2019高考數(shù)學大二輪復習 專題2 函數(shù)與導數(shù) 第2講 綜合大題部分課件 理.ppt

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1、專題2 函數(shù)與導數(shù),第2講綜合大題部分,考情考向分析 利用導數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問題,高考中常與函數(shù)零點、方程根及不等式相結(jié)合,難度較大,考點一函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題 1(單調(diào)性與最值)(2018南昌摸底調(diào)研)已知函數(shù)f(x)ln x2mx2n(m,nR) (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有最大值ln 2,求mn的最小值,2(單調(diào)性與極值)(2018高考全國卷)已知函數(shù)f(x)(2xax2)ln(1x)2x. (1)若a0,證明:當1x0時,f(x)0;當x0時,f(x)0; (2)若x0是f(x)的極大值點,求a. 解析:(1)證明:當a0時,f(x)(2x

2、)ln(1x)2x,,當1x0時,g(x)0;當x0時,g(x)0,故當x1時,g(x)g(0) 0,且僅當x0時,g(x)0,從而f(x)0,且僅當x0時,f(x)0. 所以f(x)在(1,)單調(diào)遞增 又f(0)0,故當1x0時,f(x)0;當x0時,f(x)0. (2)若a0,由(1)知, 當x0時,f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0), 這與x0是f(x)的極大值點矛盾 若a0,,故h(x)與f(x)符號相同 又h(0)f(0)0,故x0是f(x)的極大值點, 當且僅當x0是h(x)的極大值點,1閉區(qū)間、開區(qū)間上的最值 (1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)的最大值和最小值的思路:若

3、所給的閉區(qū)間a,b不含有參數(shù),則只需對函數(shù)f(x)求導,并求f(x)0在區(qū)間a,b內(nèi)的根,再計算使導數(shù)等于零的根的函數(shù)值,把該函數(shù)值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值若所給的閉區(qū)間a,b含有參數(shù),則需對函數(shù)f(x)求導,通過對參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值 (2)求函數(shù)f(x)在非閉區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值的技巧:首先求函數(shù)的定義域和f(x);其次在定義域內(nèi)解不等式f(x)0,得f(x)的遞增區(qū)間,在定義域內(nèi)解不等式f(x)0,得f(x)的遞減區(qū)間;最后數(shù)形結(jié)合,判斷函數(shù)f(x)有無最大值與最小值,2已知極值點(極值)求參數(shù) 已知函數(shù)

4、f(x)的極值點求參數(shù)的取值范圍的關鍵:對函數(shù)求導得到f(x),把函數(shù)含有極值點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)0含有根的個數(shù)問題,把方程f(x)0中含有的參數(shù)分離到方程的另一邊,即g(x)a,通過構(gòu)造函數(shù),再次轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)yg(x),ya的圖象的交點個數(shù)問題,畫出圖象,即可得到參數(shù)的取值范圍,考點二方程與函數(shù)零點問題 (1)若a3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:f(x)只有一個零點,(2)證明:因為x2x10, 僅當x0時g(x)0, 所以g(x)在(,)單調(diào)遞增 故g(x)至多有一個零點,從而f(x)至多有一個零點 綜上,f(x)只有一個零點,解析:(1)依題意,知f(x)的定義域為(

5、0,), 令f(x)0,解得x1. 當00,此時f(x)單調(diào)遞增; 當x1時,f(x)0,此時f(x)單調(diào)遞減,當x(0,x2)時,g(x)0, g(x)在(x2,)單調(diào)遞增 當xx2時,g(x2)0,g(x)取最小值g(x2) 因為g(x)0有唯一解,所以g(x2)0.,所以2mln x2mx2m0, 因為m0,所以2ln x2x210(*) 設函數(shù)h(x)2ln xx1,因為當x0時, h(x)是增函數(shù),所以h(x)0至多有一解 因為h(1)0,所以方程(*)的解為x21,,判斷零點個數(shù) 判斷函數(shù)在某區(qū)間a,b(a,b)內(nèi)的零點的個數(shù)時,主要思路為:一是由f(a)f(b)0及零點存在性定理

6、,說明在此區(qū)間上至少有一個零點;二是求導,判斷函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性,若函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減,則說明至多只有一個零點;若函數(shù)在區(qū)間a,b(a,b)上不單調(diào),則要求其最大值或最小值,借用圖象法等,判斷零點個數(shù),考點三導數(shù)與不等式問題 1(恒成立問題)(2018聊城高考模擬)已知函數(shù)f(x)2exkx2. (1)討論函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)的單調(diào)性; (2)若存在正數(shù)m,對于任意的x(0,m),不等式|f(x)|2x恒成立,求正實數(shù)k的取值范圍 解析:(1)f(x)2exk,x(0,), 當k2時,因為2ex2,所以f(x)0, 這時f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,(2)當00. 這

7、時|f(x)|2x可化為f(x)2x, 即2ex(k2)x20. 設g(x)2ex(k2)x2, 則g(x)2ex(k2),,這時|f(x)|2x可化為f(x)2x, 即2ex(k2)x20. 設h(x)2ex(k2)x2, 則h(x)2ex(k2) (i)若2k4,則h(x)0在(0,)上恒成立,這時h(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減, 又因為h(0)0,所以對于任意的x(0,x0)都有h(x)0,不符合題意,不等式|f(x)|2x恒成立 綜上,k的取值范圍為(4,),所以f(x)exxexx1(ex1)(x1) 由f(x)0,得x0; 由f(x)0,得1x0. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,

8、0), f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1),(0,),當a0時,因為x1,所以f(x)0, 所以f(x)單調(diào)遞增,即f(x)minf(1) 設g(a)eaa(a0),g(a)ea10. 所以g(a)ming(0)e0010, 即eaa恒成立,即g(a)0, 所以不等式eaa0無解;,當a0時,,解析:(1)f(x)的定義域為(0,), 若a2,則f(x)0,當且僅當a2,x1時,f(x)0, 所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,若a2,令f(x)0,得,(2)證明:由(1)知,f(x)存在兩個極值點當且僅當a2. 由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足x2ax10, 所以x1x21,不妨設x1x2

9、,則x21.,1不等式恒成立求參數(shù) 求解含參不等式恒成立問題的關鍵是過好雙關:第一關是轉(zhuǎn)化關,即通過分離參數(shù)法,先轉(zhuǎn)化為f(a)g(x)(或f(a)g(x)對xD恒成立,再轉(zhuǎn)化為f(a)g(x)max (或f(a)g(x)min);第二關是求最值關,即求函數(shù)g(x)在區(qū)間D上的最大值(或最小值)問題,2不等式能成立求參數(shù) 求解含參不等式能成立問題的關鍵是過好“三關”:第一關是求導關,對于復合函數(shù)求導,注意由外向內(nèi)層層導,一直導到不能導;第二關是轉(zhuǎn)化關,即通過分離參數(shù)法,先轉(zhuǎn)化為存在xD,使f(a)g(x)(或f(a)g(x)成立,再轉(zhuǎn)化為f(a) g(x)min(或f(a)g(x)max);第

10、三關是求最值關,即求函數(shù)g(x)在區(qū)間D上的最小值(或最大值)問題不等式能成立求參數(shù)的取值范圍還可以直接利用圖象法,通過數(shù)形結(jié)合使問題獲解,3不等式證明 (1)利用導數(shù)證明單變量的不等式的常見形式是f(x)g(x)證明技巧:先將不等式f(x)g(x)移項,即構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x),轉(zhuǎn)化為證不等式h(x)0,再次轉(zhuǎn)化為證明h(x)min0,因此,只需在所給的區(qū)間內(nèi),判斷h(x)的符號,從而判斷其單調(diào)性,并求出函數(shù)h(x)的最小值,即可得證 (2)破解含雙參不等式的證明的關鍵:一是轉(zhuǎn)化,即由已知條件入手,尋找雙參所滿足的關系式,并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式;二是巧構(gòu)造函數(shù),再借

11、用導數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求其最值;三是回歸雙參的不等式的證明,把所求的最值應用到雙參不等式,即可證得結(jié)果,1復合函數(shù)的求導中錯用法則致誤,解析(1)因為f(x)ln(1x)ln(1x)(10, 所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增 所以g(x)g(0)0,x(0,1),,易錯防范(1)先利用對數(shù)運算化簡函數(shù)f(x),再進行求導,在一定程度上簡化了運算 (2)要注意求曲線yf(x)在某點處的切線時,該點為切點;求曲線yf(x)過某點的切線時,該點不一定是切點,求解切線方程時應注意區(qū)分兩者,以免產(chǎn)生錯誤,2混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間” (1)若f(x)在x

12、2處取得極小值,求a的值; (2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍,因為f(x)在x2處取得極小值,所以f(2)0,,由f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,得當x0時,f(x)0時,ax2(2a1)x a0有解(a為二次項的系數(shù),需分類討論) 當a0時,ax2(2a1)xa0顯然成立,當a0時,函數(shù)yax2(2a1)xa的圖象是開口向上的拋物線,只要方程ax2 (2a1)xa0有兩根,且至少有一個根為正根即可,易錯防范(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問題的常用解法有兩種:一種是子區(qū)間法,即利用集合思想求解;另一種是恒成立法,即若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減,則f(x)0在區(qū)間D上恒成立

13、(且不恒等于0),若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增,則f(x)0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0)勿因“”出錯 (2)已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍問題是存在性問題,其轉(zhuǎn)化方法為:若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則f(x)0在給定區(qū)間上有解注意將其與“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”的轉(zhuǎn)化方法區(qū)別開來,3混淆“極值”與“最值” 典例3(2018江西吉安西路片七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax2(12a)xln x. (1)當a0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 解析因為f(x)ax2(12a)xln x, (1)因為a0,x0,所以2ax10, 令f(x)0,得x1, 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,),易錯防范(1)解本題時不要混淆極值與最值,函數(shù)的極值是通過比較極值點附近的函數(shù)值得到的,它不一定是最值,而函數(shù)的最值是通過比較整個區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值得到的,可能在極值處取得,也可能在區(qū)間端點處取得 (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的最值一般有兩種情況:一是f(x0)0的解x0含參未定,區(qū)間D定;二是f(x0)0的解x0定,區(qū)間D未定兩者均需按x0在區(qū)間D內(nèi)與在區(qū)間D外進行分類討論,

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