江蘇省無(wú)錫新領(lǐng)航教育咨詢(xún)有限公司2015屆中考數(shù)學(xué) 數(shù)與式中典型例題串講一

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1、數(shù)與式中典型例題串講一 1．若分式無(wú)意義，則的值的是 （ ） A.0 B.－2 C.0或2 D.±2 【答案】C. 【解析】 試題分析：當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義. ∵ 即 ∴或 ∴或 . 故選C. 考點(diǎn)：分式無(wú)意義的條件. 2．多項(xiàng)式能用完全平方公式分解因式，則的值是 （ ） A.4 B.－4 C.±2 D.±4 【答案】D. 【解析】 試題分析：使能用完

2、全平方公式分解因式，則要使. 即 所以. 故選D. 考點(diǎn)：用公式法分解因式. 3．下列運(yùn)算正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題解析：解：A選項(xiàng)：不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并同類(lèi)項(xiàng)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B選項(xiàng)：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相乘，可得：，故B選項(xiàng)正確； C選項(xiàng)：根據(jù)冪的乘方與積的乘方可得：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤； D選項(xiàng)：根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可得：，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故應(yīng)選D. 考點(diǎn)：合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了關(guān)于冪的運(yùn)算.同底數(shù)冪

3、相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方等于各因式乘方的積；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減. 4．已知三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列判斷中，正確的個(gè)數(shù)是（ ） ① ② ③④ A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【答案】C 【解析】 由原點(diǎn)左邊的數(shù)小于0，原點(diǎn)左邊的數(shù)大于0所以，，，所以正確；由互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)，可知在原點(diǎn)右側(cè)，且在的右側(cè)，所以，故錯(cuò)誤；∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a＋b＜0，③正確；④∵a＜c，∴c－a＞0，④正確．所以正確的判斷為3個(gè)．故選C． 考點(diǎn)：有

4、理數(shù)的減法；數(shù)軸；有理數(shù)大小比較；有理數(shù)的加法；有理數(shù)的乘法． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生數(shù)軸上的點(diǎn)的位置和數(shù)的關(guān)系，給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想． 5．已知：，則的值為（ ） A． B．1 C．-1 D．-5 【答案】B 【解析】 試題分析：本題根據(jù)題意可得：+1=3a，兩邊同除以a得：a+=3，則a+－2=3－2=1． 考點(diǎn)：代數(shù)式求值的技巧． 6．有理數(shù)a, b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下面式子中正確的是（ ） j b<0

5、A．jk B．jm C．kl D．lm 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)數(shù)軸可得：b＜0＜a；；ab＜0；a－b＞a+b；∴正確的是①、④. 考點(diǎn)：數(shù)的大小比較，絕對(duì)值的性質(zhì). 7．已知點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖像上．下列結(jié)論中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 試題分析：∵-k2-1＜0 ∴反比例函數(shù)的圖像在一、三象限， ∴ 故選D． 考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 8．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過(guò)點(diǎn)（0，1）和（－1，0），下

6、列結(jié)論：①ab<0，②b2>4a，③0－1時(shí)，y>0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【答案】C 【解析】 試題解析：解：因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象的開(kāi)口向下，所以a＜0，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，所以＞0，所以b＞0，所以ab＜0，故①正確； 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以＞0，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），所以c＝1，所以b2>4a，故②正確； 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)（－1，0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，所以?huà)佄锞€(xiàn)與

7、x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x＞2，所以當(dāng)x＝1時(shí)，0＜y＜2，所以0－1時(shí)，y可能大于0，也可能小于0，故⑤錯(cuò)誤. 所以有4個(gè)正確的. 故應(yīng)選C. 考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).二次函數(shù)當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下；拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是；拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）. 9．觀(guān)察下列各式： ①.；

8、 ②.； ③.； …… 則第個(gè)式子為： . 【答案】 【解析】 試題分析：本題關(guān)鍵是抓住等號(hào)的左邊的第三個(gè)加數(shù)的底數(shù)是前面兩個(gè)加數(shù)底數(shù)的和，而右邊括號(hào)里的第三個(gè)加數(shù)是前面兩個(gè)加數(shù)底數(shù)的積，可以用n來(lái)表示. 試題解析： 考點(diǎn)：找規(guī)律 10． ． 【答案】 ． 【解析】 試題分析：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．正數(shù)大于負(fù)數(shù)． 試題解析： 根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí),原式;當(dāng)時(shí), 原式．當(dāng) 時(shí),原式．縱觀(guān)結(jié)果，最小, ． 考點(diǎn)： 1數(shù)軸;2絕對(duì)值;3比較大?。? 11．已

9、知x2+kxy+64y2是一個(gè)完全平方式，則k的值是________ 【答案】16或-16． 【解析】 試題分析：根據(jù)完全平方公式有x2+kxy+64y2=（x+8y）2或x2+kxy+64y2=（x-8y）2，則k=16或-16． 試題解析：∵x2+kxy+64y2=（x+8y）2或x2+kxy+64y2=（x-8y）2， ∴k=16或-16． 考點(diǎn)：完全平方式． 12．無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，則m的取值范圍為 ． 【答案】m≥9. 【解析】 試題解析：解：因?yàn)闊o(wú)論x取任何實(shí)數(shù)， 代數(shù)式都有意義， 所以， 因?yàn)椋? 所以， 所以， 所以m－9

10、≥0，所以m≥9. 考點(diǎn)：二次根式的意義 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次根式的意義.二次根式中的被開(kāi)方數(shù)不能是負(fù)數(shù). 13．若n為正整數(shù)，觀(guān)察下列各式：＝，＝，＝，…，根據(jù)觀(guān)察計(jì)算：＋＋＋…＋＝________． 【答案】 【解析】 試題分析：根據(jù)已知條件，將每一個(gè)分?jǐn)?shù)分解成兩個(gè)負(fù)數(shù)，尋找抵消規(guī)律求解． 考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵． 14．當(dāng)x 時(shí)，分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義． 【答案】x＞2. 【解析】 試題解析：解：因?yàn)槎胃降谋婚_(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)， 分式的分母不能為0， 可得：x－

11、2＞0， 所以x＞2. 考點(diǎn)：分式、二次根式 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分式與二次根式.分式的分母不能等于0；二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù). 15．（3分）（2014?云南）觀(guān)察規(guī)律并填空 （1﹣）=?=； （1﹣）（1﹣）=???== （1﹣）（1﹣）（1﹣）=?????=?=； （1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=???????=?=； … （1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．（用含n的代數(shù)式表示，n是正整數(shù)，且n≥2） 【答案】 【解析】 試題分析：由前面算式可以看出：算式的左邊利用平方差公式因式分解，中間的數(shù)字互為倒數(shù)，乘積為1，只剩下兩端的（1﹣）

12、和（1+）相乘得出結(jié)果． 解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣） =??????… =． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)：此題考查算式的運(yùn)算規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，解決問(wèn)題． 16．有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過(guò)程如下： 則第次運(yùn)算的結(jié)果 （用含字母和的代數(shù)式表示）． 【答案】 【解析】 試題分析：根據(jù)題意得；；；根據(jù)以上規(guī)律可得：=． 考點(diǎn)：規(guī)律題． 17．設(shè)，，，…，，，則S4＝ ，S＝ （用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）． 【答案】

13、 【解析】 試題分析：觀(guān)察可知；通過(guò)計(jì)算得到 所以S＝1+1-+1+-+…+1+-= 考點(diǎn)：二次根式，有理數(shù)的運(yùn)算. 18．計(jì)算：． 【答案】解： 【解析】 試題分析：根據(jù)tan30°=，，，，代入計(jì)算，即可得出答案. 考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，任何不等于零的零次冪都為0.學(xué)生還要熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn). 19．（1）因式分解：x3+2x2y+xy2． （2）化簡(jiǎn) （a+b）2-（a-b）2 （3）計(jì)算： （4）計(jì)算： （5）計(jì)算： 【答案】（1）x（x+y）2

14、．（2）4ab；（3）-1；（4）；（5）6． 【解析】 試題分析：（1）先提取公因式x，余下的因式用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可； （2）先用完全平方公式把括號(hào)展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可； （3）按同分母分式加減法進(jìn)行計(jì)算即可； （4）先把被除式和除式的分母進(jìn)行因式分解，再用被除式乘以除式的倒數(shù)即可求出結(jié)果． （5）先分別計(jì)算算術(shù)平方根、絕對(duì)值、0次冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可求出答案． 試題解析：（1）原式=x（x2+2xy+y2） =x（x+y）2． （2）原式=（a2+2ab+b2）-（a2-2ab+b2） = a2+2ab+b2- a2+2ab-b2 =

15、4ab； （3）原式=； （4）原式= = （5）原式=3+4+1-2 =6． 考點(diǎn)：1．因式分解；2．分式的運(yùn)算；3．有理數(shù)的混合運(yùn)算． 20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中. 【答案】0. 【解析】 試題分析：本題分為化簡(jiǎn)和求值兩大步驟.化簡(jiǎn)這一步要先算括號(hào)里面的，再算乘法；這是常規(guī)解法，也可利用分配律進(jìn)行“簡(jiǎn)便”運(yùn)算；化簡(jiǎn)后，再把a(bǔ)=-4代入求值. 試題解析：原式＝ ＝ 當(dāng)a=-4時(shí)，原式的值為0. 考點(diǎn)：分式的計(jì)算和化簡(jiǎn). 21．請(qǐng)你先化簡(jiǎn)分式 ，再選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹荡肭笾担? 【答案】. 【解析】 試題分析：先進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)，再選取使分式有意義的x的值代入求

16、值即可. 試題解析：原式= = = 當(dāng)x=0時(shí)，原式=. 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值. 22．（9分） 已知且試化簡(jiǎn):（1）（2） 【答案】（1）∵，，∴，．原式＝； （2）∵，，，∴，，，∴原式＝＝－1＋1＋1＝1． 【解析】 （1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和，，求出，，然后對(duì)原式化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)，，，得到，，，再對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出答案． 考點(diǎn)：絕對(duì)值． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，由已知得出，，，，，是解題的關(guān)鍵． 23．（9分）互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，的絕對(duì)值是5，試求代數(shù)式的值. 【答案】∵a、b互為相反數(shù)，∴a＋b＝0，∵c、d互為倒數(shù)，∴cd＝1，∵

17、|m|＝5，∴m＝±5， 當(dāng)m＝5時(shí)，2014（a＋b）－3cd＋2m2＝2014×0－3×1＋2×52＝47； 當(dāng)m＝－5時(shí)，2014（a＋b）－3cd＋2m＝2014×0－3×1＋2×（－5）2＝47． 【解析】 根據(jù)相反數(shù)，絕對(duì)值，倒數(shù)的概念和性質(zhì)求得a與b，c與d及m的關(guān)系或值后，代入代數(shù)式求值． 考點(diǎn)：代數(shù)式求值；相反數(shù)；絕對(duì)值；倒數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相反數(shù)，絕對(duì)值，倒數(shù)的概念及性質(zhì)． （1）相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0； （2）倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)； （3）絕對(duì)值規(guī)律總結(jié)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它

18、本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0． 24．觀(guān)察下列各式：；； ；…… 根據(jù)前面各式的規(guī)律可得到 ． 【答案】xn+1-1 【解析】 試題分析：根據(jù)題目給出的幾個(gè)式子即可總結(jié)出規(guī)律. 考點(diǎn)：平方差公式；探索數(shù)字規(guī)律 點(diǎn)評(píng)：此題考查了平方差公式的應(yīng)用，屬于規(guī)律型試題，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵． 25．先化簡(jiǎn)，再求值：（8分） 已知： 當(dāng)時(shí)，求的值． 【答案】解： 當(dāng)時(shí)，原式 . 【解析】 試題分析：先將A、B代入所求的代數(shù)式，按照整式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將x，y的值代入計(jì)算，即可得

19、出答案. 考點(diǎn)：整式的化簡(jiǎn)求值. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的加減運(yùn)算法則. 26．對(duì)于正整數(shù)，定義，其中表示的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和．例如：，． 規(guī)定，（為正整數(shù)）．例如：，． （1）求：____________，______________； （2）若，則正整數(shù)m的最小值是_____________． 【答案】（1）37，26；（2）6． 【解析】 試題分析：（1），∵=F(4)=16，=F(16)=37，=F(37)=58，=F(58)=89，=F(89)=145，=F(145)=26，=F(26)=40，=F(40)=16，．

20、．．．．．，∵7個(gè)開(kāi)始循環(huán)，2015÷7=281．．．6，∴==26； （2）由（1）得，= 89，∴，∴且n為正整數(shù)，，∴只要n+1是3的倍數(shù)即可，n最小取2，當(dāng)n=2時(shí)，3m=18，∴m最小值為6．故答案為：（1）37，26；（2）6． 考點(diǎn)：新定義． 27．觀(guān)察下面計(jì)算： ① ② ； ③ ④ ． 求：（1）直接寫(xiě)出（n為正整數(shù)）的值； （2）利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算： ． 【答案】（１）＝－；（2）-１＋． 【解析】 試題分析：（1）觀(guān)察給出的幾個(gè)等式發(fā)現(xiàn)：等式的

21、左邊都是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的算術(shù)平方根的和的倒數(shù)，右邊是較大的正整數(shù)的算術(shù)平方根與較小的正整數(shù)的算術(shù)平方根的差； （2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，把代數(shù)式中的每一項(xiàng)變成兩個(gè)數(shù)的差的形式，然后合并同類(lèi)二次根式． 試題解析：（1）＝－； （2）， =， ＝-１＋． 考點(diǎn)：1、數(shù)字的變化規(guī)律類(lèi)；2、實(shí)數(shù)的運(yùn)算． 28．閱讀與探究：已知公式 （1） = ； （2）當(dāng)n=10時(shí)， 則= ； （3）在公式 中，= ．（6分） 【答案】（1）0 （2） （3）2或0 【解析】 試題分析：（1）把x=1代入公式

22、 即可； （2）把代入 得 +=0，所以, 把x=-1代入 得:,所以=； （3）分兩種情況討論：n是奇數(shù)，n是偶數(shù)． 試題解析：（1）把x=1代入公式 得 =0；把代入 得 +=0，所以, 把x=-1代入 得:, 所以 所以=； （3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，． 考點(diǎn)：1．求代數(shù)式的值；2．整式的加減． 29．（8分）已知：是最小的正整數(shù)且、滿(mǎn)足． （1）請(qǐng)直接寫(xiě)出、、的值. = = = （2）、、所表示的點(diǎn)分別為A、 B、 C，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，其表示的數(shù)為，

23、點(diǎn)P在0和2表示的點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（即0≤≤2時(shí)），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：.（請(qǐng)寫(xiě)出化簡(jiǎn)過(guò)程） · · · C B A （3）在（1）（2）的條件下，點(diǎn)A、 B、 C開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒過(guò)后，若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB。請(qǐng)問(wèn)，BC-AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其值. 【答案】（1） （2）12-2x （3）見(jiàn)解析 【解析】 試題分析：（1）因?yàn)槭亲钚〉恼麛?shù)，所以b=1，又，所以根據(jù)非負(fù)數(shù)的

24、性質(zhì)可得：c-5=0，a+b=0，所以a=-1，c=5；（2）將0≤≤2，分成3種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，討論，去掉絕對(duì)值號(hào)化簡(jiǎn)即可；（3）根據(jù)A，B，C的運(yùn)動(dòng)情況即可確定AB，BC的變化情況，即可確定BC-AB的值． 試題解析：（1）因?yàn)槭亲钚〉恼麛?shù)，所以b=1，又，所以根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：c-5=0，a+b=0，所以a=-1，c=5；所以 （2）當(dāng)時(shí)，x+1＞0，x-1＜0，x-5＜0，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=x+1-（1-x）-2（x-5）=x+1-1+x-2x+10 =10， 當(dāng)時(shí)，x+1=2，x-1=0，x-5=-4，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=2-

25、0+8 =10， 當(dāng)時(shí)，x+1＞0，x-1＞0，x-5＜0，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=x+1-（x-1）-2（x-5）=x+1+1-x-2x+10=12-2x （3）不變． 因?yàn)辄c(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，所以A，B每秒鐘增加3個(gè)單位長(zhǎng)度； 因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，所以B，C每秒鐘增加3個(gè)單位長(zhǎng)度． 所以BC-AB=2，BC-AB的值不隨著時(shí)間t的變化而改變．所以BC—AB=2 考點(diǎn)：1.數(shù)軸；2.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：3.絕對(duì)值． 30．（9分）（2014?昆明）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物

26、線(xiàn)y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C． （1）求拋物線(xiàn)的解析式； （2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？ （3）當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)． 【答案】（1）y=x2﹣x﹣3 （2）運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是 （3）K1（1，﹣），K

27、2（3，﹣） 【解析】 試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過(guò)解方程組求得它們的值； （2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答； （3）利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣3．由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）． 如圖2，過(guò)點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S△CBK=．則根據(jù)圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度代入推知：

28、﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）． 解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得 ， 解得 ， 所以該拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2﹣x﹣3； （2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t，BQ=t． ∴PB=6﹣3t． 由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）． 在Rt△BOC中，BC==5． 如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H． ∴QH∥CO， ∴△BHQ∽△BOC， ∴=，即=， ∴HQ=t． ∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+． 當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2 ∴當(dāng)t=1時(shí)，

29、 S△PBQ最大=． 答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是； （3）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+c（k≠0）． 把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得 ， 解得 ， ∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣3． ∵點(diǎn)K在拋物線(xiàn)上． ∴設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）． 如圖2，過(guò)點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m﹣3）． ∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m． 當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=． ∴S△CBK=． S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m） =×4?EK =2（﹣m2+m） =﹣m2+3m． 即：﹣m2+3m=． 解得 m1=1，m2=3． ∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）． 點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，即自變量的取值范圍．