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1、19.4.1 極坐標(biāo)系,學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 極坐標(biāo)系是不同于直角坐標(biāo)系的另一種坐標(biāo)系，在這兩種坐標(biāo)系中都可以確定點(diǎn)的位置，其各有特點(diǎn)。通常情況下，在運(yùn)動(dòng)的過程中，若點(diǎn)作平移變動(dòng)，則選擇直角坐標(biāo)系；而若點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變動(dòng)，則采用極坐標(biāo)系。,o,P,P(x,y),P(x,y,z),（1）在數(shù)軸上，直線上所有點(diǎn)的集合與全體實(shí)數(shù)的集合建立一一對(duì)應(yīng)；,（2）在平面直角坐標(biāo)系上，平面上所有點(diǎn)的集合與全體有序?qū)崝?shù)對(duì) （x , y）的集合建立一一對(duì)應(yīng)；,（3）在空間直角坐標(biāo)系上，空間上所有點(diǎn)的集合與全體三元有序?qū)崝?shù)對(duì)（x , y , z）的集合建立一一對(duì)應(yīng)；,復(fù)習(xí)回顧,4.1.1 直角坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系,數(shù) 軸,空間直角坐
2、標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系,R,（x , y),（x , y , z),復(fù)習(xí)回顧,建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系:,（1）若圖形有對(duì)稱中心，則可選對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；,（2）若圖形有對(duì)稱軸，則可選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；,（3）建系應(yīng)使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。,建立坐標(biāo)系是為了確定點(diǎn)的位置。由此，在所創(chuàng)建的坐標(biāo)系中，應(yīng)滿足： 任意一點(diǎn)都存在一個(gè)坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)；反之，依據(jù)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定這個(gè)點(diǎn)的位置； 而確定點(diǎn)的位置即為求出此點(diǎn)在設(shè)定的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。,復(fù)習(xí)回顧,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示邊長為1的正六邊形的頂點(diǎn)。,鞏固練習(xí),O,F,A,E,B,D,C,（1）若有一艘軍艦巡邏在海面上，發(fā)
3、現(xiàn)前方有一群水雷，如何確定他們的位置以便將它們引爆呢？,軍 艦,水雷群,創(chuàng)設(shè)情境,創(chuàng)設(shè)情境,從這向北1000米,請(qǐng)問去農(nóng)行路怎么走？,請(qǐng)分析上面這句話，他告訴了問路人什么？,從這向北走1000米！,出發(fā)點(diǎn),方向,距 離,在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。,情境分析,一、極坐標(biāo)系的建立：,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)。,引一條射線Ox，叫做極軸。,再選定一個(gè)長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時(shí)針方向）。,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。,O,新課講解,二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定:,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用 表示
4、線段OM的長度，用 表示從Ox到OM 的角度， 叫做點(diǎn)M的極徑， 叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)（，）就叫做M的極坐標(biāo)。,特別強(qiáng)調(diào)：表示線段OM的長度，即點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離；表示從Ox到OM的角度，即以O(shè)x（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。,新課講解,題組1：說出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo),練一練,平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？ 坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？ 不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？,特別規(guī)定: 當(dāng)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)=0，可以取任意值。,想一想？,三、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究:,如圖：OM的長度為4，,請(qǐng)說出點(diǎn)M的極坐標(biāo)的其他表達(dá)式 .,思考：這些極坐標(biāo)之間有何異同
5、？,思考：這些極角有何關(guān)系？,這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。,本題點(diǎn)M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：,極徑相同，不同的是極角。,新課講解,題組2：在極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn),練一練,解析：,四、1、負(fù)極徑的定義,說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負(fù)值。,對(duì)于點(diǎn)M（，）負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定：,1作射線OP，使XOP= ,2在OP的反向延長 線上取一點(diǎn)M，使OM= ; 如圖示：,新課講解,2、負(fù)極徑的實(shí)例,在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn):M（3，/4）的位置,1作射線OP，使XOP= /4,2在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使OM= 3; 如圖示： M（3，/4）,新課講
6、解,題組3：說出下圖中當(dāng)極徑取負(fù)值時(shí)各點(diǎn)的極坐標(biāo),練一練,3、關(guān)于負(fù)極徑的思考,“負(fù)極徑”真是“負(fù)”的嗎？ 根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當(dāng)然是正的?，F(xiàn)在所說的“負(fù)極徑”中的“負(fù)”到底是什么意思？,思考：試把負(fù)極徑時(shí)點(diǎn)的確定過程，與正極徑時(shí)點(diǎn)的確定過程相比較，看看有什么相同，有什么不同？,？,新課講解,4、正、負(fù)極徑時(shí)，點(diǎn)的確定過程比較,1作射線OP，使XOP= /4,2在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使OM= 3,1作射線OP，使XOP= /4,2在OP的上取一點(diǎn)M，使OM= 3,畫出點(diǎn): （3，/4） 和（3，/4）,給定,在極坐標(biāo)系中描點(diǎn)的方法：先按極角找到極徑所在的射線，后按極徑的正負(fù)和數(shù)值
7、在這條射線或其反向延長線上描點(diǎn)。,5、負(fù)極徑的實(shí)質(zhì),從比較來看，負(fù)極徑比正極徑多了一個(gè)操作，將射線OP“反向延長”。,而反向延長也可以看成是旋轉(zhuǎn) ，因此，所謂“負(fù)極徑”實(shí)質(zhì)是針對(duì)方向的。這與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，用“負(fù)”表示“反向 ”。,負(fù)極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?fù)，極角增加 。,答：（6， +）,或（6， +）,特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時(shí)），認(rèn)為 0 。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況使用。,五、極坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo),探索點(diǎn)M（3，/4）的所有極坐標(biāo),1極徑是正的時(shí)候：,2極徑是負(fù)的時(shí)候：,六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況,1給定（,）,就可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)M。,2給定平面
8、上一點(diǎn)M，但卻有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)。,原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。,新課講解,一般地,若(,)是一點(diǎn)M的極坐標(biāo),則(,+2k)或 (,+(2k + 1)都可以作為它的極坐標(biāo).,若限定0,02或 ,則除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可一一對(duì)應(yīng)了.,六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況,2.在極坐標(biāo)系中,與(,)關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)是( ),A.(,) B.(,) C.(,) D.(,),C,D,題組4 1. 在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)(3, )重合的點(diǎn)是( ),A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ),3.在極坐標(biāo)系中,與點(diǎn)(8, )關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn) 的一個(gè)坐標(biāo)是 ( ),A.(8
9、, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ),A,3一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否有統(tǒng)一的表達(dá)式？,1建立一個(gè)極坐標(biāo)系需要哪些要素？,極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。,2極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？,無數(shù).極徑有正有負(fù)；極角也有正負(fù)且無數(shù)個(gè)。,有.（，2k+）,課堂小結(jié),或（-，2k+）,課堂小結(jié),1、極坐標(biāo) （，2k+） 和（-，2k+）其中 表示同一個(gè)點(diǎn)（，）；,2、點(diǎn) M（，） 關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為（-，） 或（，+） ；,3、點(diǎn) M（，） 關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為（，-） 或（-，-） ；,4、點(diǎn) M（，） 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為（-，-） 或（，-） ；,課外作業(yè),
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