2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(四十一) 第七章 第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 文

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1、 課時提升作業(yè)(四十一) 第七章 第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 一、選擇題 1.正方體ABCD -A1B1C1D1中,E,F分別是線段C1D,BC的中點,則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是　(　　) (A)相交 (B)異面 (C)平行 (D)垂直 2.已知命題:①若點P不在平面α內(nèi),A,B,C三點都在平面α內(nèi),則P,A,B,C四點不在同一平面內(nèi);②兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi);③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.其中正確命題的個數(shù)是　(　　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.(2013·信陽模擬)平面α,β的公共點多于兩

2、個,則 ①α,β垂直; ②α,β至少有三個公共點; ③α,β至少有一條公共直線; ④α,β至多有一條公共直線. 以上四個判斷中不成立的個數(shù)為n,則n等于　(　　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l =M,過A,B,C三點的平面記作γ,則γ與β的交線必通過　(　　) (A)點A (B)點B (C)點C但不過點M (D)點C和點M 5.給出下列命題: ①沒有公共點的兩條直線平行; ②互相垂直的兩條直線是相交直線; ③既不平行也不相交的直線是異面直線; ④不同在任一平面內(nèi)的

3、兩條直線是異面直線. 其中正確命題的個數(shù)是　(　　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6.(2013·九江模擬)下列命題中正確的是　(　　) ①兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影必相交; ②與一條直線成等角的兩條直線必平行; ③與一條直線都垂直的兩條直線必平行; ④與同一個平面平行的兩條直線必平行. (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)以上都不對 7.設(shè)P表示一個點,a,b表示兩條直線,α,β表示兩個平面,給出下列命題,其中正確的命題是　(　　) ①P∈a,P∈α?aα; ②a∩b=P,bβ?aβ; ③a∥b,aα,P∈b

4、,P∈α?bα; ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b. (A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④ 8.(能力挑戰(zhàn)題)在正方體ABCD -A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線　(　　) (A)不存在 (B)有且只有兩條 (C)有且只有三條 (D)有無數(shù)條 二、填空題 9.已知異面直線a,b所成角為60°,P為空間任意一點,過P點作直線l使l與a,b都成60°角,則這樣的直線l有　　　　條. 10.已知線段AB,CD分別在兩條異面直線上,M,N分別是線段AB

5、,CD的中點,則MN　　　　　?(AC+BD)(填“>”“<”或“=”). 11.對于四面體ABCD,下列命題正確的是　　　　(寫出所有正確命題的編號). ①相對棱AB與CD所在直線異面; ②由頂點A作四面體的高,其垂足是△BCD三條高線的交點; ③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高,則這兩條高所在的直線異面; ④分別作三組相對棱中點的連線,所得的三條線段相交于一點. 12.(2013·南寧模擬)如圖,在棱長為2的正方體ABCD -A1B1C1D1中,點O是底面ABCD的中心,點E,F分別是CC1,AD的中點,則異面直線OE與FD1所成角的余弦值為　　　　. 三、解

6、答題 13.如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延長線交于M,RQ,DB的延長線交于N,RP,DC的延長線交于K,求證:M,N,K三點共線. 14.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等腰直角三角形, ∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2,E,F分別是BC,AA1的中點. 求異面直線EF和A1B所成的角. 15.(能力挑戰(zhàn)題)(2013·三明模擬) 在四棱錐P -ABCD中,底面是邊長為2的菱形, ∠DAB=60°,對角線AC與BD交于點O,PO⊥平面ABCD, PB與平面ABCD所成角為60°. 若E是PB的中點,求異面直線DE與PA所成角的余弦值.

7、 答案解析 1.【解析】選A.直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1,EF平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交. 2.【解析】選A.當(dāng)A,B,C三點都在平面α內(nèi),且三點共線時,P,A,B,C四點在同一個平面內(nèi),故①錯誤;三棱錐的三條側(cè)棱所在的直線兩兩相交,但三條直線不在同一平面內(nèi),故②錯誤;兩組對邊分別相等的四邊形也可能是空間四邊形,故③錯誤. 3.【解析】選C.由條件知當(dāng)平面α,β的公共點多于兩個時,若所有公共點共線,則α,β相交;若公共點不共線,則α,β重合.故①不一定成立;②成立;③成立;④不成立. 4.【解析】選D.∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.

8、 又α∩β=l,M∈l, ∴M∈β. 根據(jù)公理3可知,M在γ與β的交線上. 同理可知,點C也在γ與β的交線上. 5.【解析】選B.沒有公共點的兩條直線平行或異面,故命題①錯;互相垂直的兩條直線相交或異面,故命題②錯;既不平行也不相交的直線是異面直線,不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線,命題③④正確,故選B. 6. 【解析】選D.在正方體A′B′C′D′-ABCD中, AA′與B′C′是異面直線, AA′在平面ABCD中的射影是點A, B′C′在平面ABCD內(nèi)的射影是直線BC,故①錯; AB,AD與AA′所成的角都是90°,但AB,AD相交于點A,故②③錯; 直線A′D′,

9、A′B′都平行于平面ABCD,但它們相交,故④錯. 7.【解析】選D.當(dāng)a∩α=P時,P∈a,P∈α,但aα, ∴①錯;當(dāng)a∩β=P時,②錯;如圖,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直線a與點P確定唯一平面α. 又a∥b,由a與b確定唯一平面β,但β過直線a與點P, ∴β與α重合,∴bα,故③正確;兩個平面的公共點必在其交線上,故④正確. 【誤區(qū)警示】解答本題時對平面性質(zhì)不熟、不善于舉出反例是致錯的主要原因. 8.【思路點撥】以A1D1,EF,CD為棱構(gòu)造平行六面體解決. 【解析】選D.先說明“對于空間內(nèi)任意三條兩兩異面的直線a,b,c,與直線a,b,c都相交的直線有無數(shù)條”這

10、個結(jié)論的正確性.無論兩兩異面的三條直線a,b,c的相對位置如何,總可以構(gòu)造一個平行六面體ABCD -A1B1C1D1,使直線AB,B1C1,DD1分別作為直線a,b,c,在棱DD1的延長線上任取一點M,由點M與直線a確定一個平面α,平面α與直線B1C1交于點P,與直線A1D1交于點Q,則PQ在平面α內(nèi),直線PM不與a平行,設(shè)直線PM與a交于點N.這樣的直線MN就同時與直線a,b,c相交.由于點M的取法有無窮多種,因此在空間同時與直線a,b,c相交的直線有無數(shù)條.依題意,不難得知題中的直線A1D1,EF,CD是兩兩異面的三條直線,由以上結(jié)論可知,在空間與直線A1D1,EF,CD都相交的直線有無數(shù)

11、條,選D. 【變式備選】如圖所示,ABCD -A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結(jié)論正確的是(　　) (A)A,M,O三點共線 (B)A,M,O,A1不共面 (C)A,M,C,O不共面 (D)B,B1,O,M共面 【解析】選A.連接A1C1,AC,則A1C1∥AC, ∴A1,C1,A,C四點共面,∴A1C平面ACC1A1. ∵M(jìn)∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1, ∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上, 同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上. ∴A,M,O三點共線. 9.【解析

12、】由于l與a,b所成角都是60°,而60°>30°,且120°角的一半也為60°,故這樣的直線l有3條. 答案:3 10.【解析】如圖所示,四邊形ABCD是空間四邊形,而不是平面四邊形,要想求MN與AC,BD的關(guān)系,必須將它們轉(zhuǎn)化到平面來考慮.取AD的中點為G,再連接MG,NG,在△ABD中,M,G分別是線段AB,AD的中點,則MG∥BD,且MG=BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=AC,又根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知,MN

13、高,當(dāng)四面體ABCD的對棱互相垂直時,其垂足是△BCD的三條高線的交點,故②錯誤;當(dāng)DA=DB,CA=CB時,這兩條高線共面,故③錯誤;設(shè)AB,BC,CD,DA的中點依次為E,F,M,N,易證四邊形EFMN為平行四邊形,所以EM與FN相交于一點,易證另一組對棱中點的連線也過它們的交點,故④正確. 答案:①④ 12.【解析】取D1C1的中點G,連接OF,OG,GE. 因為點O是底面ABCD的中心,F為AD的中點, 所以O(shè)F􀱀CD,D1GCD,即OFD1G, 所以四邊形OGD1F為平行四邊形. 所以D1F∥GO,即OE與FD1所成角也就是OE與OG所成角. 在△

14、OGE中,OG=FD1=,GE=,OE=, 所以GE2+OE2=OG2,即△GOE為直角三角形,所以cos∠GOE===, 即異面直線OE與FD1所成角的余弦值為. 答案: 【變式備選】(2013·揭陽模擬)如圖,正三棱柱ABC -A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2,E,F分別是AB,A1C1的中點,則EF與側(cè)棱C1C所成的角的余弦值是 (　　) (A) (B) (C) (D)2 【解析】選B.如圖,取AC中點G,連接FG,EG,則FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=BC,故∠EFG即為EF與C1C所成的角(或補角),在Rt△EFG中,cos

15、∠EFG===. 13.【證明】∵M(jìn)∈PQ, 直線PQ平面PQR,M∈BC,直線BC平面BCD, ∴M是平面PQR與平面BCD的一個公共點, 即M在平面PQR與平面BCD的交線l上. 同理可證:N,K也在l上,∴M,N,K三點共線. 14.【解析】取AB的中點D,連接DE,DF,則DF∥A1B, ∴∠DFE(或其補角)即為所求. 由題意易知,DF=,DE=1,AE=, 由DE⊥AB,DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1, ∴DE⊥DF,即△EDF為直角三角形, ∴tan∠DFE===,∴∠DFE=30°, 即異面直線EF和A1B所成的角為30°. 15.【解析】取AB的中點F,連接EF,DF, ∵E為PB中點, ∴EF∥PA, ∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或補角). 在Rt△AOB中, AO=AB·cos30°==OP, ∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=. ∵四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°, ∴△ABD為正三角形. 又∵∠PBO=60°,BO=1, ∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD為正三角形, ∴DF=DE=, ∴cos∠DEF= ===. 即異面直線DE與PA所成角的余弦值為. - 7 -