第75煉 幾何問題的轉(zhuǎn)換

《第75煉 幾何問題的轉(zhuǎn)換》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第75煉 幾何問題的轉(zhuǎn)換（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、a=(x,y),b=(x,y)，則a,b共線xy=xy；abxx+yy=0第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換一、基礎(chǔ)知識：在圓錐曲線問題中，經(jīng)常會遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化，合理的進(jìn)行幾何條件的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡化運(yùn)算的復(fù)雜程度，在本節(jié)中，將列舉常見的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。1、在幾何問題的轉(zhuǎn)化中，向量是一個重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€段后可以承載向量；另一方面，向量在坐標(biāo)系中能夠坐標(biāo)化，從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算，與方程和變量找到聯(lián)系2、常見幾何問題的轉(zhuǎn)化：（1）角度問題：若與直線傾斜角有關(guān)，則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜

2、率k若需要判斷角是銳角還是鈍角，則可將此角作為向量的夾角，從而利用向量數(shù)量積的符號進(jìn)行判定（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以利用圓的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些題目中計算量較大若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線的夾角進(jìn)行判定：若點(diǎn)在圓內(nèi)，uuuuruuruuruurACB為鈍角（再轉(zhuǎn)為向量：CACB0）（3）三點(diǎn)共線問題通過斜率：任取兩點(diǎn)求出斜率，若斜率相等，則三點(diǎn)共線通過向量：任取兩點(diǎn)確定向量，若向量共線，則三點(diǎn)共線（4）直線的平行垂直關(guān)系：可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量的平行與垂直問題，從而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算：rrrrrr112212211212（5）平行（共線）線段的

3、比例問題：可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系（6）平行（共線）線段的乘積問題：可將線段變?yōu)橄蛄?，從而轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題（注意向量的方向是同向還是反向）第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何3、常見幾何圖形問題的轉(zhuǎn)化（1）三角形的“重心”：設(shè)不共線的三點(diǎn)A(x,y),B(x,y),C(x,y112233)，則VABC的重心Gx+x+xy+y+y123,12333圖）：IPAC,IQAQQ：（2）三角形的“垂心”伴隨著垂直關(guān)系，即頂點(diǎn)與垂心的連線與底邊垂直，從而可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零B：（3）三角形的“內(nèi)心”伴隨著角平分線，由角平分線性質(zhì)可知（如II在BAC的角平分線上AP=AQuuur=uuuruuruuu

4、ruuruuurAIACAIABACABCPA（4）P是以DA,DB為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)uuuruuuruuurDP=DA+DBAPD（5）P是以DA,DB為鄰邊的菱形的頂點(diǎn)：P在AB垂直平分線上BAPDB（6）共線線段長度的乘積：若A,B,C共線，則線段的乘積ACB(可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡化運(yùn)算，要注意向量的夾角）uuuruuuruuuruuur例如：ACAB=ACAB，ACBC=-ACBC第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何二、典型例題：例1：如圖：A,B分別是橢圓C:x2y2+a2b2=1(ab0)的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，2是AF,FB的等差中項，3是AF,FB的等比中項（1

5、）求橢圓C的方程（2）已知P是橢圓C上異于A,B的動點(diǎn)，直線l過點(diǎn)A且垂直于x軸，若過F作直線FQAP，并交直線l于點(diǎn)Q。證明：Q,P,B三點(diǎn)共線解：（1）依題意可得：A(-a,0),B(a,0),F(c,0)AF=c+a,BF=a-cQ2是AF,FB的等差中項4=AF+FB=a+c+a-c=2aa=2(3)=AFFB=(a+c)(a-c)=aQ3是AF,FB的等比中項b2=3x2y2=1Q橢圓方程為：+4322-c2=b2（2）由（1）可得：A(-2,0),B(2,0),F(1,0)設(shè)AP:y=k(x+2)，設(shè)P(x,y11)，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：4k2+34k2+33x2+4y2=12

6、(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0y=k(x+2)16k2-126-8k2xx=x=A11P,4k2+34k2+34k2+3y=k(x+2)=1112k6-8k212k另一方面，因?yàn)镕QAPkkFQ=-1第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何y=-(x-1)FQ:y=-(x-1)，聯(lián)立方程：kx=-2Q-2,QB(2,0)1k13k=-3k4k2+3=-12k=-3k2-(-2)4k6-8k216k24kkBQ=312k0-0-=BP2-4k2+3kBQ=kBPB,Q,P三點(diǎn)共線例2：已知橢圓x2y2+2ab2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，M為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OMF的面積為

7、12，且橢圓的離心率為22（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由VOMF=1解：（1）S11OMOF=bc=222e=c2=a:b:c=2:1:1a22b=c=1a2=b2+c2=x2橢圓方程為：+y2=12（2）設(shè)P(x,y)，Q(x,y),由（1）可得：M(0,1),F(1,0)1122kMF=-1QF為PQM的垂心MFPQkPQ=-k1MF=1設(shè)PQ:y=x+m第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何由F為PQM的垂心可得：MPFQ(x,y-1),uFQur=(x-1,yuuurMP=112u2)MP

8、FQ=x(x-1)+(y-1)y=0uuuruuur1212因?yàn)镻,Q在直線y=x+m上12y=x+m1y=x+m2，代入可得：x(x-1)+(x+m-1)(x+m)=01212即2xx+(x+x)(m-1)+m2-m=01212考慮聯(lián)立方程：x2+2y2=2y=x+m得3x2+4mx+2m2-2=033D=16m2-12(2m2-2)0m2b0)的一個焦點(diǎn)是)F(1,0，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F且不垂直x軸的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動，恒有OA2+OB2AB2,求

9、a的取值范圍.解：（1）由圖可得：M0,b由正三角形性質(zhì)可得：MFO=13p6,k3MF=-3b-03kMF13=-0-13b=3a2=b2+c2=4x2y2=1橢圓方程為：+43（2）設(shè)l:y=k(x-1)，A(x,y),B(x,y112QOA2+OB2AB2cosAOB=OA2+OB2-AB202OAOBAOB為鈍角uuuruuurOAOB=xx+yy012122)聯(lián)立直線與橢圓方程：y=k(x-1)b2x2+a2y2=a2b2b2x2+a2k2(x-1)2=a2b2，整理可得：k(a22+b2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0a2k2+b2a2k2+b2x+x=122a2k2a

10、2k2-a2b2,xx=12yy=k2(x-1)(x-1)=k2xx-k2(x+x)+k212121212=k2a2k2-a2b22a2k2k2b2-a2b2k2-k2+k2=a2k2+b2a2k2+b2a2a2k2+b2a2k2-a2b2+k2b2-a2b2k2xx+yy=01212a2k2-a2b2+k2b2-a2b2k20恒成立a的取值范圍是第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何即k2(a2+b2-a2b2)a2b2恒成立a2+b2-a2b20Qb2=a2-12a2-1-a2(a2-1)1+521+5,+2例4：設(shè)A,B分別為橢圓x2y2+a2b2=1(ab0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長

11、等于焦距，且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為1y（1）求橢圓的方程；MPAoB(4,0)x（2）設(shè)P為直線x=4上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若N直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A,B的點(diǎn)M,N，證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)解：（1）依題意可得a=2c，且到右焦點(diǎn)距離的最小值為a-c=1可解得：a=2,c=1b=3x2y2橢圓方程為+43=1（2）思路：若要證B在以MN為直徑的圓內(nèi)，只需證明MBN為鈍角，即MBP為銳uuuuuruur角，從而只需證明BMBP0，因?yàn)锳,B坐標(biāo)可求，所以只要設(shè)出AM直線（斜率為k），uuuuruuur聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理即可用k表示出M的坐標(biāo)，從而BMBP

12、可用k表示。即可判斷1uuuuruuurBMBP的符號，進(jìn)而完成證明解：由（1）可得A(-2,0),B(2,0)，設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k，M(x,y11AM:y=k(x+2)聯(lián)立AM與橢圓方程可得：)，則y=k(x+2)3x2+4y2=12，消去y可得：(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=04k2+34k2+316k2-126-8k2xx=x=A11第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何，即M,4k2+34k2+34k2+3y=kx+2k=1112k6-8k212k設(shè)P(4,y0)，因?yàn)镻在直線AM上，所以y0=k(4+2)=6k，即P(4,6k)(2,6k),uBMuru=

13、-16k2,12kuuurBP=u4k2+34k2+3uuuuruuurBPBM=-32k212k40k2+6k=04k2+34k2+34k2+3線相交于A,B兩點(diǎn)，與橢圓3MBP為銳角，MBN為鈍角M在以MN為直徑的圓內(nèi)例5：如圖所示，已知過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F的直線l與拋物3y2+x2=1的交點(diǎn)為C,D，是否42存在直線l使得AFCF=BFDF？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由解：依題意可知拋物線焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)l:y=kx+1QAFCF=BFDFAFCF，不妨設(shè)AFBF=DFBF=DFCF=l(-x,1-y),uFBru=(x,y-1)(-x,1-y),uFDur=

14、(x,y-1)uuuuruuruuuruuur則AF=lFB,DF=lFC設(shè)A(x,y),B(x,y),C(x,y),D(x,y1122334uuuruAF=1122uuuruCF=33444)考慮聯(lián)立直線與拋物線方程：-x=lxy=kx+112-x3=lx4x2=4yx2-4kx-4=0，消去x可得：xx=-lx2=-4x+x=(1-l)x=-4k1221222(1-l)2-l=-4k26x2+3y2=46x2-3(kx+1)2=4，整理可得：第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何聯(lián)立直線與橢圓方程：y=kx+1(3k2+6)x2+6kx-1=0x+x=(1-l)x=-33k2+6xx=-lx

15、2=-343k2+66k4414(1-l)2-l=-36k23k2+6由可得：-4k2=-36k23k2+6，解得：k2=1k=1所以存在滿足條件的直線，其方程為：y=x+1例6：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線x2=2py(p0)的準(zhǔn)線方程為y=-點(diǎn)M(4,0)作拋物線的切線MA，切點(diǎn)為A（異于點(diǎn)O），直線l過點(diǎn)M與拋物線交于兩點(diǎn)P,Q，與直線OA交于點(diǎn)N（1）求拋物線的方程12，過（2）試問MNMP+MNMQ的值是否為定值？若是，求出定值；若不解：（1）由準(zhǔn)線方程可得：-p是，請說明理由1=-p=122拋物線方程：x2=2y（2）設(shè)切點(diǎn)A(x,y00)，拋物線為y=1x22y=x切線斜

16、率為k=x0切線方程為：y-y=x(x-x)，代入M(4,0)及y=00001x220x2=x(4-x)，解得：x=0（舍）或x=820可得：-10000第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何A(8,32)OA:y=4x設(shè)PQ:x=my+4QM,P,N,Q共線且M在x軸上MNMQ=N+N=y=yP+PyyyNyyyMP+PQQPQNMNyy11y+yQy+y=2-8mm2m2x2=2y聯(lián)立PQ和拋物線方程：x=my+4m2y2+(8m-2)y+16=016,yy=PQPQ(my+4)2=2y，整理可得：再聯(lián)立OA,PQ直線方程：y=4xx=my+4y=N161-4mMNMN16+=yP=2m21

17、6MPMQyy1-4mm2G,由y軸上一點(diǎn)M滿足平行關(guān)系，可得M0,2-8mQ=NPQ,例7：在VABC中，A,B的坐標(biāo)分別是(-2,0)(2,0)，點(diǎn)G是VABC的重心，y軸上一點(diǎn)M滿足GMAB，且MC=MB（1）求VABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程（2）直線l:y=kx+m與軌跡E相交于P,Q兩點(diǎn)，若在軌跡E上存在點(diǎn)R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的取值范圍解：（1）設(shè)C(x,y)由G是VABC的重心可得：xyy333由MC=MB可得：x+y-y=(0-2)+y+=1(y0)化簡可得：x2y226212322C的軌跡E的方程為：+=1(y0)第九章第75煉幾何問題的

18、轉(zhuǎn)換解析幾何x2y226（2）Q四邊形OPRQ為平行四邊形uuuruuuruuurOR=OP+OQ設(shè)P(x,y),Q(x,y1122)R(x+x,y+y1212)QR在橢圓上3(x+x12)2+(y1+y2)2=6(3x21+y2)+(3x2+y2)+6xx+2yy=61221212因?yàn)镻,Q在橢圓上，所以3x2+y2=63x2+y2=61122，代入可得：6xx+2yy+12=63xx+yy=-312121212聯(lián)立方程可得：3x2+y2=6y=kx+m(k2+3)x2+2kmx+m2-6=03+k2k2+32kmm2-6x+x=-,xx=1212yy=(kx+m)(kx+m)=k2xx+k

19、m(x+x)+m2=12121212代入可得：3m2-6k2k2+33m2-63m2-6k2+=-32m2=k2+3k2+3k2+3(k2+3)x2+2kmx+m2-6=0有兩不等實(shí)根可得：D=4k2m2-4(k2+3)(m2-6)0，即-3m2+6k2+180，代入k2=2m2-3-3m2+6(2m2-3)+180m20另一方面：2m2-3=k20m2366m或m-222第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何66m-,-U,+22=1(ab0)的離心率為，直線l過點(diǎn)A(4,0),B(0,2)，例8：已知橢圓C:x2y2+a2b212且與橢圓C相切于點(diǎn)P（1）求橢圓C的方程（2）是否存在過點(diǎn)A(

20、4,0)的直線m與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N，使得36AP2=35AMAN？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由解（1）e=c1=a:b:c=2:3:1a2橢圓方程化為：x2y2+4c23c2=13x2+4y2=12c2設(shè)直線l:x消去y可得：3x2+4-x+2=12c2=1，且可解得P1,Ql過A(4,0),B(0,2)y1+=1y=-x+24223x2+4y2=12c212聯(lián)立直線與橢圓方程：1y=-x+222整理可得：x2-2x+4-3c2=0Ql與橢圓相切于PD=4-4(4-3c2)=0c=1x2y23橢圓方程為：+432)，由（1）可得：P1,3，（2）思路：設(shè)直線m為y=k

21、(x-4)，M(x,y),N(x,y11222再由A(4,0)可知AP2=454，若要求得k（或證明不存在滿足條件的k），則可通過等式36AP2=35AMAN列出關(guān)于k的方程。對于AMAN，盡管可以用兩點(diǎn)間距離公式表示出AM,AN，但運(yùn)算較為復(fù)雜。觀察圖形特點(diǎn)可知A,M,N共線，從而可想到利uuuuuruuuruuuruuur用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因?yàn)锳M,AN同向，所以AMAN=AMAN。寫出第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何uuuuruuurAM,AN的坐標(biāo)即可進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，然后再聯(lián)立m與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體代入即可得到關(guān)于k的方程，求解即可由（1）可得：P1,3解：由題意可

22、知直線m斜率存在，所以設(shè)直線m:y=k(x-4),M(x,y),N(x,y11222)=(1-4)2+-0AP2322=454uuuuuruuuruuuruuurQA,M,N共線且AM,AN同向AMAN=AMAN(x-4,y),uANur=(x-4,yuuuurAM=112u2)AMAN=(x-4)(x-4)+yy=xx+yy-4(x+x)+16uuuuruuur1212121212聯(lián)立直線m與橢圓方程：y=k(x-4)3x2+4y2=12消去y并整理可得：(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0x+x=1232k264k2-12,xx=4k2+3124k2+3yy=k2(x-4)(

23、x-4)=121236k24k2+3uuuuruuur64k2-1236k232k236(k2+1)AMAN=+-4+16=4k2+34k2+34k2+34k2+3Q36AP2=35AMAN，代入APuuuuruuur36(k2+1)2=45，AMAN=44k2+3可得：4536(k2+1)36=3544k2+3可解得：k2=12k=，另一方面，84若方程(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0有兩不等實(shí)根)-4(4k則D=(32k222+3)(64k2-12)0解得:-1y=2第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何12kb0)的左，右焦點(diǎn)分別為F,F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A12uuuur

24、uuuurr與AF垂直的直線交x軸負(fù)半軸與點(diǎn)Q，且2FF+FQ=02122（1）求橢圓C的離心率（2）若過A,Q,F三點(diǎn)的圓恰好與直線l:x-3y-3=0相切，求橢圓C的方程2（3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)F作斜率為k的直2線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由解：（1）依題意設(shè)A(0,b),F(-c,0),F(c,0),Q(x,0)120uuuurFF=12uuuur(2c,0),FQ=(x-c,0)20uuuuruuuurrQ2FF+FQ=01224c+x-c=0x=-3c00

25、Q(-3c,0)AQ=bAF2=-kb,k3cc由AQAF可得：2kAQkAF2=-b23c2=-1b2=3c2a2-c2=3c2a2=4c2e=12（2）由（1）可得：a:b:c=2:3:12第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何AQAF2A,Q,F的外接圓的直徑為QF，半徑設(shè)為r22Q(-3c,0),F(c,0)2r=1QF=2c，圓心(-c,0)2由圓與直線相切可得：d=-c-32=2cc+3=4c,解得：c=1a=2b=3x2y2橢圓方程為+43=1（3）由（2）得F(-1,0),F(1,0)：設(shè)直線l:y=k(x-1)12設(shè)M(x,y),N(x,y1122)，若PM,PN為鄰邊的平行四

26、邊形是菱形則P為MN垂直平分線上的點(diǎn)13x2+4y2=123x2+4y2=121223(x2-x2)+4(y2-y2)=012123(x+x12)(x1-x)+4(y+y212)(y1-y2)=0設(shè)M,N中點(diǎn)(x,y00)4kk3x+4ky=0y=-3x0000MN的中垂線方程為：y-y=-01(x-x)，即x+ky-ky-x=0000代入P(m,0)可得：m-ky-x=0m=x=1408001x+x2聯(lián)立方程：3x2+4y2=12(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0y=k(x-1)x+x=128k24k2+3=0,4+3m=k2114k2+34k2所以存在滿足題意的P，且m的取值范

27、圍是0,第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何14例10：已知拋物線C：y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與拋物線的交點(diǎn)為Q，且QF=54PQ（1）求拋物線C的方程（2）過F的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)，若AB垂直平分線l與C相交于M,N兩點(diǎn)，且A,M,B,N四點(diǎn)在同一個圓上，求l的方程解：（1）設(shè)Q(x,4)，可的42=2pxx=0008pQ,4P(0,4)p2p28p8p8pPQ=QF=x+=+0且5QF=PQ48p58+=解得p=2p24p拋物線C:y2=4x（2）由（1）可得F(1,0)可設(shè)直線l:x=my+1y2=4x聯(lián)立方程y2-4my-4=0x=my

28、+1設(shè)A(x,y),B(x,y1122)，則有y1+y=4m,yy=-4212設(shè)l:(y-2m)=-mx-2m2+1整理可得：x=-x+x=m(y+y)+2=4m2+21212AB的中點(diǎn)D(2m2+1,2m)m2+1y-y=4(m2+1)且AB=12由直線l:x=my+1可得l的斜率為-m()1my+2m2+3與y2=4x聯(lián)立消去x可得：y2+設(shè)M(x,y),N(x,y)33444my-4(2m2+3)=0第九章第75煉幾何問題的轉(zhuǎn)換解析幾何y+y=-344m,yy=-4(2m2+3)341(y+y)+4m2+6=mm2x+x=-34344+4m2+6MN的中點(diǎn)Em2m2+2m2+3,-2MN=4(m2+1)2m2+1m2，因?yàn)锳,M,B,N共圓，所以DE2+AD=r2=ME22DE2+11AB2=MN442()2m+2+2+4m2+1=222mm2整理后可得：m2-1=0m=1l的方程為：x-y-1=0或x+y-1=024(m2+1)(2m2+1)m4