2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 微分學(xué)中值定理    在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個(gè)問題，如下：   設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)(ab)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，                               差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動(dòng)，那么至少有一次機(jī)會(huì)達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點(diǎn)P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此                           成立。   注：這個(gè)結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理   如果函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使                          成立。   這個(gè)定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下：   若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。   注：這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來(lái)的。   注：在此我們對(duì)這兩個(gè)定理不加以證明，若有什么疑問，請(qǐng)參考相關(guān)書籍   下面我們?cè)趯W(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來(lái)的定理柯西中值定理柯西中值定理   如果函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。   例題：證明方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根    證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：         函數(shù)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理         可知，在0與1之間至少有一點(diǎn)c，使，即         也就是：方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根未定式問題    問題：什么樣的式子稱作未定式呢？   答案：對(duì)于函數(shù),來(lái)說，當(dāng)xa(或x)時(shí)，函數(shù),都趨于零或無(wú)窮大      則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型   我們?nèi)菀字?，?duì)于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個(gè)法則來(lái)求解的，那么我們?cè)撊绾吻筮@類問題的極限呢？   下面我們來(lái)學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個(gè)問題的答案   注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來(lái)的。羅彼塔(L'Hospital)法則   當(dāng)xa(或x)時(shí)，函數(shù),都趨于零或無(wú)窮大，在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)xN)時(shí)，與都存在，0，且存在     則：=   這種通過分子分母求導(dǎo)再來(lái)求極限來(lái)確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則   注：它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。   例題：求   解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因?yàn)樗俏炊ㄊ街械男颓蠼鈫栴}，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。             例題：求   解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來(lái)求解            另外，若遇到 、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。   例題：求   解答：此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解，              注：羅彼塔法則只是說明：對(duì)未定式來(lái)說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時(shí)，也不存在，此時(shí)只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。函數(shù)單調(diào)性的判定法   函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？  我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的增減性.判定方法：  設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).   a)：如果在(a,b)內(nèi)0，那末函數(shù)在a,b上單調(diào)增加；   b)：如果在(a,b)內(nèi)0，那末函數(shù)在a,b上單調(diào)減少.   例題：確定函數(shù)的增減區(qū)間.   解答：容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)?,)         其導(dǎo)數(shù)為：，因此可以判出：         當(dāng)x0時(shí)，0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,)；         當(dāng)x0時(shí)，0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-,0)；注：此判定方法若反過來(lái)講，則是不正確的。函數(shù)的極值及其求法    在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來(lái)看一例子：  設(shè)有函數(shù)，容易知道點(diǎn)x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，又可知在點(diǎn)x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點(diǎn)x=1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點(diǎn)x=1的一個(gè)鄰域,對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi),任何點(diǎn)x(x=1除外)，均成立，點(diǎn)x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點(diǎn)有這些性質(zhì)呢？  事實(shí)上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容函數(shù)的極值，函數(shù)極值的定義  設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點(diǎn).  若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，均成立，    則說是函數(shù)的一個(gè)極大值；  若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，均成立，    則說是函數(shù)的一個(gè)極小值.  函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。  我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？  學(xué)習(xí)這個(gè)問題之前，我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念駐點(diǎn)  凡是使的x點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。  判斷極值點(diǎn)存在的方法有兩種：如下方法一：  設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)的鄰域可導(dǎo)，且.  情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí)，0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí)，0，           則函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值。  情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí)，0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí)，0，           則函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值。  注：此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點(diǎn)不存在的情況。  用方法一求極值的一般步驟是：     a)：求；     b)：求的全部的解駐點(diǎn)；     c)：判斷在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。  例題：求極值點(diǎn)   解答：先求導(dǎo)數(shù)       再求出駐點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，x=-2、1、-4/5       判定函數(shù)的極值，如下圖所示                 方法二：  設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)，且時(shí).   則：a)：當(dāng)0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值；       b)：當(dāng)0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值；       c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來(lái)判定.   例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。    解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點(diǎn)，下面我們?cè)賮?lái)求它的二階導(dǎo)數(shù)。              ，故此時(shí)的情形不確定，我們可由方法一來(lái)判定；       0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)；       0，故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)。函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用   在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常會(huì)遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。   這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。   怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在a,b上的最大值、最小值時(shí)，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)的值，從中取得最大值、最小值即為所求。   例題：求函數(shù)，在區(qū)間-3，3/2的最大值、最小值。   解答：在此區(qū)間處處可導(dǎo)，        先來(lái)求函數(shù)的極值，故x=±1，        再來(lái)比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。        因?yàn)椋?#160;       故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。   例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最省？   解答：由題意可知：為一常數(shù)，        面積        故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。                        故：時(shí)，用料最省。曲線的凹向與拐點(diǎn)   通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進(jìn)一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。定義：  對(duì)區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。曲線凹向的判定定理  定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對(duì)應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是：           導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。  定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末：           若在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對(duì)應(yīng)的曲線是下凹的；           若在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對(duì)應(yīng)的曲線是上凹的；  例題：判斷函數(shù)的凹向   解答：我們根據(jù)定理二來(lái)判定。       因?yàn)?，所以在函?shù)的定義域(0,+)內(nèi)，0，       故函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線時(shí)下凹的。拐點(diǎn)的定義  連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn)。拐定的判定方法  如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來(lái)判定的拐點(diǎn)。      (1)：求；      (2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根；      (3)：對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，若符號(hào)相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn)。  例題：求曲線的拐點(diǎn)。   解答：由，        令=0，得x=0，2/3        判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，可知此兩點(diǎn)皆是曲線的拐點(diǎn)。- 9 -