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1、
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
微分學(xué)中值定理
?? 在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前,我們先從幾何的角度看一個問題,如下:
?? 設(shè)有連續(xù)函數(shù),a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(a<b),假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo),也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線,那末我們從圖形上容易直到,
???????????????????????????
?? 差商就是割線AB的斜率,若我們把割線AB作平行于自身的移動,那么至少有一次機會達到離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線,而曲線的斜率為,由于切線與割線是平行的,因此
?????????????????????????? 成立。
2、?? 注:這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理,也稱為拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理
?? 如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c,使
????????????????????????? 成立。
?? 這個定理的特殊情形,即:的情形,稱為羅爾定理。描述如下:
?? 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且,那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c,使成立。
?? 注:這個定理是羅爾在17世紀初,在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。
?? 注:在此我們對這兩個定理不加以證明,若有什么疑問,請參考相關(guān)書籍
?? 下面我們在學(xué)習(xí)
3、一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理
柯西中值定理
?? 如果函數(shù),在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且≠0,那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c,使成立。
?? 例題:證明方程在0與1之間至少有一個實根
??? 證明:不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
???????? 函數(shù)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理
???????? 可知,在0與1之間至少有一點c,使,即
???????? 也就是:方程在0與1之間至少有一個實根
未定式問題
?? 問題:什么樣的式子稱作未定式呢?
?? 答案:對于函數(shù),來說,當(dāng)x→a(或x→
4、∞)時,函數(shù),都趨于零或無窮大
????? 則極限可能存在,也可能不存在,我們就把式子稱為未定式。分別記為型
?? 我們?nèi)菀字?,對于未定式的極限求法,是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的,那么我們該如何求這類問題的極限呢?
?? 下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則,它就是這個問題的答案
?? 注:它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。
羅彼塔(L'Hospital)法則
?? 當(dāng)x→a(或x→∞)時,函數(shù),都趨于零或無窮大,在點a的某個去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)│x│>N)時,與都存在,≠0,且存在
???? 則:=
?? 這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式
5、的方法,就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則
?? 注:它是以前求極限的法則的補充,以前利用法則不好求的極限,可利用此法則求解。
?? 例題:求
?? 解答:容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的,因為它是未定式中的型求解問題,因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。
?????????
?? 例題:求
?? 解答:此題為未定式中的型求解問題,利用羅彼塔法則來求解
?????????
? 另外,若遇到 、、 、 、 等型,通常是轉(zhuǎn)化為型后,在利用法則求解。
?? 例題:求
?? 解答:此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的,它為型,故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解,
?
6、?????????
?? 注:羅彼塔法則只是說明:對未定式來說,當(dāng)存在,則存在且二者的極限相同;而并不是不存在時,也不存在,此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。
函數(shù)單調(diào)性的判定法
? 函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性,怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢?
? 我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減),則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負來判定函數(shù)的增減性.
判定方法:
? 設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).
?? a):如果在(a,b)內(nèi)>0,那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加;
7、
?? b):如果在(a,b)內(nèi)<0,那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少.
?? 例題:確定函數(shù)的增減區(qū)間.
?? 解答:容易確定此函數(shù)的定義域為(-∞,+∞)
???????? 其導(dǎo)數(shù)為:,因此可以判出:
???????? 當(dāng)x>0時,>0,故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);
???????? 當(dāng)x<0時,<0,故它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0);
注:此判定方法若反過來講,則是不正確的。
函數(shù)的極值及其求法
??
? 在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前,我們先來看一例子:
? 設(shè)有函數(shù),容易知道點x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點,又可知在點x=1左側(cè)附近,函數(shù)值是單調(diào)增加的,在點x=1
8、右側(cè)附近,函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外),<均成立,點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質(zhì)呢?
? 事實上,這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值,
函數(shù)極值的定義
? 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)一點.
? 若存在著x0點的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外),<均成立,
??? 則說是函數(shù)的一個極大值;
? 若存在著x0點的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外),>均成立,
??? 則說是函數(shù)的一個極小值.
? 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)
9、取得極值的點稱為極值點。
? 我們知道了函數(shù)極值的定義了,怎樣求函數(shù)的極值呢?
? 學(xué)習(xí)這個問題之前,我們再來學(xué)習(xí)一個概念——駐點
? 凡是使的x點,稱為函數(shù)的駐點。
? 判斷極值點存在的方法有兩種:如下
方法一:
? 設(shè)函數(shù)在x0點的鄰域可導(dǎo),且.
? 情況一:若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時,>0,當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時,<0,
?????????? 則函數(shù)在x0點取極大值。
? 情況一:若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時,<0,當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時,>0,
?????????? 則函數(shù)在x0點取極小值。
? 注:此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點不存在的情況。
? 用方法一求極值的一
10、般步驟是:
???? a):求;
???? b):求的全部的解——駐點;
???? c):判斷在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律,即可判斷出函數(shù)的極值。
? 例題:求極值點
?? 解答:先求導(dǎo)數(shù)
?????? 再求出駐點:當(dāng)時,x=-2、1、-4/5
?????? 判定函數(shù)的極值,如下圖所示
????????????????
方法二:
? 設(shè)函數(shù)在x0點具有二階導(dǎo)數(shù),且時.
?? 則:a):當(dāng)<0,函數(shù)在x0點取極大值;
?????? b):當(dāng)>0,函數(shù)在x0點取極小值;
?????? c):當(dāng)=0,其情形不一定,可由方法一來判定.
?? 例題:我們?nèi)砸岳?為例,以比較這兩種方
11、法的區(qū)別。
??? 解答:上面我們已求出了此函數(shù)的駐點,下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù)。
??????
?????? ,故此時的情形不確定,我們可由方法一來判定;
?????? <0,故此點為極大值點;
?????? >0,故此點為極小值點。
函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用
?? 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中,常會遇到這樣一類問題:在一定條件下,怎樣使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。
?? 這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。
?? 怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢?前面我們已經(jīng)知道了,函數(shù)的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時,
12、可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點,加上端點的值,從中取得最大值、最小值即為所求。
?? 例題:求函數(shù),在區(qū)間[-3,3/2]的最大值、最小值。
?? 解答:在此區(qū)間處處可導(dǎo),
??????? 先來求函數(shù)的極值,故x=±1,
??????? 再來比較端點與極值點的函數(shù)值,取出最大值與最小值即為所求。
??????? 因為,,,
??????? 故函數(shù)的最大值為,函數(shù)的最小值為。
?? 例題:圓柱形罐頭,高度H與半徑R應(yīng)怎樣配,使同樣容積下材料最?。?
?? 解答:由題意可知:為一常數(shù),
??????? 面積
??????? 故在V不變的條件下,改變R使S取最小值。
???
13、????
???????
??????? 故:時,用料最省。
曲線的凹向與拐點
? 通過前面的學(xué)習(xí),我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負,可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,但是還不能進一步研究曲線的性態(tài),為此我們還要了解曲線的凹性。
定義:
? 對區(qū)間I的曲線作切線,如果曲線弧在所有切線的下面,則稱曲線在區(qū)間I下凹,如果曲線在切線的上面,稱曲線在區(qū)間I上凹。
曲線凹向的判定定理
? 定理一:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),它對應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是:
?????????? 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。
? 定理二:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)
14、,并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù);那末:
?????????? 若在(a,b)內(nèi),>0,則在[a,b]對應(yīng)的曲線是下凹的;
?????????? 若在(a,b)內(nèi),<0,則在[a,b]對應(yīng)的曲線是上凹的;
? 例題:判斷函數(shù)的凹向
?? 解答:我們根據(jù)定理二來判定。
?????? 因為,所以在函數(shù)的定義域(0,+∞)內(nèi),<0,
?????? 故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時下凹的。
拐點的定義
? 連續(xù)函數(shù)上,上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。
拐定的判定方法
? 如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),我們可按下列步驟來判定的拐點。
????? (1):求;
????? (2):令=0,解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實根;
????? (3):對于(2)中解出的每一個實根x0,檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號,若符號相反,則此點是拐點,若相同,則不是拐點。
? 例題:求曲線的拐點。
?? 解答:由,
??????? 令=0,得x=0,2/3
??????? 判斷在0,2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號,可知此兩點皆是曲線的拐點。
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