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1、彎曲應力,第十章,基 本 要 求,1.明確純彎曲和橫力彎曲的概念，掌握推導彎曲正應力公式的方法。 2.熟練掌握彎曲正應力的計算、強度條件及其應用。 3.掌握常用截面梁橫截面上最大剪應力計算和彎曲剪應力強度的校核方法。 4.了解提高梁強度的一些主要措施。,10.1 梁的純彎曲,10.2 純彎曲時的正應力,10.4 彎曲切應力,10.3 橫力彎曲時的正應力,10.5 提高彎曲強度的措施,目 錄,,,,,,10.1 梁的純彎曲,,CD段：,彎矩為常量，剪力為零。,,,請看一個實例,這種彎曲稱為純彎曲。,AC、DB兩段：,這種彎曲稱為橫力彎曲。,同時存在彎矩和剪力。,因此這種彎曲情況下，很截面上只有正
2、應力,10.2 純彎曲時的正應力,,一、實驗觀察,（1）變形后，橫截面仍保持為平面。但橫截面間發(fā)生轉動。,（2）同一層（高度）的纖維變形相同，即曲率相同。,（3）矩形橫截面上寬下窄。,二、兩個假設,（1）平面假設,（2）縱向纖維互不擠壓假設，即單向拉壓。,,三、理論分析,1、變形幾何關系,中性層：梁中纖維即不伸長也不縮短的那層。,中性軸：中性層與橫截面的交線。, 中性層的曲率半徑。,依然從以下三方面來分析：,變形后：,變形前：,,即：,由實驗觀察， 橫截面變形后仍保持為平面， 且仍與軸線垂直，=0,求距中性層為 y 處的纖維 的變形：,,2、物理關系,由假設（2），知各縱向纖維為單向拉壓，所
3、以在彈性范圍內(nèi)有：,說明：,到這一步，我們可推知正應力隨y 的變化規(guī)律，但還不能確定其值。,該空間力系中,已經(jīng)自動滿足。,另有：,所以由（1）式：,說明中性軸過形心,3、靜力學關系,,由（2）式：,由于y軸是對稱軸，此式自然滿足。,,由（3）式：,由靜力學關系得到,由變形幾何關系得到,由物理關系得到,綜上分析，可以得到梁純彎曲時 橫截面上的彎曲正應力計算公式：,,,幾 點 說 明,（1）纖維變形及應力都隨y的增大而增大。若y為負，則產(chǎn)生壓縮變形， 應力為壓應力。,（2）公式適用于比例極限范圍內(nèi) ，外力過主形心慣性平面。,（3）當梁的 l 5h 時，上述公式可以推廣到橫力彎曲。,（4）、y
4、的符號由變形來判斷。,（5）由公式推導可知，公式不僅適用于矩形截面，而且適用于其它一些 截面，如：T字形梁，工字形梁，圓截面梁，等等。同時我們可以給 出各種梁的正應力分布情況。,（6）一些工程實例： 大橋做成拱狀。趙州橋，最早的石拱橋。 水泥預制板，中間做空，下面加筋（鋼筋或竹筋） 梁式起重機大梁，箱形截面或工字形截面。,10.3 橫力彎曲時的正應力,,橫力彎曲時，在彎矩最大的截面上離中性軸最遠處發(fā)生最大正應力,由于切應力對橫截面上各點的彎曲正應力影響很小，所以對于橫力彎曲仍可以沿用純彎曲正應力公式：,W稱為抗彎截面系數(shù)，單位是m3或mm3 。,對于寬為b高為h的矩形截面：
5、,對于直徑為d的圓形截面：,限定最大彎曲正應力不得超過許用應力，于是強度條件為：,設t 表示拉應力，c 表示壓應力，則：,塑性材料， t= c= ；,工程中，一般對塑性材料選用中性軸同截面對稱軸重合的截面形狀。對脆性材料，則不將對稱軸作中性軸，以充分利用材料的性能，使設計更經(jīng)濟合理。,脆性材料， t c，且t< c,彎曲正應力強度條件的應用：,1、強度校核,2、梁的截面尺寸設計,3、求解許用載荷,e.g.1：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應力強度條件確定兩者許可載荷之比 PaPb？,解：,根據(jù)題意有,解之得,已知：P=10KN，a=1.2m =10
6、MPa，h/b=2,e.g.2,試：選擇梁的截面尺寸。,解：,由對稱性，可得：,作彎矩圖，,由強度條件,得：,故：,選取截面為：,由圖可得：,已知：l=1.2m，=170MPa， 18號工字鋼，不計自重。,e.g.3,求：P 的最大許可值。,解：,作彎矩圖，,得：,故：,查附錄A表4，,由：,由圖可得：,解：,作彎矩圖，,許用應力為：,很容易求出：,校核強度：,截面A下邊緣：,截面A上邊緣：,截面C下邊緣：,故：滿足強度要求,,由圖可得危險截面彎矩：,e.g.5：主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長度a為多少？,解：,主梁AB
7、的最大彎矩,副梁CD的最大彎矩,根據(jù)題意有,解之得,e.g.6圖示三種截面梁，材質、截面內(nèi)max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經(jīng)濟。,,,,解：由題意可知,即,e.g.7：矩形截面梁當橫截面的高度增加一倍，寬度減小一半時，從正應力強度條件考慮，該梁的承載能力將是原來的多少倍？,解：,由公式,根據(jù)題意有,解之得,該梁的承載能力將是原來的 2 倍。,,,,,,,,,,,,,,,解：,C點的應力,C截面的彎矩,由,得,,e.g.9圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應力和許用壓應力分別為 t和c，則 y1 和 y2 的最佳比值為多少？（為截面形心）,,,,,,,,,,解：,e.g.10
8、：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為 10 mm，E=10GPa， 求載荷P的大小。,,,,,,,,,,,解：,,e.g.11：我國營造法中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是 h:b=3:2。試用彎曲正應力強度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,解：,由此得,,10.4 彎曲切應力,,一、矩形截面梁的切應力,式中：,,,,設距離中性軸為y的橫線上切應力為：,,若Q已知, 則有:,二、工字形梁的切應力,此部分可近似運用矩形公式，它相當于幾個矩形所構成，但矩形梁的條件是：hd 所以僅有腹板可以用.,,說明:,（1）腹板最上面的剪應力不等于翼緣最下面的剪應力，翼緣上不能用上述公式。,
9、（2）翼緣最外邊緣處剪應力為零，中間部分的剪應力也很小，可忽略，但是水平剪應力卻較大，可用開口薄壁桿件的剪應力公式求之,（3）由于hb， ， 因此可以認為腹板上的剪應力大致是均勻分布的，且誤差很小。,三、圓截面梁的切應力,（2）同一層在y方向上的分量y為常數(shù).,1、與Q的方向不一致，如外邊緣上的方向與切線一致。,假設,（1）同一層的方向如圖，而z軸上, 則與Q的方向一致。,,,式中: Q 橫截面上的剪力, Iz 圓截面對中性軸的慣性矩, d 剪應力所在的弦長, Sz* 剪應力所在弦的上方或 下方面積對中性軸的靜矩.,由上面的假設，對y 而言，就與對矩形截面所作的假設完
10、全相同。 于是，圓截面梁的剪應力公式可表示為：,max,max一定在中性軸(y=0)上, 其方向和剪力一致,且,,誤差<5%.,說明：,2、公式,四、彎曲剪應力強度校核,1、彎曲最大剪應力,其中， 是中性軸一邊的截面面積對中性軸的靜矩。,2、強度校核,中性軸上的受力狀態(tài)是純剪，故有,A、梁的跨度較短，或在支座附近有較大載荷； B、鉚接或焊接的工字形截面梁，腹板薄，而厚度大； C、薄壁截面梁； D、焊接或膠合而成的組合截面梁，其焊縫或膠合縫需要校核； E、木梁順紋方向抗剪差。,3、討論,（1）細長梁的強度控制因素主要是正應力，滿足正應力強度的 橫截面一般都能滿足剪應力強度。,（2）但如
11、下情況需進行梁的剪應力校核：,解：,（1）作剪力圖和彎矩圖，,（2）選擇截面,查附表，選用10號工字鋼,由正應力強度條件，得：,由圖可得：,（3）校核切應力強度,查附表，對10號工字鋼,故：,（4）重新選擇截面,查附表，改選用12.6號工字鋼,則：,滿足切應力強度條件。所以，最后選用12.6號工字鋼,6.5 提高彎曲強度的措施,,主要以此作為設計梁的依據(jù),從以下兩方面來考慮：,（1）合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的值；,（2）采用合理的截面形狀，以提高W 的值，充分利用材料性能。,1、合理布置支座的位置,一、合理安排梁的受力情況,,x=0.207l的時候，最大彎矩減小了83%,a=0.2
12、l的時候，最大彎矩減小了20%,2、合理布置載荷的位置,按下方圖的方式最大彎矩減小了25%,1、由應力分布考慮,經(jīng)濟系數(shù)：單位橫截面積所產(chǎn)生的抗彎性能：,說明（1）矩形梁豎放，而不橫放。 （2）截面積盡可能地遠離中性軸，不用矩形，而選用工字 形、槽形、或用加強板。,2、由材料的性質看,脆性材料：中性軸靠近受拉邊。,塑性材料：中性軸是對稱軸。,3、由結構的要求,梁：矩形、工字形、槽形,軸：圓形,二、選擇合理的截面形狀,三、等強度梁,使任一截面的最大正應力都相等或近似相等，或盡可能地充分利用材料。,橫截面尺寸沿著梁軸線變化的梁稱為變截面梁。,當梁的各橫截面上最大正應力都等于材料的許用應力時，稱為等強度梁。,謝謝大家,
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