湖南省長(zhǎng)沙市2013屆高三數(shù)學(xué)第6次月考 理（解析版）

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1、湖南師大附中2013屆高三第六次月考數(shù)學(xué)試題(理科） （考試范圍：考綱要求全部范圍） 時(shí)量 120分鐘 總分150分] 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的. 1.如圖：給定全集U和集合A,B，則如圖陰影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. U 【答案】A B A 2. 函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函數(shù)連續(xù)且定義域內(nèi)遞

2、增，又，. 3. 化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式得到的值為（ ） A. 1 B. 2 C. - 1 D. 【答案】C 4. 已知三個(gè)向量，,共線，其中分別是的三條邊和三個(gè)角，則的形狀是（ ） A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由三個(gè)向量，,共線及正弦定理 可得： 由，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋? 所以，所以，即.同理可得， 5.函數(shù)的部分圖象如圖示，將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）

3、A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由圖象知,, 將的圖象平移個(gè)單位后的解析式為 則由：，. 6.設(shè)函數(shù)（且）在上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則的圖象是 y x o y 2 1 2 o 1 y x x -1 0 0 -1 y x A B C D 【答案】C 【解析】是奇函數(shù)，所以，即，所

4、以， 即，又函數(shù)在定義域上單調(diào)性相同， 由函數(shù)是增函數(shù)可知，所以函數(shù)，選C. 7. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足則中最大的項(xiàng)為 【答案】C 【解析】由，得. 由，得，所以，且. 所以數(shù)列為遞減的數(shù)列.所以為正，為負(fù)， 且，， 則，，，又，所以， 所以最大的項(xiàng)為. 8.對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)，如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ①對(duì)任意的，總有

5、 ② ③若，，都有 成立； 則稱函數(shù)為理想函數(shù). 下面有三個(gè)命題： （1） 若函數(shù)為理想函數(shù)，則； （2） 函數(shù)是理想函數(shù)； （3） 若函數(shù)是理想函數(shù)，假定存在，使得，且， 則； 其中正確的命題個(gè)數(shù)有（ ） A. 0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 【答案】D 二、 填空題： 本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分 ，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上. （一）選作題（請(qǐng)考生在第9、10、 11三題中任選兩題作答，如果全做，則

6、按前兩題記分 ） 9. 不等式的解集為 . 【解析】由：，或，或， 解得不等式的解集為：； 10. 直線的參數(shù)方程是（其中為參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為，過(guò)直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值是 . 【解析】，， ， 即，． ， 圓心C到距離是， ∴直線上的點(diǎn)向圓C引的切線長(zhǎng)的最小值是 11. 如圖，是⊙的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)作⊙的切線，切點(diǎn)為，，若，則⊙的直徑 ．

7、 【解析】因?yàn)楦鶕?jù)已知條件可知，連接AC，，， 根據(jù)切線定理可知, ,可以解得為4. （二） 必做題 12. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題： （1）； （2）； （3）的共軛復(fù)數(shù)為； （4）的虛部為； 其中所有正確的命題序號(hào)是 . 【答案】（2）（4） 13.如果一個(gè)隨機(jī)變量~，則使得取得最大值的的值為 . 【解析】，則只需最大即可，此時(shí) 14. 如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積為 . 【解析】該幾何體是如圖所示的三棱錐ABCD，可將其補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，

8、 半徑為，體積為. （也可直接找到球心，求出半徑解決問(wèn)題） 15. 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2，……，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9，抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C.則抽到的人中，做問(wèn)卷B的人數(shù)為 . 【解析】：采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，即，第k組的號(hào)碼為，令，而，解得，則滿足的整數(shù)k有10個(gè). 16. 已知，或，，對(duì)于，表示U和V中相對(duì)應(yīng)的元素不同

9、的個(gè)數(shù)． （Ⅰ）令，存在m個(gè)，使得，則m= ； （Ⅱ）令，若，則所有之和為 ． 【解析】：（Ⅰ）； （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知使的共有個(gè) ∴= = 兩式相加得 = 三、 解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17、（滿分12分）已知是三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且,,求動(dòng)點(diǎn)所在的區(qū)域面積. 【解析】由函數(shù)可得， , ………………2分 由題意知，是方程的兩個(gè)根， ……5分 且,,因此得到可行,…………9分 即, 畫(huà)出可行域如圖

10、. ………11分 所以. ………12分 18、(滿分12分）為迎接新年到來(lái)，某商場(chǎng)舉辦有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)，參與者需先后回答兩道選擇題，問(wèn)題A有四個(gè)選項(xiàng)，問(wèn)題B有五個(gè)選項(xiàng)，但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。正確回答問(wèn)題A可獲得獎(jiǎng)金元，正確回答問(wèn)題B可獲得獎(jiǎng)金元?；顒?dòng)規(guī)定：參與者可任意選擇回答問(wèn)題的順序，如果第一個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)中止。假設(shè)一個(gè)參與者在回答問(wèn)題前，對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題都很陌生，試確定哪種回答問(wèn)題的順序能使該參與者獲救金額的期望值較大. 【解析】設(shè)該參與者猜對(duì)問(wèn)題A的概率為，則，猜對(duì)問(wèn)題B的概率為，.......1分 參與者回答問(wèn)題有兩種順序： 順序一：

11、先A后B 此時(shí)參與者獲得獎(jiǎng)金額的可能值為：， ，，， 從而數(shù)學(xué)期望；................................5分 順序二：先B后A 此時(shí)參與者獲得獎(jiǎng)金額的可能值為：， ，，， 從而數(shù)學(xué)期望；...........................9分 而：，則： 當(dāng)時(shí)：先回答A，當(dāng)兩者兼可，時(shí)先回答B(yǎng)......................12分 19、（滿分12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，又PA⊥平面ABCD，PA＝4． P

12、 A B C D Q （1）線段BC上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求的取值范圍； （2）線段BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，求二面角A－PD－Q的余弦值。 解法1：（Ⅰ）如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD， 必有． 設(shè)，則， 在中，有． 在中，有． 在中，有． N M P A B C D Q 即，即． ∴． 故的取值范圍為．

13、 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q（Q為BC邊的中點(diǎn)）， 使PQ⊥QD，過(guò)Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD． 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD． x y z P A B C D Q 　過(guò)M作MN⊥PD于N，連結(jié)NQ，則QN⊥PD． 　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角． 在等腰直角三角形中，可求得，又，進(jìn)而． ∴． 故二面角

14、A－PD－Q的余弦值為． 解法2：（Ⅰ）以為x．y．z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則 B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0）， P（0，0，4）， 設(shè)Q（t，2，0）（），則 ＝（t，2，－4）， ＝（t－a，2，0）． ∵PQ⊥QD，∴＝0． 即． ∴． 故的取值范圍為． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD． 此時(shí)Q（2，2，0），D（4，0，0）．

15、 設(shè)是平面的法向量， 由，得． 取，則是平面的一個(gè)法向量． 而是平面的一個(gè)法向量， ． ∴二面角A－PD－Q的余弦值為． 20、（滿分13分）隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問(wèn)題日益突出．本市某居民小區(qū)為緩解“停車難”問(wèn)題，擬建造地下停車庫(kù)，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫(kù)的入口和進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計(jì)示意圖. （1）按規(guī)定，地下停車庫(kù)坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?，為?biāo)明限高，請(qǐng)你根據(jù)該圖所示數(shù)據(jù)計(jì)算限定高度CD的值．（精

16、確到0.1m） （下列數(shù)據(jù)提供參考：20°＝0.3420，20°＝0.9397，20°＝0.3640） （2）在車庫(kù)內(nèi)有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖所示，設(shè)，車道寬為3米，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的小汽車，其水平截面圖為矩形，它的寬為1.8米，長(zhǎng)為4.5米，問(wèn)此車是否能順利通過(guò)此直角拐彎車道？ A 3米 3米 1.8米 θ P B C D E O F 解：(1)在△ABE中，∠ABE=90°，∠BAE=

17、20°, ∴tan∠BAE=，又AB=10， ∴BE=AB?tan∠BAE=10tan20°≈3.6m，∵BC=0.6∴CE=BE-BC=3m, 在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD=∠BAE=20°, ∴cos∠ECD=,∴CD=CE?cos∠ECD=3cos20°≈3×0.94≈2.8m． 故答案為2.8m．…………5分 （2）延長(zhǎng)與直角走廊的邊相交于，如下圖. ，其中. 容易得到，.又， 于是， 其中.………8分 設(shè)，則，于是. 又， 因此． …………11分 因?yàn)?，又，所以恒成立? 因此函

18、數(shù)在是減函數(shù)，所以， 故能順利通過(guò)此直角拐彎車道 …………13分 21、（滿分13分） 已知橢圓上有一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為，. （1）如果直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，若，直線與直線的交點(diǎn)是，求點(diǎn)的軌跡方程； （2）過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不垂直）與該橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，，試判斷：是否為定值？并說(shuō)明理由. 解：（1）由已知 所以橢圓方程為. ………………………3分 依題意可設(shè)，且有 又 ，將代入即得 所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程是（y≠0）……………………8分 （2）是定值，，理由如下：

19、 ……………………9分 依題意，直線的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為， 設(shè)、、，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 消去并整理，得， 所以， ① ， ② ……………………11分 因?yàn)?，所以? 即所以，又與軸不垂直，所以， 所以，同理. …………………………12分 所以. 將①②代入上式可得. …………………………13分 22、（滿分13分）設(shè)函數(shù)在上的最大值為. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：對(duì)任何正整數(shù)，都有成立； 、 （3）若數(shù)列的前

20、之和為，證明：對(duì)任意正整數(shù)都有成立. 【解析】（1）由 當(dāng)時(shí)，由得或 當(dāng)時(shí)，，，則 當(dāng)時(shí)，，則 當(dāng)時(shí)，， 而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故函數(shù)在處取得最大值， 即： 綜上：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 （2）當(dāng)時(shí)，要證，即證， 而 故不等式成立.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 （3）當(dāng)時(shí)結(jié)論成立； 當(dāng)時(shí)，由（2）的證明可知： ， 從而。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分