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1、第二章,隨機(jī)變量及其分布,一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生,在實(shí)際問(wèn)題中,隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù),1 隨機(jī)變量,量來(lái)表示,由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.,1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)量有關(guān).,例如,擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),,2、有些看似與數(shù)量無(wú)關(guān)的試驗(yàn),其結(jié)果可通過(guò),例如, 擲一顆均勻硬幣,,數(shù)量化用數(shù)量表示.,基本事件為,樣本空間,對(duì)每一 e = ei , 有一數(shù) X=X(ei)=i 與之對(duì)應(yīng) .,基本事件為 e1={正面朝上}, e2={反面朝上},,若引入,則對(duì)每一 e ,有一數(shù) X=X(e)與之對(duì)應(yīng) .,e.,,X(e),,R,說(shuō)明隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果一般可用一數(shù) X 表示,,定義: 設(shè) Ω 為試驗(yàn) E
2、的樣本空間, 若對(duì) Ω 中,且此數(shù)隨結(jié)果的不同而變化(即在基本事件 e 與,實(shí)數(shù)間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系), 其取值帶有隨機(jī),性, 很自然地叫它為隨機(jī)變量, 它是基本事件 e,的函數(shù).,的任一基本事件 e , 都有惟一的實(shí)數(shù) X(e) 與之對(duì),應(yīng), 則稱X(e) 為隨機(jī)變量, 簡(jiǎn)記為 X .,,,(1) 隨機(jī)變量通常用大寫字母 X, Y, Z 或希臘,注:,(2)隨機(jī)變量定義在 Ω 上, 是基本事件 e 的函,字母ζ,η等表示;,然 而表示隨機(jī)變量所取的值(即實(shí)數(shù))時(shí),一般,采用小寫字母 x, y, z 等.,數(shù)(它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值); 由于 e,的出現(xiàn)是隨機(jī)的, 因而 X(e) 的取
3、值也是隨機(jī)的,在,試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先,肯定它將取哪個(gè)值, 但一旦結(jié)果出現(xiàn), 則 X(e) 的,值隨之而定; 由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概,率,于是隨機(jī)變量的取值也有一定的概率.,,,例如,從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生,,的身高看作隨機(jī)變量 X, 然后我們,,測(cè)量他的身高. 我們可以把可能,可以提出關(guān)于 X 的各種問(wèn)題.,一旦我們實(shí)際選定了一個(gè)學(xué)生并量了他的身高,之后,我們就得到 X 的一個(gè)具體的值,記作 x.,這時(shí),要么,就沒(méi)有什么意義了.,要么 x <1.7米,再去求,有了隨機(jī)變量, 隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件,就可以,二、引入隨機(jī)變量的意義,單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次
4、數(shù),通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).,用 X 表示,它是一個(gè)隨機(jī)變量; 則事件,{收到不少于1次呼叫},{沒(méi)有收到呼叫},如:,再如:,某一天10點(diǎn)的溫度用 T 表示,,它是一個(gè)隨機(jī)變量;則事件,{溫度在8到15度之間},可見(jiàn),隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包含在隨機(jī),變量這個(gè)更廣的概念內(nèi). 也可以說(shuō),隨機(jī)事件是從,靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是一種,動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn).,隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大,事件. 引入隨機(jī)變量后,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研,究,就從對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變,量及其取值規(guī)律的研究.,解:分析,,例: 一報(bào)童賣報(bào),每份0.15元,其成本為0.10元.,當(dāng)
5、 0.15 X<1000 0.1時(shí),報(bào)童賠錢,,報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào),并規(guī)定他不得把賣不,出的報(bào)紙退回. 設(shè) X 為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù),,試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.,{報(bào)童賠錢} ={賣出的報(bào)紙錢不夠成本},,故 {報(bào)童賠錢} ={ X 20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6,的概率.,租一輛汽車,可從出租公司得到3元. 因代營(yíng)業(yè)務(wù),,每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元. 設(shè)每天出租,汽車數(shù) X是一個(gè)隨機(jī)變量,它的概率分布如下:,,若離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為,則稱 X 服從 0-1 分布或兩點(diǎn)分布.,,二、幾個(gè)常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布,,,0
6、1,, (0< p <1) ,,凡是試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果的均可用兩點(diǎn)分布來(lái)描述.,(一) 0-1 分布,(二) 伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布,一般地,若在一次試驗(yàn)中我們只考慮,伯努利試驗(yàn):,兩個(gè)互逆的結(jié)果:A 或,或者形象地把兩個(gè)互逆,結(jié)果叫做“成功”和“失敗”, 則稱試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn).,n重伯努利試驗(yàn):,將一伯努利試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立地進(jìn)行,n次而構(gòu)成的一連串試驗(yàn).,重復(fù)指: 每次試驗(yàn)條件相同, 因而每次,獨(dú)立指: 各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.,擲骰子:“擲出4點(diǎn)”,“未擲出4點(diǎn)”,擲硬幣試驗(yàn):“正面”,“反面”,有放回地抽驗(yàn)產(chǎn)品:“是正品”,“是次品”,實(shí)際問(wèn)題中,很多試驗(yàn)可視為 n 重伯努利試驗(yàn):,如,用 X 表
7、示 n 重伯努利試驗(yàn)中事件A,稱 X 服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布,,X ~ b(n, p) 或 B(n, p).,二項(xiàng)分布:,出現(xiàn)的次數(shù),則 X 的分布律為,注: 0-1分布是二項(xiàng)分布當(dāng) n = 1 時(shí)的特例.,記作,二項(xiàng)分布描述的是 n 重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn) “成功”次數(shù) X 的概率分布.,已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品,現(xiàn)從中有放回地,因?yàn)檫@是有放回地取3次,因此這3 次試驗(yàn)的,依題意,每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05,,設(shè) X 為所取的3個(gè)中的次品數(shù),則,于是,所求概率為:,例,取3次,每次任取1個(gè),求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè),次品的概率.,解:,條件完全相同且獨(dú)立,它是伯努利試驗(yàn).,X ~
8、B (3, 0.05),,注:若將本例中的“有放回”改為”無(wú)放回”,那么各,次試驗(yàn)條件就不同了,不是伯努利概型,此時(shí),只,能用古典概型求解.,更一般地: 袋中有 a只白球 b只黑球,從中有放回,取 n 次,每次任取1個(gè),若以 X 表示取到的白球,數(shù),則,某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率,設(shè)X 為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù) ,,則 X ~ B (3, 0.8),,=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,例,是0.2,求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多,只有一個(gè)壞了的概率.,解:,X 的分布律為:,從而,設(shè)隨機(jī)變量 X 所有可能取值為0 , 1 , 2 , …
9、 ,,(三) 泊松(Poisson)分布,且概率分布為:,其中,是常數(shù), 則稱 X 服從參數(shù)為,的泊松分布,,記作,①歷史上,泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似,,注:,于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的 .,對(duì)此, 有泊松定理:,泊松定理表明,當(dāng)n很大,p很小時(shí)有以下近似式:,在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng),時(shí)近似效果就很好.,②近數(shù)十年來(lái),泊松分布日益顯示其重要性,,在實(shí)際中,許多隨機(jī)現(xiàn)象中的隨機(jī)變量服從,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一.,或近似服從泊松分布; 特別是在社會(huì)生活領(lǐng)域中.,由泊松定理,n 重伯努利試驗(yàn)中稀有事件,(在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件) 出現(xiàn)的次數(shù),近視地服從泊松分布.,例:,解:,
10、設(shè)該商品每月銷售數(shù)為X, 已知 X 服從參數(shù),λ=5的泊松分布. 設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該商品 m 件,,一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過(guò)去的銷售,記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5,的泊松分布來(lái)描述,為了以 95% 以上的把握保證,不脫銷,問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件?,求滿足,的最小的m,,即,m=9時(shí), 左式約為0.968;,m=8時(shí), 左式約為0.932;,可求得,故至少 9 件.,,對(duì)于非離散型隨機(jī)變量, 其可能取值不能一一列出,,,3 隨機(jī)變量的分布函數(shù),一、引入分布函數(shù)的背景,因而不能象離散型隨機(jī)變量那樣用分布律來(lái)描述它;,特別是連續(xù)型隨機(jī)變量所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間
11、,,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量, 我們感興趣的是它落在某個(gè),區(qū)間內(nèi)的概率. 而且為了能用其它數(shù)學(xué)工具(如微積,分等)處理概率問(wèn)題, 需要把集合函數(shù)轉(zhuǎn)化為普通函,數(shù).,設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量,稱,二、分布函數(shù)的定義,為 X 的分布函數(shù). 也記作 FX (x).,如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么,分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X 落在區(qū)間,上的概率.,注意 X是隨機(jī)變量, x 是普通變量.,F(x) 就是隨機(jī)變量 X 取值不大于 x 的概率.,只要知道隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù), 它的統(tǒng)計(jì),規(guī)律性就可以得到完整的描述;與 X 有關(guān)的所有,事件的概率都可以分布函數(shù)的函數(shù)值表示出來(lái)。,分布函數(shù)是一個(gè)
12、普通的函數(shù),正是通過(guò)它, 我們可以用微積分等工具來(lái)研究 隨機(jī)變量.,對(duì)離散型 隨機(jī)變量, 若其分布律為,P{ X= xk } = pk , k =1,2,3,…,則,其圖形是一條階梯形的曲線, 在 x = xk 處有跳躍;,其函數(shù)形式較復(fù)雜, 雖可通過(guò)它來(lái)描述隨機(jī)變量,的統(tǒng)計(jì)規(guī)律, 但以分布律清晰.,X 的分布律為,例,, 求 X 的分布函數(shù).,解:,,,0 1 2,1/3 1/6 1/2,當(dāng) x < 0時(shí),,故,故,,三、分布函數(shù)的性質(zhì),(1) F(x) 非降,即若 x1< x2,則,(3) F(x) 右連續(xù),即,解:,從中解得,例:,設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為:,試求(1) a 與 b , (2) X 落在(-1, 1] 內(nèi)的概率.,(1) 依據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)可得:,(2),