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1、第一模塊集合與常用邏輯用語第一講集合與集合的運算,回歸課本 1.集合中的元素有三個明顯的特征：(1)確定性；(2)互異性；(3)無序性 2元素與集合的關(guān)系有屬于和不屬于兩種,3集合與集合之間有三種關(guān)系： (1)子集(包含與被包含)定義：AB如果任意xA，那么xB； (2)真子集定義：ABAB，且B中至少有一元素xA(規(guī)定：空集是任何一個非空集合的真子集)； (3)相等：ABAB且BA.,4集合的運算涉及交、并、補集 (1)交集定義：ABx|xA，且xB； (2)并集定義：ABx|xA，或xB； (3)補集定義：設(shè)U為全集，AU，由U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記
2、UA，即UAx|xU，且xA；,(4)基本性質(zhì)：AAA；AAA；ABBA；ABBA；(AB)CA(BC)；(AB)CA(BC)；A；AA； U(UA)A； U(AB)(UA)(UB)； U(AB)(UA)(UB),考點陪練,1.下列三個命題中，正確的個數(shù)為() R實數(shù)集，R全體實數(shù)集； 方程(x1)2(x2)0的解集為1,2,1； 方程 的解集為3,1,2 A1個B2個 C3個 D0個,解析：R實數(shù)集中“集”是多余的，R全體實數(shù)集中“全體”和“集”都是多余的；中解集不符合集合中元素的互異性；中集合的形式錯了，應(yīng)寫成(3,1,2)，因為方程中只有一個解，而不是三個解 答案：D,2.集合M=(x,
3、y)|x+y=4,xN,yN的非空真子集的個數(shù)是( ) A.6 B.8 C.30 D.32 解析:集合M=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),集合M的非空真子集個數(shù)為25-2=30個,故應(yīng)選C. 答案:C,3.集合P=(x,y)|y=k,Q=(x,y)|y=ax+1,a0,a1. 已知PQ只有一個子集,那么實數(shù)k的取值范圍是( ) A.(-,1) B.(-,1 C.(1,+) D.(-,+) 解析:由數(shù)形結(jié)合可知選B. 答案:B,4.已知集合A=y|y=2x,xR,B=y|y=x2,xR,則 ( ) A.AB=2,4 B.AB=4,16 C.A=B D.AB 解析:A,
4、B分別表示函數(shù)y=2x與y=x2的值域. 答案:D,5.(2010浙江)設(shè)P=x|x4,Q=x|x24,則( ),答案:B,類型一元素與集合的關(guān)系 解題準備:集合中的元素具有確定性互異性和無序性.特別是用互異性篩除不具備條件的解是解題過程中不可少的步驟.,【典例1】當(dāng)正整數(shù)集合A滿足:“若xA,則10-xA”. (1)試寫出只有一個元素的集合A; (2)試寫出只有兩個元素的集合A; (3)這樣的集合A至多有多少個元素?,解 (1)因為若1A,則10-1=9A;反過來,若9A,則10-9=1A.所以1和9要么都在A中,要么都不在A中,即它們是成對出現(xiàn)在A中的,同理2和8,3和7,4和6也成對出現(xiàn)
5、在A中,所以A=5. (2)A=1,9,或A=2,8,或A=3,7,或A=4,6. (3)A中至多有9個元素,即A=1,9,2,8,3,7,4,6,5.,類型二集合與集合之間的關(guān)系 解題準備:1.集合間的基本關(guān)系包括兩集合相等子集真子集等. 2.此類問題的求解離不開基本的運算變形,以達到化簡集合便于運算的目的,較好地體現(xiàn)了高考對運算求解能力的考查.,【典例2】 設(shè)集合A=x|x=a2+2a+4,B=y|y=b2-4b+7. (1)若aR,bR,試確定集合A與B的關(guān)系; (2)若aN,bR,試確定集合A與B的關(guān)系. 解 (1)若aR,bR. 則x=(a+1)2+33,y=(b-2)2+33, 此
6、時集合AB都是大于或等于3的實數(shù)的集合, A=B.,(2)若aN、bR,則對于任意的x0A, 有x0=(a0+1)2+3, 其中a0N. 令b0=a0+3,則b0N, 且(a0+1)2+3=(b0-2)2+3B. 而當(dāng)b0=2時,y0=3A,從而可知AB.,反思感悟 (1)判斷兩個集合之間的子集真子集關(guān)系可以比照兩實數(shù)間的關(guān)系: ABAB,且AB,類比于abab,且ab; ABA B,或A=B,類比于abab,或a=b; A=BAB,且BA,類比于a=bab,且ab.也可以用韋恩圖直觀地表示上述各種關(guān)系. (2)注意集合與空集的區(qū)別與聯(lián)系:,.,類型三集合的基本運算 解題準備:集合的基本運算性
7、質(zhì):AB=ABA;AB=AAB;U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=(UA)(UB).這些性質(zhì)能簡化集合的運算,應(yīng)熟練掌握.,【典例3】 設(shè)全集是實數(shù)集R,A=x|2x2-7x+30, B=x|x2+a0. (1)當(dāng)a=-4時,求AB和AB; (2)若(RA)B=B,求實數(shù)a的取值范圍.,解 (1)A=x|x3, 當(dāng)a=-4時,B=x|-2x2, AB=x|x2,AB=x|-2x3.,反思感悟 解決含參數(shù)問題的集合運算,首先要理清題目要求,看清集合間存在的相互關(guān)系,注意分類討論數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及空集作為一個特殊集合與非空集合間的關(guān)系,在解題中漏掉它極易導(dǎo)致錯解.,類型四集合概念與性質(zhì)
8、架構(gòu)下的創(chuàng)新問題 解題準備:“信息遷移”問題最明顯的特征就是題目中有一些新信息如定義新概念新運算等,但是這些所謂“新信息”肯定是在我們已經(jīng)掌握的知識的基礎(chǔ)上進行設(shè)計的,所以不要有畏懼心理,通過耐心細致分析,就會慢慢發(fā)現(xiàn)它其實就是“老問題”!,【典例4】 (2011福建廈門質(zhì)檢)如圖所示的韋恩圖中,AB是非空集合,定義A*B表示陰影部分的集合.若x,yR, A.x|02,答案 D,反思感悟 有些集合問題是通過定義一個新概念或約定一種新運算或給定一個新模型來創(chuàng)設(shè)新的問題情境,它要求我們要在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題中提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識和方法,實現(xiàn)信息的遷移,從而順利地解決問題.,類型五集合的
9、應(yīng)用 解題準備:集合問題多與函數(shù)曲線方程不等式有關(guān),要善于靈活運用集合的相關(guān)知識,解決問題并注意以下幾點:重視對參數(shù)的討論,特別注意檢驗集合元素是否滿足“三性”,并提防“空集”這一隱形陷阱.善于運用Venn圖和數(shù)軸直觀形象解決問題,Venn圖適用于有限集,數(shù)軸適用于實數(shù)集,要特別注意邊界的取舍.,【典例5】 設(shè)函數(shù)f(x)=的定義域為 A,g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定義域為B. (1)求集合A; (2)若BA,求實數(shù)a的取值范圍.,反思感悟 用“數(shù)形結(jié)合思想”解題時,要特別注意“端點”的取舍問題.,錯源一忽視元素的互異性 【典例1】 設(shè)集合A=0,a,集合B=a2,-a
10、3,a2-1且AB,則a的值是( ) A.1 B.-1 C.1 D.2 錯解 由A=0,a及集合元素的互異性可知a0,所以a20,-a30,又AB得a2-1=0,即a=1.故選A.,剖析 解出a=1后,忽視了檢驗這兩個值是否都滿足元素的互異性. 正解 由A=0,a及集合元素的互異性可知a0, 所以a20,-a30,又AB,所以a2-1=0, 解得a=1. 當(dāng)a=-1時,a2=-a3=1,這與集合元素互異性矛盾,舍去. 當(dāng)a=1時,A=0,1,B=1,-1,0,滿足AB. 綜上a=1,故應(yīng)選C. 答案 C,錯源二忽視空集 【典例2】 設(shè)A=x|2x6,B=x|2axa+3,若BA,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.1,3 B.(3,+) C.1,+) D.(1,3),剖析 空集是任何集合的子集,忽視這一點,會導(dǎo)致漏解,產(chǎn)生錯誤結(jié)論.對于形如x|axb一類的集合,當(dāng)ab時,它表示空集,解題中要引起注意.,答案 C,技法利用補集思想解題 【典例】 (2011鄭州模擬)已知集合A=x|x2-4mx+2m+6=0, B=x|x0,若AB,求實數(shù)m的取值范圍.,解題提示 本題運用的是“正難則反”的解題策略,正是運用了“補集思想”.,
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