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1、
函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則
前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。
⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則
?? 若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，.
則：? ? ????
??????
??? 推論：????
在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡單的函數(shù)來求極限。
例題：求
解答：
例題：求
此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。
解答：
注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分
2、母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。
函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則
學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。
我們先來看一個(gè)例子：
例：符號(hào)函數(shù)為
對于這個(gè)分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。
定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限.記：
如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限.記：
注：只有當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時(shí)有
3、極限
函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則
?? 準(zhǔn)則一：對于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且，
那末存在，且等于A
注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.
準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.
注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界
兩個(gè)重要的極限
?? 一：
注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045...
二：
注：在此我們對這兩個(gè)重要極限不加以證明.
注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們.
例題：求
解答：令，則x=-2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞，
則
注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量
4、的趨向情況，象x→∞時(shí)，若用t代換1/x，則t→0.
無窮大量和無窮小量
無窮大量
我們先來看一個(gè)例子：
已知函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)
時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大量。
記為：（表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）
同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí)，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時(shí)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無窮大量，記為：
無窮小量
以零為極限的變量
5、稱為無窮小量。
定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時(shí) 為無窮小量.
記作：(或)
注意：無窮大量與無窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.
關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理
定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無窮小量，反之亦成立。
定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理
a)：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是
6、無窮小量； b)：有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.
無窮小量的比較
通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個(gè)無窮小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。
定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，
a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮??；
b)：如果，則稱α和β是同階無窮小；
c)：如果，則稱α和β是等價(jià)無窮小，記作：α∽β(α與β等價(jià))
例：因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x與3x是同階無窮小；
因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x2是3x
7、的高階無窮??；
因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無窮小。
等價(jià)無窮小的性質(zhì)
設(shè)，且存在，則.
注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來簡化求極限問題。
例題：1.求
??解答：當(dāng)x→0時(shí)，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：
例題： 2.求
解答：
注：
注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。
函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性
在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性
在定義函數(shù)的
8、連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念——增量
設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1 增量△x可正可負(fù).
我們再來看一個(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：
這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：
現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時(shí)，函數(shù)y對應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。
函數(shù)連續(xù)性的定義：
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn).
下面我們結(jié)合著
9、函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù).
一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。
注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).
注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。
通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在
10、某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)
函數(shù)的間斷點(diǎn)
定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).
???? 它包括三種情形：
a)：在x0無定義；
b)：在x→x0時(shí)無極限；
c)：在x→x0時(shí)有極限但不等于；
下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：
例1： 正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；
例2：函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無限多次，我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)；
? 例3：函數(shù)當(dāng)x→0時(shí)，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下:
間斷點(diǎn)的分類
我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).
可去間斷點(diǎn)
若x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)。
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2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則
