【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 大題沖關集訓（六）理

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1、 大題沖關集訓(六) 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 1.(2014青島市一模)2013年6月“神舟”發(fā)射成功.這次發(fā)射過程共有四個值得關注的環(huán)節(jié),即發(fā)射、實驗、授課、返回.據(jù)統(tǒng)計,由于時間關系,某班每位同學收看這四個環(huán)節(jié)的直播的概率分別為、、、,并且各個環(huán)節(jié)的直播收看互不影響. (1)現(xiàn)有該班甲、乙、丙3名同學,求這3名同學至少有2名同學收看發(fā)射直播的概率; (2)若用X表示該班某一位同學收看的環(huán)節(jié)數(shù),求X的分布列與期望. 解:(1)設“這3名同學至少有2名同學收看發(fā)射直播”為事件A, 則P(A)=2×1-+3=. (2)由條件可知X可能取值為0,1,2,3,4.

2、 P(X=0)=1-×1-×1-×1-=. P(X=1)=×1-×1-×1-+1-××1-×1-+1-×1-××1-+1-×1-×1-×=. P(X=2)=××1-×1-+×1-××1-+×1-×1-×+1-×××1-+1-××1-×+1-×1-××=. P(X=3)=1-×××+×1-××+××1-×+×××1-=. P(X=4)=×××=. 即X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. 2.(2014昆明模擬)氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份(30天)的日最高氣溫的統(tǒng)計表如下: 日最高氣

3、溫 t(單位:℃) t≤22 2232 天數(shù) 6 12 Y Z 由于工作疏忽,統(tǒng)計表被墨水污染,Y和Z數(shù)據(jù)不清楚,但氣象部門提供的資料顯示,六月份的日最高氣溫不高于32 ℃的頻率為0.9. 某水果商根據(jù)多年的銷售經(jīng)驗,六月份的日最高氣溫t(單位:℃)對西瓜的銷售影響如下表: 日最高氣溫 t(單位:℃) t≤22 2232 日銷售額X (單位:千元) 2 5 6 8 (1)求Y,Z的值; (2)若視頻率為概率,求六月份西瓜日銷售額的期望和方差; (3)在日最高氣溫不高

4、于32 ℃時,求日銷售額不低于5千元的概率. 解:(1)由已知得,P(t≤32)=0.9, ∴P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1, ∴Z=30×0.1=3, Y=30-(6+12+3)=9. (2)P(t≤22)==0.2, P(2232)==0.1, ∴六月份西瓜日銷售額X的分布列為 X 2 5 6 8 P 0.2 0.4 0.3 0.1 ∴E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5, D(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×

5、0.3+(8-5)2×0.1=3. (3)∵P(t≤32)=0.9, P(22

6、影響. (1)求該項技術量化得分不低于8分的概率; (2)記該項新技術的三個指標中被檢測合格的指標個數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學期望. 解:(1)記甲、乙、丙獨立通過檢測合格分別為事件A、B、C,則事件“得分不低于8分”表示為ABC+AC. ∵ABC與AC為互斥事件,且A、B、C為彼此獨立. ∴P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C) =××+×× =. (2)該項新技術的三個指標中被檢測合格的指標個數(shù)X的取值為0,1,2,3, P(X=0)=P(　　)=××=. P(X=1)=P(A　+B+　C)=××+××

7、+××=, P(X=2)=P(AB+BC+AC)=××+××+××=, P(X=3)=P(ABC)=××=, 隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴E(X)=0×+1×+2×+3×=. 4.(2014揭陽市二模)下表是某市從3月份中隨機抽取的10天空氣質量指數(shù)(AQI)和“PM 2.5”(直徑小于等于2.5微米的顆粒物)24小時平均濃度的數(shù)據(jù),空氣質量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質量優(yōu)良. 日期 編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 空氣 質量 指數(shù) (AQI) 179 4

8、0 98 124 29 133 241 424 95 89 “PM 2.5” 24小 時平 均濃度 (μg/m3) 135 5 80 94 80 100 190 387 70 66 (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),估計該市當月某日空氣質量優(yōu)良的概率; (2)在上表數(shù)據(jù)中,在表示空氣質量優(yōu)良的日期中,隨機抽取兩個對其當天的數(shù)據(jù)作進一步的分析,設事件M為“抽取的兩個日期中,當天′PM 2.5′的24小時平均濃度不超過75 μg/m3”,求事件M發(fā)生的概率; (3)在上表數(shù)據(jù)中,在表示空氣質量優(yōu)良的日期中,隨機抽取3天,記為“PM 2.5”24小時平均濃

9、度不超過75 μg/m3的天數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望. 解:(1)由題表數(shù)據(jù)知,10天中空氣質量指數(shù)(AQI)小于100的日期有A2、A3、A5、A9、A10共5天,故可估計該市當月某日空氣質量優(yōu)良的概率P==. (2)由(1)知10天中表示空氣質量為優(yōu)良的天數(shù)為5,當天“PM 2.5”的24小時平均濃度不超過75 μg/m3有編號為A2、A9、A10,共3天,故事件M發(fā)生的概率P(M)==. (3)由(1)知,ξ的可能取值為1,2,3. 且P(ξ=1)==,P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, 故ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ξ的數(shù)學期望E(ξ

10、)=1×+2×+3×=. 5.(2014濟南市一模)一個袋中裝有形狀大小完全相同的球9個,其中紅球3個,白球6個,每次隨機取1個,直到取出3次紅球即停止. (1)從袋中不放回地取球,求恰好取4次停止的概率P1; (2)從袋中有放回地取球. ①求恰好取5次停止的概率P2; ②記5次之內(nèi)(含5次)取到紅球的個數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望. 解:(1)P1==. (2)①P2=×2×2×=. ②隨機變量ξ的取值為0,1,2,3, 由n次獨立重復試驗概率公式Pn(k)=pk(1-p)n-k, 得P(ξ=0)=1-5=; P(ξ=1)=××1-4=; P(ξ=2)=×2

11、×1-3=; P(ξ=3)=1-=. 隨機變量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P ξ的數(shù)學期望是 E(ξ)=×0+×1+×2+×3=. 6.(2014高考新課標全國卷Ⅱ)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求y關于t的線性回歸方程; (2)利用(1)中的回歸方程

12、,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入. 附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為: =,=- 解:(1)由所給數(shù)據(jù)計算得 =(1+2+3+4+5+6+7)=4, =(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, (ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28, (ti-)(yi-) =(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14, ===0.5, =-=4.3-0.5×4=2.3, 所求回歸方程為=0.5t+2.3. (2)由(1)知,=0.5>0.故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元. 將2015年的年份代號t=9代入(1)中的回歸方程,得 =0.5×9+2.3=6.8, 故預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元. 8