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1、
函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則
前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則,我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù),故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。
⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則
?? 若已知x→x0(或x→∞)時(shí),.
則:? ? ????
??????
??? 推論:????
在求函數(shù)的極限時(shí),利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求極限。
例題:求
解答:
例題:求
此題如果像上題那樣求解,則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限,像這種情況怎么辦呢?下面我們把它解出來(lái)。
解答:
注:通過(guò)此例題我們可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)分式的分子和分
2、母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了,應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形,然后運(yùn)用規(guī)則求之。
函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則
學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前,我們先來(lái)學(xué)習(xí)一下左、右的概念。
我們先來(lái)看一個(gè)例子:
例:符號(hào)函數(shù)為
對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。
定義:如果x僅從左側(cè)(x<x0)趨近x0時(shí),函數(shù)與常量A無(wú)限接近,則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限.記:
如果x僅從右側(cè)(x>x0)趨近x0時(shí),函數(shù)與常量A無(wú)限接近,則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限.記:
注:只有當(dāng)x→x0時(shí),函數(shù)的左、右極限存在且相等,方稱在x→x0時(shí)有
3、極限
函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則
?? 準(zhǔn)則一:對(duì)于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x,x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤,且,
那末存在,且等于A
注:此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.
準(zhǔn)則二:?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.
注:有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界
兩個(gè)重要的極限
?? 一:
注:其中e為無(wú)理數(shù),它的值為:e=2.718281828459045...
二:
注:在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明.
注:我們要牢記這兩個(gè)重要極限,在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們.
例題:求
解答:令,則x=-2t,因?yàn)閤→∞,故t→∞,
則
注:解此類型的題時(shí),一定要注意代換后的變量
4、的趨向情況,象x→∞時(shí),若用t代換1/x,則t→0.
無(wú)窮大量和無(wú)窮小量
無(wú)窮大量
我們先來(lái)看一個(gè)例子:
已知函數(shù),當(dāng)x→0時(shí),可知,我們把這種情況稱為趨向無(wú)窮大。為此我們可定義如下:設(shè)有函數(shù)y=,在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義,對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù)),總可找到正數(shù)δ,當(dāng)
時(shí),成立,則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大量。
記為:(表示為無(wú)窮大量,實(shí)際它是沒有極限的)
同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí),無(wú)限趨大的定義:設(shè)有函數(shù)y=,當(dāng)x充分大時(shí)有定義,對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù)),總可以找到正數(shù)M,當(dāng)時(shí),成立,則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無(wú)窮大量,記為:
無(wú)窮小量
以零為極限的變量
5、稱為無(wú)窮小量。
定義:設(shè)有函數(shù),對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小),總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M),使得對(duì)于適合不等式(或)的一切x,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式,則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時(shí) 為無(wú)窮小量.
記作:(或)
注意:無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是一個(gè)變化不定的量,不是常量,只有0可作為無(wú)窮小量的唯一常量。無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是:前者無(wú)界,后者有界,前者發(fā)散,后者收斂于0.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.
關(guān)于無(wú)窮小量的兩個(gè)定理
定理一:如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A,則差是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量,反之亦成立。
定理二:無(wú)窮小量的有利運(yùn)算定理
a):有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是
6、無(wú)窮小量; b):有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量;c):常數(shù)與無(wú)窮小量的積也是無(wú)窮小量.
無(wú)窮小量的比較
通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道,兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差及乘積仍舊是無(wú)窮小.那么兩個(gè)無(wú)窮小量的商會(huì)是怎樣的呢?好!接下來(lái)我們就來(lái)解決這個(gè)問題,這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無(wú)窮小量的比較。
定義:設(shè)α,β都是時(shí)的無(wú)窮小量,且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零,
a):如果,則稱α是β的高階無(wú)窮小或β是α的低階無(wú)窮小;
b):如果,則稱α和β是同階無(wú)窮??;
c):如果,則稱α和β是等價(jià)無(wú)窮小,記作:α∽β(α與β等價(jià))
例:因?yàn)?,所以?dāng)x→0時(shí),x與3x是同階無(wú)窮??;
因?yàn)?,所以?dāng)x→0時(shí),x2是3x
7、的高階無(wú)窮??;
因?yàn)?,所以?dāng)x→0時(shí),sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小。
等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)
設(shè),且存在,則.
注:這個(gè)性質(zhì)表明:求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí),分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替,因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求極限問題。
例題:1.求
??解答:當(dāng)x→0時(shí),sinax∽ax,tanbx∽bx,故:
例題: 2.求
解答:
注:
注:從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn),作無(wú)窮小變換時(shí),要代換式中的某一項(xiàng),不能只代換某個(gè)因子。
函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性
在自然界中有許多現(xiàn)象,如氣溫的變化,植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映,就是函數(shù)的連續(xù)性
在定義函數(shù)的
8、連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念——增量
設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2,終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量,記為:△x即:△x=x2-x1 增量△x可正可負(fù).
我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子:函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時(shí),函數(shù)y相應(yīng)地從變到,其對(duì)應(yīng)的增量為:
這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖:
現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述:如果當(dāng)△x趨向于零時(shí),函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量△y也趨向于零,即:,那末就稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。
函數(shù)連續(xù)性的定義:
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù),且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn).
下面我們結(jié)合著
9、函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義,如果左極限存在且等于,即:=,那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義,如果右極限存在且等于,即:=,那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù).
一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù),若又在a點(diǎn)右連續(xù),b點(diǎn)左連續(xù),則在閉區(qū)間[a,b]連續(xù),如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù),則稱為連續(xù)函數(shù)。
注:一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù),則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù),否則在此點(diǎn)不連續(xù).
注:連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。
通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了,同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在
10、某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢?接著我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)問題:函數(shù)的間斷點(diǎn)
函數(shù)的間斷點(diǎn)
定義:我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).
???? 它包括三種情形:
a):在x0無(wú)定義;
b):在x→x0時(shí)無(wú)極限;
c):在x→x0時(shí)有極限但不等于;
下面我們通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型:
例1: 正切函數(shù)在處沒有定義,所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn),因,我們就稱為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn);
例2:函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義;故當(dāng)x→0時(shí),函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次,我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn);
? 例3:函數(shù)當(dāng)x→0時(shí),左極限,右極限,從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在,但不相等,故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí),函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn);我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來(lái)如下:
間斷點(diǎn)的分類
我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類:如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn),且其左、右極限都存在,我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn);不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn),稱為第二類間斷點(diǎn).
可去間斷點(diǎn)
若x0是函數(shù)的間斷點(diǎn),但極限存在,那末x0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是:不存在或者是存在但≠。我們令,則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù),故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)。
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