn)化為普通函,數(shù).,設(shè) X 是一個隨機變量，稱,二、分布函數(shù)的定義,為 X 的分布函數(shù). 也記作 FX (x).,如果將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么,分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X 落在區(qū)間,上的概率.,注意 X是隨機變量, x 是普通變量.,F(x) 就是隨機變量 X 取值不大于 x 的概率.,只要知道隨機變量 X 的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計,規(guī)律性就可以得到完整的描述；與 X 有關(guān)的所有,事件的概率都可以分布函數(shù)的函數(shù)值表示出來。,分布函數(shù)是一個
12、普通的函數(shù)，正是通過它， 我們可以用微積分等工具來研究 隨機變量.,對離散型 隨機變量, 若其分布律為,P{ X= xk } = pk , k =1,2,3,…,則,其圖形是一條階梯形的曲線, 在 x = xk 處有跳躍;,其函數(shù)形式較復雜, 雖可通過它來描述隨機變量,的統(tǒng)計規(guī)律, 但以分布律清晰.,X 的分布律為,例,, 求 X 的分布函數(shù).,解:,,,0 1 2,1/3 1/6 1/2,當 x < 0時,,故,故,,三、分布函數(shù)的性質(zhì),(1) F(x) 非降，即若 x1< x2，則,(3) F(x) 右連續(xù)，即,解:,從中解得,例:,設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為：,試求(1) a 與 b , (2) X 落在(-1, 1] 內(nèi)的概率.,(1) 依據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)可得:,(2),
《離散型隨機變量》PPT課件.ppt
