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1、第7講解三角形應用舉例,考試要求1.運用正弦定理、余弦定理解決簡單的三角形度量問題(B級要求)；2.運用定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題(B級要求).,知 識 梳 理,實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線_叫仰角，目標視線在水平視線_叫俯角(如圖1).,上方,下方,(2)方位角 從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為(如圖2). (3)方向角：正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30，北偏西45等. (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.,1.思考辨析(在括
2、號內打“”或“”) (1)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，則此三角形是鈍角三角形.(),診 斷 自 測,(3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系.() 解析(2)俯角是視線與水平線所構成的角. 答案(1)(2)(3),2.(教材改編)為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測算兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC50 m，ABC105，BCA45，就可以計算出A，B兩點的距離為_m.,3.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都是5 n mile，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東
3、40，則燈塔A與燈塔B的距離為_ n mile.,4.(2018蘇北四市聯(lián)考)一艘海輪從A處出發(fā)以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是_海里.,5.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_ m.,考點一測量距離、高度問題,(1)求煙囪AB的高度； (2)如果要在CE間修一條直線，求CE的長. 解(1)設AB的
4、高度為h.在CAB中， 因為ACB45，所以CBh. 在OAB中，因為AOB30，AEB60，,故煙囪AB的高度為15 m.,所以在OCE中，,故CE的長為10 m.,規(guī)律方法測量距離、高度問題應注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念. (2)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解. (3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.,【訓練1】 (1)一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60，行駛4 h后，船到達C處
5、，看到這個燈塔在北偏東15，這時船與燈塔的距離為_ km. (2)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選 A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點間的距離為60 m，則樹的高度為_ m.,解析(1)如圖，由題意，BAC30，ACB105，,B45，AC60 km，,(2)在PAB中，PAB30，APB15，AB60，,考點二測量角度問題,解如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在D處相遇，則可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.,CBA45，即B在C正東.CBD9030120，,即緝私船沿北偏東60方向能最快追上走私船.,規(guī)律方法解決測量角度問題
6、的注意事項 (1)首先應明確方位角或方向角的含義； (2)分析題意，分清已知與所求，再根據題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步； (3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.,【訓練2】 甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時的速度沿南偏西15方向行駛，若甲船沿南偏東的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能在C處追上乙船.問用多少小時追上乙船，并求sin 的值(結果保留根號，無需求近似值). 解設用t小時，甲船追上乙船，且在C處相遇，那么在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC180154512
7、0，,又ABC120，BAC為銳角， 所以45BAC，,考點三函數(shù)思想在解三角形中的應用 角度1距離的最值,【例31】 (2019鎮(zhèn)江模擬)如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC200 m，斜邊AB400 m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F(xiàn).,(1)若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲、乙兩人之間的距離；,在BDE中，由余弦定理得：,(2)由題意得EF2DE2y，BDECEF， 在直角三角形CEF中，CEEFc
8、osCEF2ycos ，,角度2面積的最值,【例32】 (2019蘇州一模)某單位設計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內布設一條對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求A和C互補，且ABBC.,(1)設ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍； (2)求四邊形ABCD面積的最大值.,解(1)在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos A. 在CBD中，BD2CB2CD22CBCDcos C. 因為A和C互補，所以AB2AD22ABADcos ACB2CD22CBC
9、Dcos CCB2CD22CBCDcos A， 即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A.,記g(x)(x24)(x214x49)，x(2，5). 由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，,函數(shù)g(x)在區(qū)間(2，4)內單調遞增，在區(qū)間(4，5)內單調遞減， 因此g(x)的最大值為g(4)129108.,角度3時間的最值,(1)試建立由A經P到C所用時間與的函數(shù)解析式； (2)試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由. 解(1)由題意，輪船航行的方向角為. 所以BAP90，AB50，,所以由A經P到C所用時間
10、與的函數(shù)解析式為,所以在BC上選擇距離B為17.68 km處為登陸點，所用時間最少.,規(guī)律方法解三角形應用問題的步驟與注意點： (1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系； (2)根據題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型； (3)根據題意選擇正弦定理或余弦定理求解； (4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等； (5)對于三角形應用問題中的最值問題.可建立函數(shù)模型，轉化為函數(shù)的最值問題解決.,【訓練3】 如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC.問：點B在什么位置時，四邊形OACB面積最大？,解設AOB，在AOB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB1222212cos 54cos ，,于是，四邊形OACB的面積為,
（江蘇專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 解三角形應用舉例課件.ppt
