2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升作業(yè)(四十一) 第七章 第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 文

課時(shí)提升作業(yè)(四十一) 第七章 第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理一、選擇題1.正方體ABCD -A1B1C1D1中,E,F分別是線段C1D,BC的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()(A)相交(B)異面(C)平行(D)垂直2.已知命題:若點(diǎn)P不在平面內(nèi),A,B,C三點(diǎn)都在平面內(nèi),則P,A,B,C四點(diǎn)不在同一平面內(nèi);兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi);兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()(A)0(B)1(C)2(D)33.(2013·信陽(yáng)模擬)平面,的公共點(diǎn)多于兩個(gè),則,垂直;,至少有三個(gè)公共點(diǎn);,至少有一條公共直線;,至多有一條公共直線.以上四個(gè)判斷中不成立的個(gè)數(shù)為n,則n等于()(A)0(B)1(C)2(D)34.如圖,=l,A,B,C,且Cl,直線ABl =M,過(guò)A,B,C三點(diǎn)的平面記作,則與的交線必通過(guò)()(A)點(diǎn)A(B)點(diǎn)B(C)點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M(D)點(diǎn)C和點(diǎn)M5.給出下列命題:沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行;互相垂直的兩條直線是相交直線;既不平行也不相交的直線是異面直線;不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)46.(2013·九江模擬)下列命題中正確的是()兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影必相交;與一條直線成等角的兩條直線必平行;與一條直線都垂直的兩條直線必平行;與同一個(gè)平面平行的兩條直線必平行.(A)(B)(C)(D)以上都不對(duì)7.設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn),a,b表示兩條直線,表示兩個(gè)平面,給出下列命題,其中正確的命題是()Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb.(A)(B)(C)(D)8.(能力挑戰(zhàn)題)在正方體ABCD -A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線()(A)不存在(B)有且只有兩條(C)有且只有三條(D)有無(wú)數(shù)條二、填空題9.已知異面直線a,b所成角為60°,P為空間任意一點(diǎn),過(guò)P點(diǎn)作直線l使l與a,b都成60°角,則這樣的直線l有條.10.已知線段AB,CD分別在兩條異面直線上,M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn),則MN (AC+BD)(填“>”“<”或“=”).11.對(duì)于四面體ABCD,下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號(hào)).相對(duì)棱AB與CD所在直線異面;由頂點(diǎn)A作四面體的高,其垂足是BCD三條高線的交點(diǎn);若分別作ABC和ABD的邊AB上的高,則這兩條高所在的直線異面;分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線,所得的三條線段相交于一點(diǎn).12.(2013·南寧模擬)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD -A1B1C1D1中,點(diǎn)O是底面ABCD的中心,點(diǎn)E,F分別是CC1,AD的中點(diǎn),則異面直線OE與FD1所成角的余弦值為.三、解答題13.如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延長(zhǎng)線交于M,RQ,DB的延長(zhǎng)線交于N,RP,DC的延長(zhǎng)線交于K,求證:M,N,K三點(diǎn)共線.14.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等腰直角三角形,BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2,E,F分別是BC,AA1的中點(diǎn).求異面直線EF和A1B所成的角.15.(能力挑戰(zhàn)題)(2013·三明模擬)在四棱錐P -ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,DAB=60°,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,PO平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.若E是PB的中點(diǎn),求異面直線DE與PA所成角的余弦值.答案解析1.【解析】選A.直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.2.【解析】選A.當(dāng)A,B,C三點(diǎn)都在平面內(nèi),且三點(diǎn)共線時(shí),P,A,B,C四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),故錯(cuò)誤;三棱錐的三條側(cè)棱所在的直線兩兩相交,但三條直線不在同一平面內(nèi),故錯(cuò)誤;兩組對(duì)邊分別相等的四邊形也可能是空間四邊形,故錯(cuò)誤.3.【解析】選C.由條件知當(dāng)平面,的公共點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí),若所有公共點(diǎn)共線,則,相交;若公共點(diǎn)不共線,則,重合.故不一定成立;成立;成立;不成立.4.【解析】選D.AB,MAB,M.又=l,Ml,M.根據(jù)公理3可知,M在與的交線上.同理可知,點(diǎn)C也在與的交線上.5.【解析】選B.沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行或異面,故命題錯(cuò);互相垂直的兩條直線相交或異面,故命題錯(cuò);既不平行也不相交的直線是異面直線,不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線,命題正確,故選B.6. 【解析】選D.在正方體ABCD-ABCD中,AA與BC是異面直線,AA在平面ABCD中的射影是點(diǎn)A,BC在平面ABCD內(nèi)的射影是直線BC,故錯(cuò);AB,AD與AA所成的角都是90°,但AB,AD相交于點(diǎn)A,故錯(cuò);直線AD,AB都平行于平面ABCD,但它們相交,故錯(cuò).7.【解析】選D.當(dāng)a=P時(shí),Pa,P,但a,錯(cuò);當(dāng)a=P時(shí),錯(cuò);如圖,ab,Pb,Pa,由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面.又ab,由a與b確定唯一平面,但過(guò)直線a與點(diǎn)P,與重合,b,故正確;兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上,故正確.【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)對(duì)平面性質(zhì)不熟、不善于舉出反例是致錯(cuò)的主要原因.8.【思路點(diǎn)撥】以A1D1,EF,CD為棱構(gòu)造平行六面體解決.【解析】選D.先說(shuō)明“對(duì)于空間內(nèi)任意三條兩兩異面的直線a,b,c,與直線a,b,c都相交的直線有無(wú)數(shù)條”這個(gè)結(jié)論的正確性.無(wú)論兩兩異面的三條直線a,b,c的相對(duì)位置如何,總可以構(gòu)造一個(gè)平行六面體ABCD -A1B1C1D1,使直線AB,B1C1,DD1分別作為直線a,b,c,在棱DD1的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)M,由點(diǎn)M與直線a確定一個(gè)平面,平面與直線B1C1交于點(diǎn)P,與直線A1D1交于點(diǎn)Q,則PQ在平面內(nèi),直線PM不與a平行,設(shè)直線PM與a交于點(diǎn)N.這樣的直線MN就同時(shí)與直線a,b,c相交.由于點(diǎn)M的取法有無(wú)窮多種,因此在空間同時(shí)與直線a,b,c相交的直線有無(wú)數(shù)條.依題意,不難得知題中的直線A1D1,EF,CD是兩兩異面的三條直線,由以上結(jié)論可知,在空間與直線A1D1,EF,CD都相交的直線有無(wú)數(shù)條,選D.【變式備選】如圖所示,ABCD -A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是()(A)A,M,O三點(diǎn)共線(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面【解析】選A.連接A1C1,AC,則A1C1AC,A1,C1,A,C四點(diǎn)共面,A1C平面ACC1A1.MA1C,M平面ACC1A1.又M平面AB1D1,M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.A,M,O三點(diǎn)共線.9.【解析】由于l與a,b所成角都是60°,而60°>30°,且120°角的一半也為60°,故這樣的直線l有3條.答案:310.【解析】如圖所示,四邊形ABCD是空間四邊形,而不是平面四邊形,要想求MN與AC,BD的關(guān)系,必須將它們轉(zhuǎn)化到平面來(lái)考慮.取AD的中點(diǎn)為G,再連接MG,NG,在ABD中,M,G分別是線段AB,AD的中點(diǎn),則MGBD,且MG=BD,同理,在ADC中,NGAC,且NG=AC,又根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知,MN<MG+NG,即MN<BD+AC=(AC+BD).答案:<11.【解析】由四面體的概念可知,AB與CD所在的直線為異面直線,故正確;由頂點(diǎn)A作四面體的高,當(dāng)四面體ABCD的對(duì)棱互相垂直時(shí),其垂足是BCD的三條高線的交點(diǎn),故錯(cuò)誤;當(dāng)DA=DB,CA=CB時(shí),這兩條高線共面,故錯(cuò)誤;設(shè)AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)依次為E,F,M,N,易證四邊形EFMN為平行四邊形,所以EM與FN相交于一點(diǎn),易證另一組對(duì)棱中點(diǎn)的連線也過(guò)它們的交點(diǎn),故正確.答案:12.【解析】取D1C1的中點(diǎn)G,連接OF,OG,GE.因?yàn)辄c(diǎn)O是底面ABCD的中心,F為AD的中點(diǎn),所以O(shè)F􀱀CD,D1GCD,即OFD1G,所以四邊形OGD1F為平行四邊形.所以D1FGO,即OE與FD1所成角也就是OE與OG所成角.在OGE中,OG=FD1=,GE=,OE=,所以GE2+OE2=OG2,即GOE為直角三角形,所以cosGOE=,即異面直線OE與FD1所成角的余弦值為.答案:【變式備選】(2013·揭陽(yáng)模擬)如圖,正三棱柱ABC -A1B1C1的各棱長(zhǎng)(包括底面邊長(zhǎng))都是2,E,F分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF與側(cè)棱C1C所成的角的余弦值是 ()(A)(B)(C)(D)2【解析】選B.如圖,取AC中點(diǎn)G,連接FG,EG,則FGC1C,FG=C1C;EGBC,EG=BC,故EFG即為EF與C1C所成的角(或補(bǔ)角),在RtEFG中,cosEFG=.13.【證明】MPQ,直線PQ平面PQR,MBC,直線BC平面BCD,M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn),即M在平面PQR與平面BCD的交線l上.同理可證:N,K也在l上,M,N,K三點(diǎn)共線.14.【解析】取AB的中點(diǎn)D,連接DE,DF,則DFA1B,DFE(或其補(bǔ)角)即為所求.由題意易知,DF=,DE=1,AE=,由DEAB,DEAA1得DE平面ABB1A1,DEDF,即EDF為直角三角形,tanDFE=,DFE=30°,即異面直線EF和A1B所成的角為30°.15.【解析】取AB的中點(diǎn)F,連接EF,DF,E為PB中點(diǎn),EFPA,DEF為異面直線DE與PA所成角(或補(bǔ)角).在RtAOB中,AO=AB·cos30°=OP,在RtPOA中,PA=,EF=.四邊形ABCD為菱形,且DAB=60°,ABD為正三角形.又PBO=60°,BO=1,PB=2,PB=PD=BD,即PBD為正三角形,DF=DE=,cosDEF=.即異面直線DE與PA所成角的余弦值為.- 7 -