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1、第二章 第三講,導(dǎo)數(shù)的運算（二）,2-3,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二、對數(shù)求導(dǎo)法,四、高階導(dǎo)數(shù),三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則：,復(fù)習(xí),,2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,,,,,,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),2-2 導(dǎo)數(shù)的運算(二）,,,隱函數(shù),,隱函數(shù)的顯化,我們所遇到的函數(shù)大都是一個變量明 顯用另一個變量表示的形式,------y = f(x),這種形式稱為顯函數(shù).,定義:,,隱函數(shù)的顯化,問題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?,對于這樣的函數(shù),例如,隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,隱函數(shù)一般可用F(x,y)=0表示.現(xiàn)在的問題是通過方程F(x,y)=0確定了y是x的函數(shù)，如何來求 y的導(dǎo)
2、數(shù).容易看出：“先將形式隱函數(shù)顯化，然后再求導(dǎo)”不是一個好的辦法，因為將隱函數(shù)顯化，即將其變成顯函數(shù)形式一般是非常困難的，甚至是不可能的. 對于隱函數(shù)求導(dǎo)，可以采用這樣的方法：首先在等式兩邊對x求導(dǎo)，遇到 y 時將其認(rèn)作中間變量，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到含,的方程，解出,即可.,例1 設(shè)y=y(x)由 確定，求 .,解 兩邊對x求導(dǎo)，得,解方程得,,,,隱函數(shù)求導(dǎo)法則: 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).,例2 求隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),解,,,,例3,解,解得,解,解得,,例4 求由方程,所確定的隱函數(shù),解：,所求切線方程為,即 y = x,即 x + y 3 = 0,,
3、,例6 求橢圓曲線 處的切線方程 和法線方程.,解,切線斜率,法線斜率,所以切線方程為,法線方程為,,,,,,二、對數(shù)求導(dǎo)法,2-2 導(dǎo)數(shù)的運算(二）,選學(xué)內(nèi)容,對數(shù)求導(dǎo)法,在求導(dǎo)運算中，常會遇到下列兩類函數(shù)的求導(dǎo)問題，一類是冪指函數(shù)，即形如 的函數(shù)，還有一類是一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù).,所謂對數(shù)求導(dǎo)法，就是在 y=f(x) 的兩邊分別取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)的方法.,,,觀察函數(shù),方法:,先在方程兩邊取對數(shù)，將連乘積、商函數(shù)或冪指函數(shù)簡化為和差函數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).,復(fù)雜,適用范圍:,煩瑣,所以,兩邊對x求導(dǎo)，得,例1
4、,,,,,,例2,解,等式兩邊取對數(shù)得,,例3,解,等式兩邊取對數(shù)得,解,等式兩邊取自然對數(shù)得,例4.設(shè),，求,=,,,,,,,,三、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù),2-2 導(dǎo)數(shù)的運算(二）,由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則,若將由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)看成復(fù)合函 數(shù)： ，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：,這就是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則.,例1 設(shè),解,,,例2 設(shè),解,例3 求曲線 在t=e處的切線方程和法線方程.,解,所以切線斜率,當(dāng)t=e時，x=e，y=e.,法線斜率,故切線方程為,法線方程為,,解,所以,例 5求擺線 (a 為常數(shù)) 在對應(yīng)于 時曲線上點
5、的切線方程 .,解 與 對應(yīng)的曲線上的點為,所以,點 P 處的切線方程為,,,,,,三、高階導(dǎo)數(shù),2-2 導(dǎo)數(shù)的運算(二）,我們把函數(shù) yf(x) 的導(dǎo)數(shù) yf (x) 的導(dǎo)數(shù)(如果可導(dǎo))叫做函數(shù) yf(x) 的二階導(dǎo)數(shù) 記作,類似地 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù) 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù); 一般地 (n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù) 分別記作,y y (4) y (n),高階導(dǎo)數(shù)的定義,相應(yīng)地，稱 為一階導(dǎo)數(shù).,若y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù) 存在，,,,,變速直線運動的加速度a是位移函數(shù) s=s(t) 對時間 t 的二階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù)的物理意義:,都存在.,則稱 y=f(x) n階,
6、二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).,可導(dǎo)，此時意味著,,解：本題是求 y 在點 x=e 處的二階導(dǎo)數(shù)值，即 是 y 的二階導(dǎo)函數(shù)在 x=e 處的函數(shù)值。,,例1 y=axb 求y,ya,解,y0,例2,因為,所以,例3 已知一質(zhì)點的運動方程是,則該質(zhì)點運動的加速度a是______________,解,=,練習(xí) 1. 設(shè),解1.,,,,2. 設(shè),練習(xí) 1. 設(shè),解2.,2. 設(shè),求n階導(dǎo)數(shù),選學(xué)內(nèi)容,例1,解,,例2 設(shè),解,,例3 設(shè),求n階導(dǎo)數(shù)時，通常的方法是先求出一階、二階、三階等導(dǎo)數(shù)，從中歸納出n階導(dǎo)數(shù)的表達式.因此，求 n 階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于從各階導(dǎo)數(shù)中尋找共有的規(guī)律.,解:,所以,,例4,解,注意:,求n階導(dǎo)數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明),,練習(xí)題,,,,,,,,解：等式兩邊同時取自然對數(shù)：,,,,,,等式兩邊求導(dǎo)：,五、小結(jié),3.高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義,4.n階導(dǎo)數(shù)的求法：逐階求導(dǎo)法.,1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則: 直接對方程兩邊求導(dǎo).,2.對數(shù)求導(dǎo)法: 對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的 求導(dǎo)法則求導(dǎo).,習(xí)題冊第二章 第三講,作業(yè),
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