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1、2013年高中數(shù)學 暑期特獻 重要知識點 隱函數(shù)的求導、微分若已知F(x,y)=0,求時,一般按下列步驟進行求解:
a):若方程F(x,y)=0,能化為的形式,則用前面我們所學的方法進行求導;
b):若方程F(x,y)=0,不能化為的形式,則是方程兩邊對x進行求導,并把y看成x的函數(shù),用復合函數(shù)求導法則進行。
例題:已知,求
解答:此方程不易顯化,故運用隱函數(shù)求導法.兩邊對x進行求導, ,,故=
?? 注:我們對隱函數(shù)兩邊對x進行求導時,一定要把變量y看成x的函數(shù),然后對其利用復合函數(shù)求導法則進行求導。
例題:求隱函數(shù),在x=0處的導數(shù)
解答:兩邊對x求導,故,當x=0時,y=0
2、.故。
有些函數(shù)在求導數(shù)時,若對其直接求導有時很不方便,像對某些冪函數(shù)進行求導時,有沒有一種比較直觀的方法呢?下面我們再來學習一種求導的方法:對數(shù)求導法
對數(shù)求導法
對數(shù)求導的法則:根據(jù)隱函數(shù)求導的方法,對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù),然后在求導。注:此方法特別適用于冪函數(shù)的求導問題。
例題:已知x>0,求
此題若對其直接求導比較麻煩,我們可以先對其兩邊取自然對數(shù),然后再把它看成隱函數(shù)進行求導,就比較簡便些。如下
解答:先兩邊取對數(shù): ,把其看成隱函數(shù),再兩邊求導
因為,所以
例題:已知,求
此題可用復合函數(shù)求導法則進行求導,但是比較麻煩,下面我們利用對數(shù)求導法進行求導
3、解答:先兩邊取對數(shù)再兩邊求導因為,所以
函數(shù)的微分
學習函數(shù)的微分之前,我們先來分析一個具體問題:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時,其邊長由x0變到了x0+△x,則此薄片的面積改變了多少?
解答:設(shè)此薄片的邊長為x,面積為A,則A是x的函數(shù): 薄片受溫度變化的影響面積的改變量,可以看成是當自變量x從x0取的增量△x時,函數(shù)A相應的增量△A,即:。從上式我們可以看出,△A分成兩部分,第一部分是△x的線性函數(shù),即下圖中紅色部分;第二部分即圖中的黑色部分,當△x→0時,它是△x的高階無窮小,表示為:
由此我們可以發(fā)現(xiàn),如果邊長變化的很小時,面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們
4、給出微分的數(shù)學定義:
函數(shù)微分的定義:設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi),若函數(shù)的增量可表示為,其中A是不依賴于△x的常數(shù),是△x的高階無窮小,則稱函數(shù)在點x0可微的。叫做函數(shù)在點x0相應于自變量增量△x的微分,記作dy,即:=。
通過上面的學習我們知道:微分是自變量改變量△x的線性函數(shù),dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量,我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出:當△x→0時,△y≈dy.導數(shù)的記號為: ,現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn),它不僅表示導數(shù)的記號,而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分),還可表示為:
由此我們得出:若函
5、數(shù)在某區(qū)間上可導,則它在此區(qū)間上一定可微,反之亦成立。
微分形式不變性
?? 什么是微分形式不邊形呢?
?? 設(shè),則復合函數(shù)的微分為:
?????????????????????????? ,
?? 由于,故我們可以把復合函數(shù)的微分寫成
??????????????????????????
?? 由此可見,不論u是自變量還是中間變量,的微分dy總可以用與du的乘積來表示,
?? 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。
?? 例題:已知,求dy
?? 解答:把2x+1看成中間變量u,根據(jù)微分形式不變性,則
?????????
?? 通過上面的學習,我們知道微分與導數(shù)有
6、著不可分割的聯(lián)系,前面我們知道基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)
?? 的運算法則,那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢?
????? 下面我們來學習———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則
基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則
基本初等函數(shù)的微分公式
?? 由于函數(shù)微分的表達式為:,于是我們通過基本初等函數(shù)導數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式,下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與微分公式對比一下:(部分公式)
導數(shù)公式
微分公式
微分運算法則
?? 由函數(shù)和、差、積、商的求導法則,可推出
7、相應的微分法則.為了便于理解,下面我們用表格來把微分的運算法則與導數(shù)的運算法則對照一下:
函數(shù)和、差、積、商的求導法則
函數(shù)和、差、積、商的微分法則
?? 復合函數(shù)的微分法則就是前面我們學到的微分形式不變性,在此不再詳述。
?? 例題:設(shè),求對x3的導數(shù)
?? 解答:根據(jù)微分形式的不變性
????????
微分的應用
?? 微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計算函數(shù)的增量,有時比較困難,但計算微分則比較簡單,為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量,這就是微分在近似計算中的應用.
?? 例題:求的近似值。
?? 解答:我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩,為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題
?????????
?????????????
?????? 故其近似值為1.025(精確值為1.024695)