2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

上傳人:xins****2008 文檔編號(hào):144423486 上傳時(shí)間:2022-08-27 格式:DOC 頁(yè)數(shù):9 大小:241KB
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1、 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 微分學(xué)中值定理 ?? 在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前,我們先從幾何的角度看一個(gè)問(wèn)題,如下: ?? 設(shè)有連續(xù)函數(shù),a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)(a<b),假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo),也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線(xiàn),那末我們從圖形上容易直到, ??????????????????????????? ?? 差商就是割線(xiàn)AB的斜率,若我們把割線(xiàn)AB作平行于自身的移動(dòng),那么至少有一次機(jī)會(huì)達(dá)到離割線(xiàn)最遠(yuǎn)的一點(diǎn)P(x=c)處成為曲線(xiàn)的切線(xiàn),而曲線(xiàn)的斜率為,由于切線(xiàn)與割線(xiàn)是平行的,因此 ?????????????????????????? 成立。

2、?? 注:這個(gè)結(jié)果就稱(chēng)為微分學(xué)中值定理,也稱(chēng)為拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 ?? 如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c,使 ????????????????????????? 成立。 ?? 這個(gè)定理的特殊情形,即:的情形,稱(chēng)為羅爾定理。描述如下: ?? 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且,那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c,使成立。 ?? 注:這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初,在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來(lái)的。 ?? 注:在此我們對(duì)這兩個(gè)定理不加以證明,若有什么疑問(wèn),請(qǐng)參考相關(guān)書(shū)籍 ?? 下面我們?cè)趯W(xué)習(xí)

3、一條通過(guò)拉格朗日中值定理推廣得來(lái)的定理——柯西中值定理 柯西中值定理 ?? 如果函數(shù),在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且≠0,那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c,使成立。 ?? 例題:證明方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根 ??? 證明:不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ???????? 函數(shù)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理 ???????? 可知,在0與1之間至少有一點(diǎn)c,使,即 ???????? 也就是:方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根 未定式問(wèn)題   ?? 問(wèn)題:什么樣的式子稱(chēng)作未定式呢? ?? 答案:對(duì)于函數(shù),來(lái)說(shuō),當(dāng)x→a(或x→

4、∞)時(shí),函數(shù),都趨于零或無(wú)窮大 ????? 則極限可能存在,也可能不存在,我們就把式子稱(chēng)為未定式。分別記為型 ?? 我們?nèi)菀字?,?duì)于未定式的極限求法,是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個(gè)法則來(lái)求解的,那么我們?cè)撊绾吻筮@類(lèi)問(wèn)題的極限呢? ?? 下面我們來(lái)學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則,它就是這個(gè)問(wèn)題的答案 ?? 注:它是根據(jù)柯西中值定理推出來(lái)的。 羅彼塔(L'Hospital)法則 ?? 當(dāng)x→a(或x→∞)時(shí),函數(shù),都趨于零或無(wú)窮大,在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)│x│>N)時(shí),與都存在,≠0,且存在 ???? 則:= ?? 這種通過(guò)分子分母求導(dǎo)再來(lái)求極限來(lái)確定未定式

5、的方法,就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則 ?? 注:它是以前求極限的法則的補(bǔ)充,以前利用法則不好求的極限,可利用此法則求解。 ?? 例題:求 ?? 解答:容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的,因?yàn)樗俏炊ㄊ街械男颓蠼鈫?wèn)題,因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。 ????????? ?? 例題:求 ?? 解答:此題為未定式中的型求解問(wèn)題,利用羅彼塔法則來(lái)求解 ????????? ? 另外,若遇到 、、 、 、 等型,通常是轉(zhuǎn)化為型后,在利用法則求解。 ?? 例題:求 ?? 解答:此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的,它為型,故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解, ?

6、????????? ?? 注:羅彼塔法則只是說(shuō)明:對(duì)未定式來(lái)說(shuō),當(dāng)存在,則存在且二者的極限相同;而并不是不存在時(shí),也不存在,此時(shí)只是說(shuō)明了羅彼塔法則存在的條件破列。 函數(shù)單調(diào)性的判定法   ? 函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性,怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢? ? 我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減),則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線(xiàn)的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值).因此我們可通過(guò)判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的增減性. 判定方法: ? 設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo). ?? a):如果在(a,b)內(nèi)>0,那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加;

7、 ?? b):如果在(a,b)內(nèi)<0,那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少. ?? 例題:確定函數(shù)的增減區(qū)間. ?? 解答:容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞) ???????? 其導(dǎo)數(shù)為:,因此可以判出: ???????? 當(dāng)x>0時(shí),>0,故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞); ???????? 當(dāng)x<0時(shí),<0,故它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0); 注:此判定方法若反過(guò)來(lái)講,則是不正確的。 函數(shù)的極值及其求法 ?? ? 在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前,我們先來(lái)看一例子: ? 設(shè)有函數(shù),容易知道點(diǎn)x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),又可知在點(diǎn)x=1左側(cè)附近,函數(shù)值是單調(diào)增加的,在點(diǎn)x=1

8、右側(cè)附近,函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點(diǎn)x=1的一個(gè)鄰域,對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi),任何點(diǎn)x(x=1除外),<均成立,點(diǎn)x=2也有類(lèi)似的情況(在此不多說(shuō)),為什么這些點(diǎn)有這些性質(zhì)呢? ? 事實(shí)上,這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值, 函數(shù)極值的定義 ? 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)一點(diǎn). ? 若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域,對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外),<均成立, ??? 則說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大值; ? 若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域,對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外),>均成立, ??? 則說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極小值. ? 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值,使函數(shù)

9、取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)。 ? 我們知道了函數(shù)極值的定義了,怎樣求函數(shù)的極值呢? ? 學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題之前,我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念——駐點(diǎn) ? 凡是使的x點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)。 ? 判斷極值點(diǎn)存在的方法有兩種:如下 方法一: ? 設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)的鄰域可導(dǎo),且. ? 情況一:若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí),>0,當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí),<0, ?????????? 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值。 ? 情況一:若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí),<0,當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí),>0, ?????????? 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值。 ? 注:此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點(diǎn)不存在的情況。 ? 用方法一求極值的一

10、般步驟是: ???? a):求; ???? b):求的全部的解——駐點(diǎn); ???? c):判斷在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律,即可判斷出函數(shù)的極值。 ? 例題:求極值點(diǎn) ?? 解答:先求導(dǎo)數(shù) ?????? 再求出駐點(diǎn):當(dāng)時(shí),x=-2、1、-4/5 ?????? 判定函數(shù)的極值,如下圖所示 ???????????????? 方法二: ? 設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù),且時(shí). ?? 則:a):當(dāng)<0,函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值; ?????? b):當(dāng)>0,函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值; ?????? c):當(dāng)=0,其情形不一定,可由方法一來(lái)判定. ?? 例題:我們?nèi)砸岳?為例,以比較這兩種方

11、法的區(qū)別。 ??? 解答:上面我們已求出了此函數(shù)的駐點(diǎn),下面我們?cè)賮?lái)求它的二階導(dǎo)數(shù)。 ?????? ?????? ,故此時(shí)的情形不確定,我們可由方法一來(lái)判定; ?????? <0,故此點(diǎn)為極大值點(diǎn); ?????? >0,故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)。 函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用 ?? 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,常會(huì)遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題:在一定條件下,怎樣使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。 ?? 這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問(wèn)題。 ?? 怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢?前面我們已經(jīng)知道了,函數(shù)的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時(shí),

12、可求出開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點(diǎn),加上端點(diǎn)的值,從中取得最大值、最小值即為所求。 ?? 例題:求函數(shù),在區(qū)間[-3,3/2]的最大值、最小值。 ?? 解答:在此區(qū)間處處可導(dǎo), ??????? 先來(lái)求函數(shù)的極值,故x=±1, ??????? 再來(lái)比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值,取出最大值與最小值即為所求。 ??????? 因?yàn)椋?,? ??????? 故函數(shù)的最大值為,函數(shù)的最小值為。 ?? 例題:圓柱形罐頭,高度H與半徑R應(yīng)怎樣配,使同樣容積下材料最省? ?? 解答:由題意可知:為一常數(shù), ??????? 面積 ??????? 故在V不變的條件下,改變R使S取最小值。 ???

13、???? ??????? ??????? 故:時(shí),用料最省。 曲線(xiàn)的凹向與拐點(diǎn)   ? 通過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,但是還不能進(jìn)一步研究曲線(xiàn)的性態(tài),為此我們還要了解曲線(xiàn)的凹性。 定義: ? 對(duì)區(qū)間I的曲線(xiàn)作切線(xiàn),如果曲線(xiàn)弧在所有切線(xiàn)的下面,則稱(chēng)曲線(xiàn)在區(qū)間I下凹,如果曲線(xiàn)在切線(xiàn)的上面,稱(chēng)曲線(xiàn)在區(qū)間I上凹。 曲線(xiàn)凹向的判定定理 ? 定理一:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),它對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是: ?????????? 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。 ? 定理二:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

14、,并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù);那末: ?????????? 若在(a,b)內(nèi),>0,則在[a,b]對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)是下凹的; ?????????? 若在(a,b)內(nèi),<0,則在[a,b]對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)是上凹的; ? 例題:判斷函數(shù)的凹向 ?? 解答:我們根據(jù)定理二來(lái)判定。 ?????? 因?yàn)椋栽诤瘮?shù)的定義域(0,+∞)內(nèi),<0, ?????? 故函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)時(shí)下凹的。 拐點(diǎn)的定義 ? 連續(xù)函數(shù)上,上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為此曲線(xiàn)上的拐點(diǎn)。 拐定的判定方法 ? 如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),我們可按下列步驟來(lái)判定的拐點(diǎn)。 ????? (1):求; ????? (2):令=0,解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根; ????? (3):對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0,檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào),若符號(hào)相反,則此點(diǎn)是拐點(diǎn),若相同,則不是拐點(diǎn)。 ? 例題:求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。 ?? 解答:由, ??????? 令=0,得x=0,2/3 ??????? 判斷在0,2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào),可知此兩點(diǎn)皆是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。 - 9 -

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