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1、數(shù)與式中典型例題串講一1若分式無意義，則的值的是 （ ）A.0 B.2 C.0或2 D.2 【答案】C.【解析】試題分析：當(dāng)時，分式無意義.即 或或 . 故選C.考點：分式無意義的條件.2多項式能用完全平方公式分解因式，則的值是 （ ）A.4 B.4 C.2 D.4【答案】D.【解析】 試題分析：使能用完全平方公式分解因式，則要使.即所以. 故選D.考點：用公式法分解因式.3下列運(yùn)算正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題解析：解：A選項：不是同類項，不能合并同類項，故A選項錯誤；B選項：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相乘，可得：，故B選項正確；C選項：根據(jù)冪的乘方與積的
2、乘方可得：，C選項錯誤；D選項：根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可得：，故D選項錯誤.故應(yīng)選D.考點：合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法點評：本題主要考查了關(guān)于冪的運(yùn)算.同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方等于各因式乘方的積；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.4已知三個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列判斷中，正確的個數(shù)是（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】由原點左邊的數(shù)小于0，原點左邊的數(shù)大于0所以，所以正確；由互為相反數(shù)的兩個數(shù)在原點兩側(cè)，可知在原點右側(cè)，且在的右側(cè)，所以，故錯誤；a0，b0，|a|
3、b|，ab0，正確；ac，ca0，正確所以正確的判斷為3個故選C考點：有理數(shù)的減法；數(shù)軸；有理數(shù)大小比較；有理數(shù)的加法；有理數(shù)的乘法點評：此題主要考查學(xué)生數(shù)軸上的點的位置和數(shù)的關(guān)系，給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想5已知：，則的值為（ ）A B1 C-1 D-5【答案】B【解析】試題分析：本題根據(jù)題意可得：+1=3a，兩邊同除以a得：a+=3，則a+2=32=1考點：代數(shù)式求值的技巧6有理數(shù)a, b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則下面式子中正確的是（ ）j b0a; k |b| |a|; lab0; mabab.Ajk Bjm Ckl Dlm【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)數(shù)軸可得：b0a；ab0；aba
4、+b；正確的是、.考點：數(shù)的大小比較，絕對值的性質(zhì).7已知點，在反比例函數(shù)的圖像上下列結(jié)論中正確的是（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：-k2-10反比例函數(shù)的圖像在一、三象限，故選D考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征8如圖，二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（1，0），下列結(jié)論：ab4a，0abc2，0b1時，y0其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A2個 B3個 C4個 D5個【答案】C【解析】試題解析：解：因為二次函數(shù)圖象的開口向下，所以a0，因為對稱軸在y軸的右側(cè)，所以0，所以b0，所以ab0，故正確；因為拋物線與x軸有兩個交點，所以一元二次方程
5、ax2bxc0有兩個不相等的實數(shù)根，所以0，因為拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是（0，1），所以c1，所以b24a，故正確； 因為拋物線過點（1，0），對稱軸在y軸的右側(cè)，所以拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是x2，所以當(dāng)x1時，0y2，所以0abc2，故正確；因為拋物線與x的交點是（1，0），所以abc0，因為c1，所以ab10，所以ba1，因為a0，所以b1，因為b0，所以0b1時，y可能大于0，也可能小于0，故錯誤.所以有4個正確的.故應(yīng)選C.考點：二次函數(shù)的圖象點評：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).二次函數(shù)當(dāng)a0時，拋物線開口向上，當(dāng)a0時，拋物線開口向下；拋物線的對稱軸是；拋物線與y軸的
6、交點坐標(biāo)是（0，c）. 9觀察下列各式：.；.；.； 則第個式子為： .【答案】【解析】試題分析：本題關(guān)鍵是抓住等號的左邊的第三個加數(shù)的底數(shù)是前面兩個加數(shù)底數(shù)的和，而右邊括號里的第三個加數(shù)是前面兩個加數(shù)底數(shù)的積，可以用n來表示.試題解析：考點：找規(guī)律10 【答案】 【解析】試題分析：正數(shù)的絕對值是它本身;負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)試題解析：根據(jù)題意得：當(dāng)時,原式;當(dāng)時, 原式當(dāng) 時,原式縱觀結(jié)果，最小, 考點： 1數(shù)軸;2絕對值;3比較大小11已知x2+kxy+64y2是一個完全平方式，則k的值是_【答案】16或-16【解析】試題分析：根據(jù)完全平方公式有x2+kxy+64y2=（x+
7、8y）2或x2+kxy+64y2=（x-8y）2，則k=16或-16試題解析：x2+kxy+64y2=（x+8y）2或x2+kxy+64y2=（x-8y）2，k=16或-16考點：完全平方式12無論x取任何實數(shù)，代數(shù)式都有意義，則m的取值范圍為 【答案】m9.【解析】試題解析：解：因為無論x取任何實數(shù)，代數(shù)式都有意義，所以，因為，所以，所以，所以m90，所以m9. 考點：二次根式的意義點評：本題主要考查了二次根式的意義.二次根式中的被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù).13若n為正整數(shù)，觀察下列各式：，根據(jù)觀察計算：_【答案】【解析】試題分析：根據(jù)已知條件，將每一個分?jǐn)?shù)分解成兩個負(fù)數(shù)，尋找抵消規(guī)律求解考點：有理
8、數(shù)的混合運(yùn)算點評：本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵14當(dāng)x 時，分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義【答案】x2.【解析】試題解析：解：因為二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不能為0，可得：x20，所以x2.考點：分式、二次根式點評：本題主要考查了分式與二次根式.分式的分母不能等于0；二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).15（3分）（2014云南）觀察規(guī)律并填空（1）=；（1）（1）=（1）（1）（1）=；（1）（1）（1）（1）=；（1）（1）（1）（1）（1）= （用含n的代數(shù)式表示，n是正整數(shù)，且n2）【答案】【解析】試題分析：由前面算式可以看出：算式的左邊利用平方差公式
9、因式分解，中間的數(shù)字互為倒數(shù)，乘積為1，只剩下兩端的（1）和（1+）相乘得出結(jié)果解：（1）（1）（1）（1）（1）=故答案為：點評：此題考查算式的運(yùn)算規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，解決問題16有一個計算程序，每次運(yùn)算都是把一個數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如下：則第次運(yùn)算的結(jié)果 （用含字母和的代數(shù)式表示）【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意得；根據(jù)以上規(guī)律可得：=考點：規(guī)律題17設(shè)，則S4 ，S （用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）【答案】 【解析】試題分析：觀察可知；通過計算得到所以S1+1-+1+-+1+-=考點：二次根式，有理數(shù)的運(yùn)算.18計算：【答案】解
10、： 【解析】試題分析：根據(jù)tan30=，代入計算，即可得出答案.考點：實數(shù)的混合運(yùn)算.點評：本題主要考查了實數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，任何不等于零的零次冪都為0.學(xué)生還要熟練掌握二次根式的化簡.19（1）因式分解：x3+2x2y+xy2（2）化簡 （a+b）2-（a-b）2（3）計算： （4）計算： （5）計算：【答案】（1）x（x+y）2（2）4ab；（3）-1；（4）；（5）6【解析】試題分析：（1）先提取公因式x，余下的因式用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先用完全平方公式把括號展開，再合并同類項即可；（3）按同分母分式加減法進(jìn)行計算即可；（4）先把被
11、除式和除式的分母進(jìn)行因式分解，再用被除式乘以除式的倒數(shù)即可求出結(jié)果（5）先分別計算算術(shù)平方根、絕對值、0次冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可求出答案試題解析：（1）原式=x（x2+2xy+y2）=x（x+y）2（2）原式=（a2+2ab+b2）-（a2-2ab+b2）= a2+2ab+b2- a2+2ab-b2=4ab；（3）原式=；（4）原式=（5）原式=3+4+1-2=6考點：1因式分解；2分式的運(yùn)算；3有理數(shù)的混合運(yùn)算20先化簡，再求值：，其中.【答案】0.【解析】試題分析：本題分為化簡和求值兩大步驟.化簡這一步要先算括號里面的，再算乘法；這是常規(guī)解法，也可利用分配律進(jìn)行“簡便”運(yùn)
12、算；化簡后，再把a(bǔ)=-4代入求值.試題解析：原式當(dāng)a=-4時，原式的值為0.考點：分式的計算和化簡.21請你先化簡分式 ，再選取一個恰當(dāng)?shù)闹荡肭笾怠敬鸢浮?【解析】試題分析：先進(jìn)行分式的化簡，再選取使分式有意義的x的值代入求值即可.試題解析：原式=當(dāng)x=0時，原式=.考點：分式的化簡求值.22（9分） 已知且試化簡:（1）（2）【答案】（1），原式；（2），原式1111【解析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)和，求出，然后對原式化簡即可；（2）根據(jù)，得到，再對原式進(jìn)行化簡即可得出答案考點：絕對值點評：此題主要考查了絕對值的性質(zhì)，由已知得出，是解題的關(guān)鍵23（9分）互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，的絕對值是
13、5，試求代數(shù)式的值.【答案】a、b互為相反數(shù)，ab0，c、d互為倒數(shù)，cd1，|m|5，m5，當(dāng)m5時，2014（ab）3cd2m2201403125247；當(dāng)m5時，2014（ab）3cd2m20140312（5）247【解析】根據(jù)相反數(shù)，絕對值，倒數(shù)的概念和性質(zhì)求得a與b，c與d及m的關(guān)系或值后，代入代數(shù)式求值考點：代數(shù)式求值；相反數(shù)；絕對值；倒數(shù)點評：本題主要考查相反數(shù)，絕對值，倒數(shù)的概念及性質(zhì)（1）相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0；（2）倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)；（3）絕對值規(guī)律總結(jié)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值
14、是它的相反數(shù)；0的絕對值是024觀察下列各式：；根據(jù)前面各式的規(guī)律可得到 【答案】xn+1-1【解析】試題分析：根據(jù)題目給出的幾個式子即可總結(jié)出規(guī)律.考點：平方差公式；探索數(shù)字規(guī)律點評：此題考查了平方差公式的應(yīng)用，屬于規(guī)律型試題，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵25先化簡，再求值：（8分）已知： 當(dāng)時，求的值【答案】解： 當(dāng)時，原式 . 【解析】試題分析：先將A、B代入所求的代數(shù)式，按照整式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再將x，y的值代入計算，即可得出答案.考點：整式的化簡求值.點評：本題主要考查了整式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的加減運(yùn)算法則.26對于正整數(shù)，定義，其中表示的首位數(shù)字、末位
15、數(shù)字的平方和例如：，規(guī)定，（為正整數(shù)）例如：，（1）求：_，_；（2）若，則正整數(shù)m的最小值是_【答案】（1）37，26；（2）6【解析】試題分析：（1），=F(4)=16，=F(16)=37，=F(37)=58，=F(58)=89，=F(89)=145，=F(145)=26，=F(26)=40，=F(40)=16，7個開始循環(huán)，20157=2816，=26；（2）由（1）得，= 89，且n為正整數(shù)，只要n+1是3的倍數(shù)即可，n最小取2，當(dāng)n=2時，3m=18，m最小值為6故答案為：（1）37，26；（2）6考點：新定義27觀察下面計算： ； 求：（1）直接寫出（n為正整數(shù)）的值；（2）利用上
16、面所揭示的規(guī)律計算： 【答案】（）；（2）-【解析】試題分析：（1）觀察給出的幾個等式發(fā)現(xiàn)：等式的左邊都是兩個連續(xù)正整數(shù)的算術(shù)平方根的和的倒數(shù)，右邊是較大的正整數(shù)的算術(shù)平方根與較小的正整數(shù)的算術(shù)平方根的差；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，把代數(shù)式中的每一項變成兩個數(shù)的差的形式，然后合并同類二次根式試題解析：（1）；（2），=，-考點：1、數(shù)字的變化規(guī)律類；2、實數(shù)的運(yùn)算28閱讀與探究：已知公式 （1） = ；（2）當(dāng)n=10時， 則= ；（3）在公式 中，= （6分）【答案】（1）0（2）（3）2或0【解析】試題分析：（1）把x=1代入公式 即可；（2）把代入 得 +=0，所以, 把x=-1代入
17、 得:,所以=；（3）分兩種情況討論：n是奇數(shù)，n是偶數(shù)試題解析：（1）把x=1代入公式 得 =0；把代入 得 +=0，所以, 把x=-1代入 得:,所以所以=；（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，考點：1求代數(shù)式的值；2整式的加減29（8分）已知：是最小的正整數(shù)且、滿足（1）請直接寫出、的值.= = = （2）、所表示的點分別為A、 B、 C，點P為一動點，其表示的數(shù)為，點P在0和2表示的點之間運(yùn)動時（即02時），請化簡式子：.（請寫出化簡過程）CBA（3）在（1）（2）的條件下，點A、 B、 C開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和
18、5個單位長度的速度向右運(yùn)動，假設(shè)t秒過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB。請問，BC-AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值.【答案】（1）（2）12-2x（3）見解析【解析】試題分析：（1）因為是最小的正整數(shù)，所以b=1，又，所以根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：c-5=0，a+b=0，所以a=-1，c=5；（2）將02，分成3種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，討論，去掉絕對值號化簡即可；（3）根據(jù)A，B，C的運(yùn)動情況即可確定AB，BC的變化情況，即可確定BC-AB的值試題解析：（1）因為是最小的正整數(shù)，所以b=1，又，所以根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得
19、：c-5=0，a+b=0，所以a=-1，c=5；所以（2）當(dāng)時，x+10，x-10，x-50，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=x+1-（1-x）-2（x-5）=x+1-1+x-2x+10 =10，當(dāng)時，x+1=2，x-1=0，x-5=-4，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=2-0+8 =10，當(dāng)時，x+10，x-10，x-50，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=x+1-（x-1）-2（x-5）=x+1+1-x-2x+10=12-2x（3）不變因為點A以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動，點B每秒2個單位長度向右運(yùn)動，所以A，B每秒鐘增加3個單位長度；因為點B和點C分別以每秒2個單位長
20、度和5個單位長度的速度向右運(yùn)動，所以B，C每秒鐘增加3個單位長度所以BC-AB=2，BC-AB的值不隨著時間t的變化而改變所以BCAB=2考點：1.數(shù)軸；2.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：3.絕對值30（9分）（2014昆明）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx3（a0）與x軸交于點A（2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（1）求拋物線的解析式；（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運(yùn)動，同時點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運(yùn)動，其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運(yùn)動，當(dāng)PBQ存在時，求運(yùn)動多少秒使PBQ的面積最大，最大面積是多少？（3）
21、當(dāng)PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K，使SCBK：SPBQ=5：2，求K點坐標(biāo)【答案】（1）y=x2x3（2）運(yùn)動1秒使PBQ的面積最大，最大面積是（3）K1（1，），K2（3，）【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒利用三角形的面積公式列出SPBQ與t的函數(shù)關(guān)系式SPBQ=（t1）2+利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=x3由二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可設(shè)點K的坐標(biāo)為（m，m2m3）如圖2，過點K作KEy軸，交BC于點E結(jié)合已知條件和（2
22、）中的結(jié)果求得SCBK=則根據(jù)圖形得到：SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m），把相關(guān)線段的長度代入推知：m2+3m=易求得K1（1，），K2（3，）解：（1）把點A（2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx3（a0），得，解得 ，所以該拋物線的解析式為：y=x2x3；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP=3t，BQ=tPB=63t由題意得，點C的坐標(biāo)為（0，3）在RtBOC中，BC=5如圖1，過點Q作QHAB于點HQHCO，BHQBOC，=，即=，HQ=tSPBQ=PBHQ=（63t）t=t2+t=（t1）2+當(dāng)PBQ存在時，0t2當(dāng)t=1時，SPBQ最大=答：運(yùn)動1秒使PBQ的
23、面積最大，最大面積是；（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k0）把B（4，0），C（0，3）代入，得，解得 ，直線BC的解析式為y=x3點K在拋物線上設(shè)點K的坐標(biāo)為（m，m2m3）如圖2，過點K作KEy軸，交BC于點E則點E的坐標(biāo)為（m，m3）EK=m3（m2m3）=m2+m當(dāng)PBQ的面積最大時，SCBK：SPBQ=5：2，SPBQ=SCBK=SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m）=4EK=2（m2+m）=m2+3m即：m2+3m=解得 m1=1，m2=3K1（1，），K2（3，）點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法在求有關(guān)動點問題時要注意該點的運(yùn)動范圍，即自變量的取值范圍
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