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1、2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 隱函數(shù)的求導(dǎo)、微分若已知F(x,y)=0,求時(shí),一般按下列步驟進(jìn)行求解:
a):若方程F(x,y)=0,能化為的形式,則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo);
b):若方程F(x,y)=0,不能化為的形式,則是方程兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo),并把y看成x的函數(shù),用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。
例題:已知,求
解答:此方程不易顯化,故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo), ,,故=
?? 注:我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí),一定要把變量y看成x的函數(shù),然后對(duì)其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。
例題:求隱函數(shù),在x=0處的導(dǎo)數(shù)
解答:兩邊對(duì)x求導(dǎo),故,當(dāng)x=0時(shí),y=0
2、.故。
有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí),若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便,像對(duì)某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí),有沒(méi)有一種比較直觀的方法呢?下面我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法:對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則:根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法,對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù),然后在求導(dǎo)。注:此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。
例題:已知x>0,求
此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩,我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù),然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),就比較簡(jiǎn)便些。如下
解答:先兩邊取對(duì)數(shù): ,把其看成隱函數(shù),再兩邊求導(dǎo)
因?yàn)?,所?
例題:已知,求
此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo),但是比較麻煩,下面我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)
3、解答:先兩邊取對(duì)數(shù)再兩邊求導(dǎo)因?yàn)椋?
函數(shù)的微分
學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前,我們先來(lái)分析一個(gè)具體問(wèn)題:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí),其邊長(zhǎng)由x0變到了x0+△x,則此薄片的面積改變了多少?
解答:設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為x,面積為A,則A是x的函數(shù): 薄片受溫度變化的影響面積的改變量,可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時(shí),函數(shù)A相應(yīng)的增量△A,即:。從上式我們可以看出,△A分成兩部分,第一部分是△x的線性函數(shù),即下圖中紅色部分;第二部分即圖中的黑色部分,當(dāng)△x→0時(shí),它是△x的高階無(wú)窮小,表示為:
由此我們可以發(fā)現(xiàn),如果邊長(zhǎng)變化的很小時(shí),面積的改變量可以近似的用地一部分來(lái)代替。下面我們
4、給出微分的數(shù)學(xué)定義:
函數(shù)微分的定義:設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi),若函數(shù)的增量可表示為,其中A是不依賴于△x的常數(shù),是△x的高階無(wú)窮小,則稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微的。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分,記作dy,即:=。
通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們知道:微分是自變量改變量△x的線性函數(shù),dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無(wú)窮小量,我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出:當(dāng)△x→0時(shí),△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為: ,現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn),它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào),而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分),還可表示為:
由此我們得出:若函
5、數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo),則它在此區(qū)間上一定可微,反之亦成立。
微分形式不變性
?? 什么是微分形式不邊形呢?
?? 設(shè),則復(fù)合函數(shù)的微分為:
?????????????????????????? ,
?? 由于,故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫(xiě)成
??????????????????????????
?? 由此可見(jiàn),不論u是自變量還是中間變量,的微分dy總可以用與du的乘積來(lái)表示,
?? 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。
?? 例題:已知,求dy
?? 解答:把2x+1看成中間變量u,根據(jù)微分形式不變性,則
?????????
?? 通過(guò)上面的學(xué)習(xí),我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有
6、著不可分割的聯(lián)系,前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)
?? 的運(yùn)算法則,那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則是怎樣的呢?
????? 下面我們來(lái)學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則
基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則
基本初等函數(shù)的微分公式
?? 由于函數(shù)微分的表達(dá)式為:,于是我們通過(guò)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式,下面我們用表格來(lái)把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對(duì)比一下:(部分公式)
導(dǎo)數(shù)公式
微分公式
微分運(yùn)算法則
?? 由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則,可推出
7、相應(yīng)的微分法則.為了便于理解,下面我們用表格來(lái)把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)照一下:
函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則
函數(shù)和、差、積、商的微分法則
?? 復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性,在此不再詳述。
?? 例題:設(shè),求對(duì)x3的導(dǎo)數(shù)
?? 解答:根據(jù)微分形式的不變性
????????
微分的應(yīng)用
?? 微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計(jì)算函數(shù)的增量,有時(shí)比較困難,但計(jì)算微分則比較簡(jiǎn)單,為此我們用函數(shù)的微分來(lái)近似的代替函數(shù)的增量,這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.
?? 例題:求的近似值。
?? 解答:我們發(fā)現(xiàn)用計(jì)算的方法特別麻煩,為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問(wèn)題
?????????
?????????????
?????? 故其近似值為1.025(精確值為1.024695)