湖南省長沙市2013屆高三數(shù)學第6次月考 理（解析版）

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1、湖南師大附中2013屆高三第六次月考數(shù)學試題(理科） （考試范圍：考綱要求全部范圍） 時量 120分鐘 總分150分] 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的. 1.如圖：給定全集U和集合A,B，則如圖陰影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. U 【答案】A B A 2. 函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函數(shù)連續(xù)且定義域內(nèi)遞

2、增，又，. 3. 化簡對數(shù)式得到的值為（ ） A. 1 B. 2 C. - 1 D. 【答案】C 4. 已知三個向量，,共線，其中分別是的三條邊和三個角，則的形狀是（ ） A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由三個向量，,共線及正弦定理 可得： 由，因為，所以，因為， 所以，所以，即.同理可得， 5.函數(shù)的部分圖象如圖示，將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）

3、A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由圖象知,, 將的圖象平移個單位后的解析式為 則由：，. 6.設函數(shù)（且）在上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則的圖象是 y x o y 2 1 2 o 1 y x x -1 0 0 -1 y x A B C D 【答案】C 【解析】是奇函數(shù)，所以，即，所

4、以， 即，又函數(shù)在定義域上單調(diào)性相同， 由函數(shù)是增函數(shù)可知，所以函數(shù)，選C. 7. 設等差數(shù)列的前項和為且滿足則中最大的項為 【答案】C 【解析】由，得. 由，得，所以，且. 所以數(shù)列為遞減的數(shù)列.所以為正，為負， 且，， 則，，，又，所以， 所以最大的項為. 8.對于定義域為[0,1]的函數(shù)，如果同時滿足以下三個條件： ①對任意的，總有

5、 ② ③若，，都有 成立； 則稱函數(shù)為理想函數(shù). 下面有三個命題： （1） 若函數(shù)為理想函數(shù)，則； （2） 函數(shù)是理想函數(shù)； （3） 若函數(shù)是理想函數(shù)，假定存在，使得，且， 則； 其中正確的命題個數(shù)有（ ） A. 0個 B.1個 C.2個 D.3個 【答案】D 二、 填空題： 本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分 ，共35分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上. （一）選作題（請考生在第9、10、 11三題中任選兩題作答，如果全做，則

6、按前兩題記分 ） 9. 不等式的解集為 . 【解析】由：，或，或， 解得不等式的解集為：； 10. 直線的參數(shù)方程是（其中為參數(shù)），圓的極坐標方程為，過直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值是 . 【解析】，， ， 即，． ， 圓心C到距離是， ∴直線上的點向圓C引的切線長的最小值是 11. 如圖，是⊙的直徑，是延長線上的一點，過作⊙的切線，切點為，，若，則⊙的直徑 ．

7、 【解析】因為根據(jù)已知條件可知，連接AC，，， 根據(jù)切線定理可知, ,可以解得為4. （二） 必做題 12. 下面是關于復數(shù)的四個命題： （1）； （2）； （3）的共軛復數(shù)為； （4）的虛部為； 其中所有正確的命題序號是 . 【答案】（2）（4） 13.如果一個隨機變量~，則使得取得最大值的的值為 . 【解析】，則只需最大即可，此時 14. 如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積為 . 【解析】該幾何體是如圖所示的三棱錐ABCD，可將其補形成一個長方體，

8、 半徑為，體積為. （也可直接找到球心，求出半徑解決問題） 15. 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，……，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為 . 【解析】：采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，即，第k組的號碼為，令，而，解得，則滿足的整數(shù)k有10個. 16. 已知，或，，對于，表示U和V中相對應的元素不同

9、的個數(shù)． （Ⅰ）令，存在m個，使得，則m= ； （Ⅱ）令，若，則所有之和為 ． 【解析】：（Ⅰ）； （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知使的共有個 ∴= = 兩式相加得 = 三、 解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17、（滿分12分）已知是三次函數(shù)的兩個極值點，且,,求動點所在的區(qū)域面積. 【解析】由函數(shù)可得， , ………………2分 由題意知，是方程的兩個根， ……5分 且,,因此得到可行,…………9分 即, 畫出可行域如圖

10、. ………11分 所以. ………12分 18、(滿分12分）為迎接新年到來，某商場舉辦有獎競猜活動，參與者需先后回答兩道選擇題，問題A有四個選項，問題B有五個選項，但都只有一個選項是正確的。正確回答問題A可獲得獎金元，正確回答問題B可獲得獎金元?；顒右?guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序，如果第一個問題回答錯誤，則該參與者猜獎活動中止。假設一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲救金額的期望值較大. 【解析】設該參與者猜對問題A的概率為，則，猜對問題B的概率為，.......1分 參與者回答問題有兩種順序： 順序一：

11、先A后B 此時參與者獲得獎金額的可能值為：， ，，， 從而數(shù)學期望；................................5分 順序二：先B后A 此時參與者獲得獎金額的可能值為：， ，，， 從而數(shù)學期望；...........................9分 而：，則： 當時：先回答A，當兩者兼可，時先回答B(yǎng)......................12分 19、（滿分12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，又PA⊥平面ABCD，PA＝4． P

12、 A B C D Q （1）線段BC上存在點Q，使PQ⊥QD，求的取值范圍； （2）線段BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求二面角A－PD－Q的余弦值。 解法1：（Ⅰ）如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD， 必有． 設，則， 在中，有． 在中，有． 在中，有． N M P A B C D Q 即，即． ∴． 故的取值范圍為．

13、 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當，時，邊BC上存在唯一點Q（Q為BC邊的中點）， 使PQ⊥QD，過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD． 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD． x y z P A B C D Q 　過M作MN⊥PD于N，連結NQ，則QN⊥PD． 　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角． 在等腰直角三角形中，可求得，又，進而． ∴． 故二面角

14、A－PD－Q的余弦值為． 解法2：（Ⅰ）以為x．y．z軸建立如圖的空間直角坐標系，則 B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0）， P（0，0，4）， 設Q（t，2，0）（），則 ＝（t，2，－4）， ＝（t－a，2，0）． ∵PQ⊥QD，∴＝0． 即． ∴． 故的取值范圍為． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當，時，邊BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD． 此時Q（2，2，0），D（4，0，0）．

15、 設是平面的法向量， 由，得． 取，則是平面的一個法向量． 而是平面的一個法向量， ． ∴二面角A－PD－Q的余弦值為． 20、（滿分13分）隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出．本市某居民小區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫，建筑設計師提供了該地下停車庫的入口和進入后的直角轉彎處的平面設計示意圖. （1）按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標志，以便告知停車人車輛能否安全駛入，為標明限高，請你根據(jù)該圖所示數(shù)據(jù)計算限定高度CD的值．（精

16、確到0.1m） （下列數(shù)據(jù)提供參考：20°＝0.3420，20°＝0.9397，20°＝0.3640） （2）在車庫內(nèi)有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖所示，設，車道寬為3米，現(xiàn)有一輛轉動靈活的小汽車，其水平截面圖為矩形，它的寬為1.8米，長為4.5米，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？ A 3米 3米 1.8米 θ P B C D E O F 解：(1)在△ABE中，∠ABE=90°，∠BAE=

17、20°, ∴tan∠BAE=，又AB=10， ∴BE=AB?tan∠BAE=10tan20°≈3.6m，∵BC=0.6∴CE=BE-BC=3m, 在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD=∠BAE=20°, ∴cos∠ECD=,∴CD=CE?cos∠ECD=3cos20°≈3×0.94≈2.8m． 故答案為2.8m．…………5分 （2）延長與直角走廊的邊相交于，如下圖. ，其中. 容易得到，.又， 于是， 其中.………8分 設，則，于是. 又， 因此． …………11分 因為，又，所以恒成立， 因此函

18、數(shù)在是減函數(shù)，所以， 故能順利通過此直角拐彎車道 …………13分 21、（滿分13分） 已知橢圓上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為，. （1）如果直線與橢圓相交于不同的兩點，若，直線與直線的交點是，求點的軌跡方程； （2）過點作直線（與軸不垂直）與該橢圓交于兩點，與軸交于點，若，，試判斷：是否為定值？并說明理由. 解：（1）由已知 所以橢圓方程為. ………………………3分 依題意可設，且有 又 ，將代入即得 所以直線與直線的交點的軌跡方程是（y≠0）……………………8分 （2）是定值，，理由如下：

19、 ……………………9分 依題意，直線的斜率存在，故可設直線的方程為， 設、、，則兩點坐標滿足方程組 消去并整理，得， 所以， ① ， ② ……………………11分 因為，所以， 即所以，又與軸不垂直，所以， 所以，同理. …………………………12分 所以. 將①②代入上式可得. …………………………13分 22、（滿分13分）設函數(shù)在上的最大值為. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）證明：對任何正整數(shù)，都有成立； 、 （3）若數(shù)列的前

20、之和為，證明：對任意正整數(shù)都有成立. 【解析】（1）由 當時，由得或 當時，，，則 當時，，則 當時，， 而當時，當時， 故函數(shù)在處取得最大值， 即： 綜上：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 （2）當時，要證，即證， 而 故不等式成立.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 （3）當時結論成立； 當時，由（2）的證明可知： ， 從而。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分