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1、,第二章 極限與連續(xù),2.1數(shù)列的極限,一、數(shù)列的定義及基本特性,定義：定義在自然數(shù)集上的函數(shù)稱為數(shù)列， 記為,其中 稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)，故數(shù)列又記為,例1.,例2.,例3.,例4.,2. 數(shù)列的基本特性,單調(diào)性,若un滿足u1u2unun+1, 則稱un是單調(diào)遞增的，記為un;,若不等式中的嚴(yán)格不等號換成不嚴(yán)格不等號時稱un是單調(diào)不減的.,若un滿足u1u2unun+1, 則稱un是單調(diào)遞減的，記為un;,若不等式中的嚴(yán)格不等號換成不嚴(yán)格不等號時稱un是單調(diào)不增的.,單調(diào)遞增、單調(diào)不減、單調(diào)遞減、單調(diào)不增的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.,例1.,（遞減數(shù)列）,例2.,（遞減數(shù)列）,例3.,遞增數(shù)列
2、,例4.,擺動,數(shù)列的有界性,如果存在一個常數(shù)m，使得對一切n，恒有 un m,則稱數(shù)列 un 有下界，m 就是其中的一個下界；,如果存在一個常數(shù)M，使得對一切n，恒有 un M,則稱數(shù)列 un 有上界，M 就是其中的一個上界.,例3：討論數(shù)列1+(1)n的單調(diào)性和有界性.,顯然，1+(1)n不單調(diào)，但有界(可取M=2).,如果存在兩個常數(shù)m和M，使得對一切n，恒有,則稱數(shù)列 un 有界.,例1.,例2.,二、數(shù)列極限的定義,上述數(shù)列有的單調(diào)增加，有的單調(diào)減少，有的擺動，可是當(dāng) n 越來越大時，數(shù)列的各項(xiàng)越來越接近于零，常數(shù)零就稱為數(shù)列的極限.,定義,設(shè)有數(shù)列 un，如果當(dāng) n 無限增大時，u
3、n無限接近于常數(shù) A ，則稱數(shù)列un 以A 為極限，記為,如何理解：當(dāng) n 無限增大時，un無限接近于常數(shù) A？,我們以 (n+1)/n 為例，說明當(dāng) n 無限增大時，數(shù)列 (n+1)/n無限接近于常數(shù) 1 的含義.,若要 | (n+1)/n 1| 100 即可， 若要 | (n+1)/n 1| 10000 即可，,(n+1)/n接近于常數(shù) 1 的程度，可以用| | 的大小進(jìn)行衡量，n 越大，上述的絕對值越小.,若對于任意小的正數(shù) ,要使| (n+1)/n 1| ,只需,n 1/,定義,設(shè)有數(shù)列 un和常數(shù)A，如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在正整數(shù) N ，當(dāng) n N時，恒有,成立，則稱常數(shù) A
4、 為數(shù)列un 的極限，記為,此時，又稱數(shù)列 un 收斂，如果不存在這樣的常數(shù)A,則稱數(shù)列 un 發(fā)散（即極限不存在）. P79 4,這就表明當(dāng) n N 時，數(shù)列的各項(xiàng)都落入以 A 為中心,以 為半徑的小鄰域內(nèi)，至多只有有限個點(diǎn)(N個)落在鄰域( A- ,A+ )之外.,下面，我們給出數(shù)列極限的幾何意義：,例5. 用分析的定義證明,分析：由數(shù)列極限的定義可知，對給定的，要找到正整數(shù)N，使得當(dāng) nN 時，恒有 |un-2| 成立.為此，我們可以通過解上述不等式的方法找到 N.,證明：對任意給定的 0,存在 N=2/ ,當(dāng)nN時 恒有,成立，由數(shù)列極限的定義可知,例6：給定數(shù)列,例7：,在我國春秋戰(zhàn)
5、國時期的莊子 天下篇中有這樣一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”. 意思是說，一根一尺長的木棒，每天截取一半，永遠(yuǎn)取不完.,為什么？,我們將每天截下的長,度表示出來：,需要指出的是，雖然無限接近于0，卻永遠(yuǎn)不會等于0，這就是“萬世不竭”的意思.,下面是兩個數(shù)列發(fā)散的例子：,例8：數(shù)列n2: 1, 4, 9, 16, , n2, .,隨著 n 的無限增大，n2 也無限地增大，不會趨于任何常數(shù)，因此該數(shù)列發(fā)散.,例9：數(shù)列1+(1)n: 0, 2, 0, 2, , 1+(1)n , .,總在0與2之間相互交錯，隨著 n 的無限增大，不會趨于任何常數(shù)，因此該數(shù)列發(fā)散.,三、數(shù)列極限的性質(zhì),1.
6、唯一性定理：若數(shù)列un的極限存在，則極限值必唯一.,2. 有界性定理：若數(shù)列un收斂，則un必有界.,注：(1) 無界數(shù)列必發(fā)散.,(2) 有界的數(shù)列不一定收斂. 例如1+(1)n.,3. 保號性定理：,推論：,注：,4. 單調(diào)收斂準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.,作業(yè): B類P39 2. 3. 4. 思考 P39 5.,1.,2.,3.,四、常見的收斂數(shù)列,4.常數(shù)列的極限是其本身.,2.2函數(shù)的極限,一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限,考察數(shù)列：,與函數(shù),我們知道,x,y,0,1 2 3 4 5 n,從幾何上看，如果f(x)向右方延伸，越來越接近于一條水平直線y=c，則稱常數(shù)c為x趨向正無窮大時
7、函數(shù) f(x)的極限，記為,下面，我們給出 的定義,若當(dāng) x 沿 x 軸正向(即x0)無限增大時，f (x)無限地接近于某個常數(shù) A ，則稱 f (x)當(dāng) x+ 時有極限值A(chǔ)，記作：,定義1,或,定義,從幾何上看，如果f(x)向左方延伸，越來越接近于一條水平直線y=c，則稱常數(shù)c為x趨向負(fù)無窮大時函數(shù) f(x)的極限，記為,例2. 作出 y=arctanx 的圖像 觀察 時的極限,請同學(xué)們自己寫出 的定義,從幾何上看，如果f(x)向左、右兩方延伸，越來越接近于同一條水平直線y=c，則稱常數(shù) c 為 x 趨向無窮大時函數(shù) f(x)的極限，記為,當(dāng)| x | 無限增大時，f (x) 無限地接近于某
8、個常數(shù) A，,y=arctanx,二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限,解:D(f)=(,1)U(1,+),此時，我們稱常數(shù) 2 為函 數(shù) f(x) 在 x 趨向 1 時的極 限，記為,注意：,從左邊趨向1 從右邊趨向1,注意：,（1） 用來刻畫 x 接近,三. 函數(shù)的左右極限,在 xx0 時函數(shù) f (x) 的極限定義中，自變量 x 趨于 x0 的方式必須同時考慮 x 從 x0 的左、右兩側(cè)趨于 x0 的情況，我們稱這樣的極限為“雙側(cè)”極限。僅僅只考慮 x 從 x0 的某一側(cè)趨于 x0 時 f (x) 的極限稱為“單側(cè)”極限.,有時函數(shù)受定義域的限制，只能從一個方向趨向 ，例如,或,或,注意，這里 f (x0+0)與 f (x00)是兩個記號，分別表示 f (x) 在 x0 點(diǎn)的右極限和左極限，要與函數(shù)值區(qū)別開來。,一般用于判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在，,從上述定理可知，如果,等，則,不存在.,中至少有一個不存在，或者雖然都存在但不相,例9.求,解：,因?yàn)?故,不存在.,1,1,練習(xí):,幾種極限的比較,從上面的定義我們可以發(fā)現(xiàn)：無論是數(shù)列的極限，還是函數(shù)的極限，其實(shí)質(zhì)是一樣的.因此，我們可將上述三種極限歸納為：,五.變量的極限,
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