2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識點 隱函數(shù)的求導(dǎo)、微分

2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識點 隱函數(shù)的求導(dǎo)、微分若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。例題：已知，求解答：此方程不易顯化，故運用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)， ，故=   注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)解答：兩邊對x求導(dǎo)，故，當(dāng)x=0時，y=0.故。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題：已知x0，求此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下解答：先兩邊取對數(shù)： ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)因為，所以例題：已知，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因為，所以函數(shù)的微分學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了x0+x，則此薄片的面積改變了多少？解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)： 薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量x時，函數(shù)A相應(yīng)的增量A，即：。從上式我們可以看出，A分成兩部分，第一部分是x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當(dāng)x0時，它是x的高階無窮小，表示為：由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于x的常數(shù)，是x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點x0可微的。叫做函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量x的線性函數(shù)，dy與y的差是關(guān)于x的高階無窮小量，我們把dy稱作y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)x0時，ydy.導(dǎo)數(shù)的記號為： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。微分形式不變性   什么是微分形式不邊形呢？   設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為：                           ，   由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成                              由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表示，   我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。   例題：已知，求dy   解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則             通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)   的運算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢？      下面我們來學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則 基本初等函數(shù)的微分公式    由于函數(shù)微分的表達(dá)式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運算法則   由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運算法則與導(dǎo)數(shù)的運算法則對照一下：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則   復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。   例題：設(shè)，求對x3的導(dǎo)數(shù)   解答：根據(jù)微分形式的不變性         微分的應(yīng)用   微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計算函數(shù)的增量，有時比較困難，但計算微分則比較簡單，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計算中的應(yīng)用.   例題：求的近似值。   解答：我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題                               故其近似值為1.025(精確值為1.024695)