2019高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5

(1)公式表達(dá)：    asin  Asin  Bsin  C2R.2R2R2R     abc a b c2bc  ，cos   B 2ac2ab  .(1)S  ah(h 表示邊 a 上的高)；(2)S  bcsin  A  acsin  B  absin  C；(3)S  r(abc)(r 為三角形的內(nèi)切圓半徑)第一課解三角形核心速填1正弦定理bc(2)公式變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；abcsin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C；sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C2R.2余弦定理(1)公式表達(dá)：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C.b2c2a2a2c2b2a2b2c2(2)推論：cos A，cos C3三角形中常用的面積公式1211122212體系構(gòu)建- 1 -(2)若ABC 的面積 S   ，求角 A 的大小.(2)由 S   ，得  absin  C   ，故有sin  Bsin  C  sin  2Bsin Bcos  B，題型探究利用正、余弦定理解三角形在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c.已知 bc2acos B.(1)證明：A2B；a24【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432090】解(1)證明：由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB)又 A，B(0， )，故 0<AB< ，所以，B (AB)或 BAB，因此 A (舍去)或 A2B，所以 A2B.a21a242412因?yàn)?#160;sin B0，所以 sin Ccos B，又 B，C(0， )，所以 C2±B.當(dāng) BC時(shí)，A；當(dāng) CB時(shí)，A.綜上，A或 A.222424- 2 -1如圖 11，在 ABC 中，B，AB8，點(diǎn) D 在 BC 邊上，CD2，cosADC  .規(guī)律方法解三角形的一般方法：,(1)已知兩角和一邊，如已知 A、B 和 c，由 ABC 求 C，由正弦定理求 a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知 a、b 和 C，應(yīng)先用余弦定理求 c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用 ABC ，求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如已知 a、b 和 A，應(yīng)先用正弦定理求 B，由 ABC 求C，再由正弦定理或余弦定理求 c，要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊 a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求 A、B、C.跟蹤訓(xùn)練137圖 11因?yàn)?#160;cosADC  ，所以 sinADC   . 4   37   27  2   14ABsinBAD14sinADB   4   32(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的長(zhǎng)解(1)在ADC 中，174 37所以 sinBADsin(ADCB)sinADC cos BcosADC sin B1133 3×  ×.(2)在ABD 中，由正弦定理，得3 38×BD3.7在ABC 中，由余弦定理，得AC2AB2BC22AB×BC×cos B182522×8×5× 49.- 3 -sin  C  cos  C1.a c 2accos  60°，è   2  ø 展開整理得   3 2   ，所以 AC7.判斷三角形的形狀在ABC 中，若 B60°，2ba，試判斷ABC 的形狀思路探究：利用正弦定理將已知條件中邊的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求角或利用余弦定理，由三邊之間的關(guān)系確定三角形的形狀解法一：(正弦定理邊化角)由正弦定理，得 2sin Bsin Asin C.B60°，AC120°.2sin 60°sin(120°C)sin C.122sin(C30°)1.0°<C<120°，C30°90°.C60°，則 A60°.ABC 為等邊三角形法二：(余弦定理法)由余弦定理，得 b2a2c22accos B.acB60°，bç÷æacö222化簡(jiǎn)得(ac)20.ac.又 B60°，abc.ABC 為等邊三角形規(guī)律方法 根據(jù)已知條件 (通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式 )判斷三角形的形狀時(shí)，需要靈活地應(yīng)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系 .判斷三角形的形狀是高考中考查能力的常見題型，此類題目要求準(zhǔn)確地把握三角形的分類，三角形按邊的關(guān)系分為等腰三角形和不等邊三角形；三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識(shí)求解.跟蹤訓(xùn)練- 4 -221cos  2B2cos Bcos Bccos  Bccos  B由余弦定理得   222a c bc2在ABC 中，若bcos  C1cos  2，試判斷ABC 的形狀. 得cos  C   b  .   csin  Ccos  Bsin  Cccos B1cos 2B【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432091】1cos 2C2cos2Ccos2C bcos C解由已知，cos B c可有以下兩種解法法一：(利用正弦定理，將邊化角)bsin Bcos Csin B由正弦定理得 ，即 sin Ccos Csin Bcos B，即 sin 2Csin 2B.B，C 均為ABC 的內(nèi)角，2C2B 或 2C2B180°.即 BC 或 BC90°.ABC 為等腰三角形或直角三角形法二：(利用余弦定理，將角化邊)bcos C ，a2b2c22abb ，2ac即(a2b2c2)c2b2(a2c2b2)a2c2c4a2b2b4，即 a2b2a2c2c4b40.a2(b2c2)(c2b2)(c2b2)0，即(b2c2)(a2b2c2)0.b2c2 或 a2b2c20，即 bc 或 a2b2c2.ABC 為等腰三角形或直角三角形.正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用如圖 12 所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)有一條筆直的公路 a 經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn) A、B、C.景區(qū)管委會(huì)開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn) D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn) D 位于景點(diǎn) A 的北偏東 30°方向上 8 km 處，位于景點(diǎn)- 5 -B 的正北方向，還位于景點(diǎn) C 的北偏西 75°方向上已知 AB5 km.圖 12(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn) D 向景點(diǎn) B 修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長(zhǎng)；(2)求景點(diǎn) C 與景點(diǎn) D 之間的距離(結(jié)果精確到 0.1 km)(參考數(shù)據(jù)： 31.73，sin 75°0.97，cos 75°0.26，tan 75°3.73，sin 53°0.80，cos 53°0.60，tan 53°1.33，sin 38°0.62，cos 38°0.79，tan 38°0.78)思路探究：(1)以 BD 為邊的三角形為ABD 和BCD，在ABD 中，一角和另外兩邊易得，所以可在ABD 中利用余弦定理求解 DB.(2)以 CD 為邊的兩個(gè)三角形中的其他邊不易全部求得，而角的關(guān)系易得，考慮應(yīng)用正弦定理求解解(1)設(shè) BDx ，則在ABD 中，由余弦定理得 5282x22×8xcos 30°，即 x28 3x390，解得 x4 3±3.因?yàn)?#160;4 33>8，應(yīng)舍去，所以 x4 333.9，即這條公路的長(zhǎng)約為 3.9 km.sinABD    AB(2) 在 ABD 中 ， 由 正 弦 定 理 得ADsinADB ， 所 以 sinABD  sinCBD AB           5AD4·sinADB 0.8，所以 cosCBD0.6.在CBD 中，sin DCBsin(CBDBDC)sin(CBD75°)0.8×0.260.6×0.97 0.79，由正弦定理得CDsinDBC×BDsinDCB3.9.故景點(diǎn) C 與景點(diǎn) D 之間的距離約為 3.9 km.規(guī)律方法正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用 .常用的有測(cè)量距離問題，測(cè)量高度問題，測(cè)量角度問題等 .解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系 ，最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，用哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答，解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求.跟蹤訓(xùn)練3如圖 13， a 是海面上一條南北方向的海防警戒線，在 a 上點(diǎn) A 處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn) B，C 分別在 A 的正東方 20 km 和 54 km 處某時(shí)刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn) B 收到發(fā)自靜止目標(biāo) P的一個(gè)聲波信號(hào)，8 s 后監(jiān)測(cè)點(diǎn) A,20 s 后監(jiān)測(cè)點(diǎn) C 相繼收到這一信號(hào)，在當(dāng)時(shí)氣象條件下，聲波- 6 -在水中的傳播速度是 1.5 km/s.圖 13(1)設(shè) A 到 P 的距離為 x km，用 x 表示 B，C 到 P 的距離，并求 x 的值；(2)求靜止目標(biāo) P 到海防警戒線 a 的距離(精確到 0.01 km).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432092】解(1)由題意得 PAPB1.5×812(km)，PCPB1.5×2030(km)PBx12，PC18x.在PAB 中，AB20 km，cosPAB          5xPA2AB2PB2x2202x2PA·AB2x·202 3x32     .同理 cosPAC    . 3x3272x5x    3x          73x3275x       572x3xcosPABcosPAC，132，解得 x.1323×32(2)作 PDa 于 D，在 RtPDA 中，PDPAcosAPDPAcosPABx·17.71(km)所以靜止目標(biāo) P 到海防警戒線 a 的距離為 17.71 km.1如圖 14   所示，向量AB與BC的夾角是B 嗎？在ABC 中，兩向量AB·AC的數(shù)量積與余弦與三角形有關(guān)的綜合問題探究問題定理有怎樣的聯(lián)系？- 7 -提示：向量AB與BC的夾角是B 的補(bǔ)角，大小為 180°B，由于AB·AC|AB|·|AC|cos  Abccos  A.所以AB·ACbccos A  (b2c2a2)，有時(shí)直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且 a>c，已知BA·BC2，cos B  ，b3.求：解(1)由BA·BC2 得 cacos B2.又 cos  B  ，所以 ac6.又 b3，所以 a2c292×6×  13.圖 1412形問題2在解三角形的過程中，求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)直接判斷是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜用正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對(duì)的角，避免討論13(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432093】思路探究：(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理，列出關(guān)于 a，c 的方程組即可求解(2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出 B，C 的正、余弦值，利用差角余弦公式求解13由余弦定理，得 a2c2b22accos B.13ìïac6，解íîïa2c213，ìïa2，得íîïc3ìïa3，或íîïc2.sin  B   1cos2  B      æ1öè3ø1ç ÷ 因?yàn)?#160;ac，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，22 23，b      3  3    9c22 24 2由正弦定理，得 sin C sin B ×.因?yàn)?#160;abc，所以 C 為銳角，- 8 -1çæ4   2öè  9  ø  9因此 cos C 1sin2 C27÷  .39   3    9   27母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)將本例中的條件“a>c，BA·BC2，cos B  ，b3”變?yōu)椤耙阎?#160;   ABC30 且 cos  A ”求AB·AC的值13于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C172 24 223 × ×.131213解在ABC 中，cos A12，A 為銳角且 sin  A，AB·AC|AB|·|AC|cos  Abccos  A156×144.解由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)12×156×25，513115     ABC2bcsin A2bc·1330.bc156.12132(變條件，變結(jié)論)在“母題探究 1”中再加上條件“cb1”能否求 a 的值？113a 255.規(guī)律方法正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通?？梢岳谜⒂嘞叶ɡ硗瓿勺C明、求值等問題.(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解.(2)解三角形與其他知識(shí)的交匯問題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.- 9 -