《2019高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(1)公式表達(dá):asinAsinBsinC2R.2R2R2Rabcabc2bc,cosB2ac2ab.(1)Sah(h表示邊a上的高);(2)SbcsinAacsinBabsinC;(3)Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)第一課解三角形核心速填1正弦定理bc(2)公式變形:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;abcsinA,sinB,sinC;abcsinAsinBsinC;sinAsinBsinCsinAsinBsinC2R.2余弦定理(1)公式表達(dá):a2b2c22bccos_A,b2a2c22accos_B,c2a2b22abcos_C.b2c2a2a2c2b2a2b2c
2、2(2)推論:cosA,cosC3三角形中常用的面積公式1211122212體系構(gòu)建-1-(2)若ABC的面積S,求角A的大小.(2)由S,得absinC,故有sinBsinCsin2BsinBcosB,題型探究利用正、余弦定理解三角形在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bc2acosB.(1)證明:A2B;a24【導(dǎo)學(xué)號:91432090】解(1)證明:由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB,故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB,于是sinBsin(AB)又A,B(0,),故0AB,所以,B(AB)或BAB,因此A(舍
3、去)或A2B,所以A2B.a21a242412因為sinB0,所以sinCcosB,又B,C(0,),所以C2B.當(dāng)BC時,A;當(dāng)CB時,A.綜上,A或A.222424-2-1如圖11,在ABC中,B,AB8,點D在BC邊上,CD2,cosADC.規(guī)律方法解三角形的一般方法:,(1)已知兩角和一邊,如已知A、B和c,由ABC求C,由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a、b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角,然后利用ABC,求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對角,如已知a、b和A,應(yīng)先用正弦定理求B,由ABC求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解
4、可能有多種情況.(4)已知三邊a、b、c,可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.跟蹤訓(xùn)練137圖11因為cosADC,所以sinADC.43727214ABsinBAD14sinADB432(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長解(1)在ADC中,17437所以sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB11333.(2)在ABD中,由正弦定理,得338BD3.7在ABC中,由余弦定理,得AC2AB2BC22ABBCcosB1825228549.-3-sinCcosC1.ac2accos60,2展開整理得32,所以AC7.判斷三角形的形狀在ABC中,若B60,2ba,試判
5、斷ABC的形狀思路探究:利用正弦定理將已知條件中邊的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求角或利用余弦定理,由三邊之間的關(guān)系確定三角形的形狀解法一:(正弦定理邊化角)由正弦定理,得2sinBsinAsinC.B60,AC120.2sin60sin(120C)sinC.122sin(C30)1.0C8,應(yīng)舍去,所以x4333.9,即這條公路的長約為3.9km.sinABDAB(2)在ABD中,由正弦定理得ADsinADB,所以sinABDsinCBDAB5AD4sinADB0.8,所以cosCBD0.6.在CBD中,sinDCBsin(CBDBDC)sin(CBD75)0.80.260.60.970.79,由正
6、弦定理得CDsinDBCBDsinDCB3.9.故景點C與景點D之間的距離約為3.9km.規(guī)律方法正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題,測量高度問題,測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖,把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系,最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化,用哪個定理求解,并進行作答,解題時還要注意近似計算的要求.跟蹤訓(xùn)練3如圖13,a是海面上一條南北方向的海防警戒線,在a上點A處有一個水聲監(jiān)測點,另兩個監(jiān)測點B,C分別在A的正東方20km和54km處某時刻,監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波信號,8s后監(jiān)測點A,20s后監(jiān)測點
7、C相繼收到這一信號,在當(dāng)時氣象條件下,聲波-6-在水中的傳播速度是1.5km/s.圖13(1)設(shè)A到P的距離為xkm,用x表示B,C到P的距離,并求x的值;(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(精確到0.01km).【導(dǎo)學(xué)號:91432092】解(1)由題意得PAPB1.5812(km),PCPB1.52030(km)PBx12,PC18x.在PAB中,AB20km,cosPAB5xPA2AB2PB2x2202x2PAAB2x2023x32.同理cosPAC.3x3272x5x3x73x3275x572x3xcosPABcosPAC,132,解得x.132332(2)作PDa于D,在RtPD
8、A中,PDPAcosAPDPAcosPABx17.71(km)所以靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71km.1如圖14所示,向量AB與BC的夾角是B嗎?在ABC中,兩向量ABAC的數(shù)量積與余弦與三角形有關(guān)的綜合問題探究問題定理有怎樣的聯(lián)系?-7-提示:向量AB與BC的夾角是B的補角,大小為180B,由于ABAC|AB|AC|cosAbccosA.所以ABACbccosA(b2c2a2),有時直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ac,已知BABC2,cosB,b3.求:解(1)由BABC2得cacosB2.又cosB,所以ac6.又
9、b3,所以a2c292613.圖1412形問題2在解三角形的過程中,求某一個角有時既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,兩種方法有什么利弊呢?提示:用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號直接判斷是銳角還是鈍角,但計算比較復(fù)雜用正弦定理計算相對比較簡單,但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小,所以一般選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角,避免討論13(1)a和c的值;(2)cos(BC)的值.【導(dǎo)學(xué)號:91432093】思路探究:(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理,列出關(guān)于a,c的方程組即可求解(2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出B,C的正、余弦值,利用差角余弦公式求解13由余弦定理,得a2c
10、2b22accosB.13ac6,解a2c213,a2,得c3a3,或c2.sinB1cos2B131因為ac,所以a3,c2.(2)在ABC中,2223,b339c22242由正弦定理,得sinCsinB.因為abc,所以C為銳角,-8-14299因此cosC1sin2C27.393927母題探究:1.(變條件,變結(jié)論)將本例中的條件“ac,BABC2,cosB,b3”變?yōu)椤耙阎狝BC30且cosA”求ABAC的值13于是cos(BC)cosBcosCsinBsinC17224223.131213解在ABC中,cosA12,A為銳角且sinA,ABAC|AB|AC|cosAbccosA156
11、144.解由余弦定理得a2b2c22bccosA(bc)22bc(1cosA)1215625,513115ABC2bcsinA2bc1330.bc156.12132(變條件,變結(jié)論)在“母題探究1”中再加上條件“cb1”能否求a的值?113a255.規(guī)律方法正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進行了量化,為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù),而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合,通??梢岳谜?、余弦定理完成證明、求值等問題.(1)解三角形與向量的交匯問題,可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉(zhuǎn)化求解.(2)解三角形與其他知識的交匯問題,可以運用三角形的基礎(chǔ)知識、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換,通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.-9-